第五章 频率特性法 第四节 用频率特性法分析 系统稳定性   用频率法分析系统的稳定性,是根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，还可以确定系统的相对稳定性。根据开环频率特性判断闭环系统的稳定性，首先要找到开环频率特性和闭环特征式之间的关系。

一、开环频率特性和闭环特征式的关系 二、相角变化量和系统稳定性的关系 三、奈奎斯特稳定判椐 四、含有积分环节的奈氏判椐 五、对数频率稳定判椐 第五章 频率特性法 一、开环频率特性和闭环特征式的关系 二、相角变化量和系统稳定性的关系 三、奈奎斯特稳定判椐 四、含有积分环节的奈氏判椐 五、对数频率稳定判椐 六、系统的相对稳定性及稳定裕量

一、开环频率特性和闭环特征式的关系 = Kp = Kf 系统的结构图 设开环传递函数： G(s)= M1(s) N1(s) H(s)= 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 一、开环频率特性和闭环特征式的关系 = Kp i =1 n ∏(s-si) j =1 ∏(s-pj) = Kf i =1 n ∏(Tis+1) j =1 ∏(Tjs+1) 系统的结构图 设开环传递函数： G(s)= M1(s) N1(s) H(s)= M2(s) N2(s) G(s) H(s) C(s) - R(S) F(s)的零点 系统闭环特征方程式的根 G(s)H(s)= M (s) N(s) M1(s)M2(s) N1(s)N2(s) = F(s)的极点 系统开环特征方程式的根 闭环传递函数为： 1+ = M1(s) N1(s) M(s) N(s) 开环特征多项式 (s)= 1+G(s)H(s) G(s) Φ N2(s)M1(s) N(s)+M(s) = D(s) B(s) = 闭环特征多项式

一、开环频率特性和闭环特征式的关系 = Kp = Kf 系统的结构图 设开环传递函数： G(s)= M1(s) N1(s) H(s)= 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 一、开环频率特性和闭环特征式的关系 = Kp i =1 n ∏(s-si) j =1 ∏(s-pj) = Kf i =1 n ∏(Tis+1) j =1 ∏(Tjs+1) 系统的结构图 设开环传递函数： G(s)= M1(s) N1(s) H(s)= M2(s) N2(s) G(s) H(s) C(s) - R(S) F(s)的零点 系统闭环特征方程式的根 G(s)H(s)= M (s) N(s) M1(s)M2(s) N1(s)N2(s) = F(s)的极点 系统开环特征方程式的根 闭环传递函数为： 1+ = M1(s) N1(s) M(s) N(s) F(s)=1+G(s)H(s) (s)= 1+G(s)H(s) G(s) Φ M(s) N(s) =1+ N(s)+M(s) N(s) = N(s) D(s) = N2(s)M1(s) N(s)+M(s) = D(s) B(s) =

二、相角变化量和系统稳定性的关系 1 .相角变化量 幅相频率特性曲线 G(s)=Ts+1 T+1 j )= G(j ω 相角变化量为： 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 二、相角变化量和系统稳定性的关系 1 .相角变化量 幅相频率特性曲线 G(s)=Ts+1 Im T+1 j )= G(j ω 相角变化量为： ω=0→∞ Δ ∠ T+1 j ω φ = )- ( (0) ∞ ω=0 ω=0 Re =90o-0o =90o ω=0→∞ Δ ∠ T-1 j ω G(s)=Ts-1 T-1 j )= G(j ω =90o-180o=-90o

二、相角变化量和系统稳定性的关系 1 .相角变化量 幅相频率特性曲线 G(s)=Ts+1 T+1 j )= G(j ω 相角变化量为： 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 二、相角变化量和系统稳定性的关系 1 .相角变化量 幅相频率特性曲线 G(s)=Ts+1 Im T+1 j )= G(j ω 相角变化量为： ω=0→∞ Δ ∠ T+1 j ω φ = )- ( (0) ∞ ω=0 ω=0 Re =90o-0o =90o ω=0→∞ Δ ∠ T-1 j ω G(s)=Ts-1 T-1 j )= G(j ω 根的实部为负，系统稳定，相角增量为900 。 根的实部为正，系统不稳定，相角增量为-900 。

2 . 系统特征式的相角变化量 D(j = ω ) N(j 设n阶系统 F(j ω )=1+G(j )H(j ) 相角变化 量为： Δ∠ 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 2 . 系统特征式的相角变化量 D(j = ω ) N(j 设n阶系统 F(j ω )=1+G(j )H(j ) 相角变化 量为： Δ∠ F(j ω ) ω=0 →∞ = Δ∠ D(j ω ) ω=0 →∞ - N(j =n90o Δ∠ N(j ω ) ω=0 →∞ 1）系统开环稳定 则 =n90o Δ∠ D(j ω ) ω=0 →∞ 设闭环系统稳定： =0 Δ∠ F(j ω ) ω=0 →∞ 此时必有 若开环系统是稳定的，闭环系统稳定，则F(jω)曲线绕原点相角变化量为零。

