電路學 第七章 磁耦合電路

互感 若所產生感應電壓之通鏈變化是由線圈本身電流所引起，則此一線圈具有所謂的自感，此一自感是電感器工作的起源，但在某些應用或元件裡常常存在有多個線圈，若其中之一個線圈的電流產生變動時，它所產生的通鏈變化交鏈至另一個線圈，而使該線圈感應出電壓，此種現象稱為互感。發生互感之電路，稱為磁耦合電路，此一電路就是使變壓器產生工作的基本電路。

互感 今假設有一兩線圈系統如圖7-1所示，交鏈至線圈(1)裡的磁通量可以表示為： 1＝N1(1112)＝1112[Wb] 　　(7-1) 其中N1表示為線圈(1)的匝數，11表示因電流i1所產生而存在於線圈(1)的通量，12表示因電流i2所產生而存在於線圈(1)的通量，因此經由法拉第定律可知線圈(1)的電壓為： 在上兩式裡符號採用或端視線圈的極性來定。

互感 圖7-1 兩線圈的互感關係

互感 由此可知在線圈(1)裡存在有兩個電感量，其中之一是由它本身的電流所產生，也就是自感，可表示為： 另一個是由線圈(2)的電流i2所產生的互感，可表示為： 因此線圈(1)所感應的電壓可寫為： 在上式裡採用的符號是假設兩線圈的極性關係如圖7-2所示。

互感 在圖7-2電路中採用點符號來表示線圈的極性，由此一點符號可知，若兩個線圈的電流均由具有點號的端點流入或流出，則電流將沿互感路徑產生同方向之磁通，其M為正。若一電流由點號端流入，而另一電流卻由點號端流出，則M為負。圖7-3所示為不同點號所對應的電壓關係。在圖上兩線圈間的M值表示兩線圈間存在有互感M。 圖7-2 線圈間的極性關係

互感 圖7-3 互感電壓的關係

互感 當採用圖7-2所示的點號時，兩線圈的電壓可以表示為： 對線性介質而言M12＝M21，當電線圈的自感分別為L1＝L11及L2＝L22時，存在於它們之間的互感可以表示為： 其中k稱為線圈間的耦合係數，0＜k＜1。當其中之一線圈的磁通量完全耦合至另一線圈時k＝1，若其中之一線圈的磁通量完全沒有通過另一線圈時k＝0。

例7-1 有兩線圈它們的自感分別為L1＝100mH及L2＝1mH，兩者間的耦合係數為k＝0.5。若i1＝10cos(4000t)及i2＝0時，v1(t)及v2(t)為多少？ [解]：因L1＝100mH，L2＝1mH，及k＝0.5，故互感為： 由此可知

互感 一般變壓器的兩個線圈分離，其中一個作為輸入，另一個是輸出，但在某些應用裡，兩個線圈可能是串聯或並聯。今考慮兩個線圈串聯或並聯在一起所產生的效應。 圖7-4所示為兩個耦合線圈串聯在一起的情形，因為是串聯，所以 v(t)＝v1(t)＋v2(t)[V] 及 i(t)＝i1(t)＝i2(t)[A] 而兩個耦合線圈的電壓v1(t)及v2(t)可分別表示為： 將上兩式相加，可得 由此可知對圖7-4的