若系统开环有p不稳定极点，则闭环稳定的充要条件是： F(jω)曲线相角变化量为p1800 ，即p/2 周。 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 2）系统开环有p个不稳定极点 n-p个稳定极点 =(n-p)90o-p90o Δ∠ N(j ω ) ω=0 →∞ =(n-2p)90o =n90o Δ∠ D(j ω ) ω=0 →∞ 设系统闭环稳定，则 Δ∠ F(j ω ) ω=0 →∞ = Δ∠ D(j ω ) ω=0 →∞ - N(j =n90o-(n-2p)90o =2p90o =p180o 若系统开环有p不稳定极点，则闭环稳定的充要条件是： F(jω)曲线相角变化量为p1800 ，即p/2 周。

三 、奈魁斯特稳定判据 F(s)=1+G(s)H(s) ) F(j ω ) G(j ω H(j (-1,j0)点 原点 奈氏稳定判据： 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 三 、奈魁斯特稳定判据 F(s)=1+G(s)H(s) ) F(j ω ) G(j ω H(j Im Im ω=0 ω=0 -1 Re 1 Re (-1,j0)点 原点 奈氏稳定判据： 设有p 个不稳定极点 当ω=0 →∞ p/2圈 G(jω)H(jω)曲线逆时针方向绕(-1,j0)点 闭环系统稳定 否则不稳定

例 已知系统的奈氏曲线,试判断系统的 稳定性。 解： 系统的G(jω)H(jω)曲线如图 (a) (b) 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 已知系统的奈氏曲线,试判断系统的 稳定性。 解： 系统的G(jω)H(jω)曲线如图 (a) (b) Im Im p=1 P=2 ω=0 ω ∞ ω ∞ ω=0 Re Re -1 -1 p=1，相角变化量为-1800 ,系统不稳定。 p=2，相角变化量为2×1800 ,系统稳定。

奈氏判据也可采用穿越次数的方法来判断。 正穿越次数N+: G(jω)H(jω)曲线从上往下穿越负实轴上(-1,j0)点左侧次数为N+ 。 从下往上的负穿越次数为N-。 起始或终止于负实轴上为1/2 次穿越。 奈氏稳定判据可表述为： N=N N = 2 p

第四节 用频率特性法分析系统稳定性 四、含有积分环节的奈氏判椐 若系统开环传递函数中包含有υ个积分环节，则先绘出 ω=0+→∞的幅相频率特性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的稳定性。 修正方法： 在ω=0+开始， 逆时针方向补画一 个半径无穷大、相角为υ900 的大圆弧。 即ω=0→0+ 曲线

例 υ为积分环节的个数， p为不稳定极点 的个数，试判断闭环系统的稳定性。 解： 系统的奈氏曲线如图 (a) (b) 修正 修正 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 υ为积分环节的个数， p为不稳定极点 的个数，试判断闭环系统的稳定性。 解： 系统的奈氏曲线如图 (a) Im (b) Im υ=1 υ=2 ω=∞ ω=0 -1 ω=0+ ω=∞ ω=0 -1 Re Re R=∞ R=∞ π 2 - π 修正 修正 ω=0+ 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。

(c) (d) 修正 修正 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 (c) (d) ω=0+ ω=0+ Im Im υ=1 υ=3 π 2 p=1 R=∞ -1 ω=∞ ω=0 ω=∞ Re ω=0 -1 Re R=∞ 修正 -3 π 2 修正 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。 相角变化量为p180o ，系统是稳定的。

例 已知系统开环传递函数试判断闭环 系统的稳定性。 G(s)H(s)= s(Ts-1) K 解： 系统开环频率特性： 奈氏曲线： T)2 K 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 已知系统开环传递函数试判断闭环 系统的稳定性。 G(s)H(s)= s(Ts-1) K 解： 系统开环频率特性： 奈氏曲线： T)2 K 1+( ω )= A( 修正 ω=0+ Im )=-90o-tg-1 -1 ω T φ ( υ=1 特殊点： ω=0+ ω=∞ )=∞ A( ω -270o φ ( ω )= ω=0 Re -1 ω=∞ )= A( ω -180o φ ( ω )= 顺时针方向绕过 (-1, j0) 点，系统不稳定。

例 设系统的开环传递函数为试判断闭环 系统的稳定性。 G(s)H(s)= K(T1s+1) s2(T2s+1) 解： 1) T1>T2 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 设系统的开环传递函数为试判断闭环 系统的稳定性。 G(s)H(s)= K(T1s+1) s2(T2s+1) 解： 1) T1>T2 2) T1<T2 奈氏曲线 Im p=0 p=0 Im -1 ω=∞ ω=∞ ω=0+ ω=0+ ω=0 Re ω=0 Re -1 曲线没有包围(-1,j0)点，系统是稳定的。 曲线包围了(-1,j0)点，系统不稳定。

五、对数频率稳定判据 - - 系统的奈氏图与伯德图的对应关系： 奈氏稳定判据： 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 五、对数频率稳定判据 系统的奈氏图与伯德图的对应关系： dB L( ω ) Im G(jω)H(jω) ω c - ω -1 ω=∞ ω=0 + Re ) ( ω φ ω c ω + - -180 奈氏稳定判据： L(ω)>0区段内，奈氏曲线对-1800线的正、负穿越次数之差为p/2，则系统稳定。

例 试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判 据判别闭环系统的稳定性。 G(s)H(s)= s(1+0.02s)(1+0.2s) 100 解: 得 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判 据判别闭环系统的稳定性。 Im G(s)H(s)= s(1+0.02s)(1+0.2s) 100 ω=0 ω=∞ -1 Re 解: 得 系统奈氏曲线 ω2=250 曲线与实轴的交点: 曲线与实轴的交点： ω=0+ ) (1+0.02 100 )= H(j ω j G(j (1+0.2j ω2=250 )= (1+0.0004 -22 P( ω ω2) (1+0.04 =- 22 12.1 = ω[(1+0.0004 -22 ω+j(0.4 ω2-100) ω2) (1+0.04 ω2)] 系统不稳定。 令虚部等于零： )=0.4 Q( ω ω2-100=0

G(s)H(s)= s(1+0.02s)(1+0.2s) 100 系统伯德图 20lgK=20lg100=40dB 转折频率： ω 1=5 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 G(s)H(s)= s(1+0.02s)(1+0.2s) 100 系统伯德图 20lgK=20lg100=40dB dB L( ω ) -20dB/dec -20 20 40 转折频率： -40dB/dec 50 ω c ω ω 1=5 ω 2=50 1 5 -60dB/dec N+-N-=-1≠ 2 p ) ( ω φ -180 -90 -270 ω 系统不稳定。 -

第四节 用频率特性法分析系统稳定性 六、系统的相对稳定性及稳定裕量 根据奈氏判据可知，最小相位系统是否稳定，主要看G(jω)H(jω) 曲线是否绕过点(-1,j0) 。奈氏曲线离点(-1,j0) 越远，则系统的相对稳定性越好。可用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量来衡量系统的相对稳定性。

1. 相位裕量γ G(j ω c )H(j )︳ =1 相位裕量： γ=180o+ ) ( ω φ c γ>00 — 系统稳定 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 1. 相位裕量γ Im 正相位裕量 G(jω) G(j ω c )H(j )︳ =1 γ Re ω c 1 ) ( ω φ 相位裕量： γ=180o+ ) ( ω φ c Im ω c γ>00 — 系统稳定 G(jω) γ Re γ<00— 系统不稳定 ) ( ω φ 负相位裕量

2. 幅值裕量Kg =180o ) ( ω φ g 幅值裕量： Kg= 1 G(j ω g )H(j )︳ A( 1 = ) ω g 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 2. 幅值裕量Kg 正幅值裕量 Im Kg 1 =180o ) ( ω φ g ω g Re -1 幅值裕量： Kg= 1 G(j ω g )H(j )︳ G(jω) A( 1 = ) ω g 负幅值裕量 Im ω g -1 Re Kg>1 系统稳定 Kg 1 G(jω) Kg<1 系统不稳定

对数曲线上相位和幅值裕量: 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 负幅值裕量 正幅值裕量 正相位裕量 负相位裕量 ω c ω c ω ω ω 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 对数曲线上相位和幅值裕量: 负幅值裕量 正幅值裕量 dB L( ω ) dB L( ω ) Kg 1 20lg ω c ω c ω Kg 1 20lg ω ) ( ω φ ) ( ω φ -90 -180 -90 -180 ω g γ ω g γ ω ω 正相位裕量 负相位裕量

例 已知系统的开环传递函数,求系统的幅值裕量和相位裕量. 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 已知系统的开环传递函数,求系统的幅值裕量和相位裕量. G(s)H(s)= 1 s(s+1)(0.1s+1) 解： 与实轴的交点: ) (1+ 1 )= H(j ω j G(j (1+0.1j Im 令： G(j ω c )H(j )︳ =1 Kg 1 ω g = ω4+101 -110 -j10(10- ω2) ω2+100 得： Re =0.784 ω c -1 γ 1 ω c 令： Q(ω)=0 γ=180o+ ) ( ω φ c 得： ωg =3.16 P(ωg)=0.09 =180o-90o-tg-10.78-tg-10.1×0.78 A(ωg) 1 Kg= 幅值裕量： =11 =47.4o 同学们自己做一下幅值裕量

例 试绘制位置控制系统开环的伯德图，并 确定系统的相位稳定裕量γ 。 10 s(0.25s+1)(0.1s+1) G(s)= 解： 第四节 用频率特性法分析系统稳定性 例 试绘制位置控制系统开环的伯德图，并 确定系统的相位稳定裕量γ 。 10 s(0.25s+1)(0.1s+1) G(s)= dB L( ω ) -20 20 40 -20dB/dec -40dB/dec 解： 系统伯德图: 4 10 ω 6.32 近似计算确定ωc。 -60dB/dec c ω 0.25 10 ≈1 2 ) ( ω φ =6.32 c ω -180 -90 ω γ γ=180o+ ) ( ω φ c =180o-90o-tg-10.25×6.32-tg-10.1×6.32 =90o-57.67o-32.3o= 0.03o

第四节 用频率特性法分析系统稳定性 5-17 作业习题： 5-7 返回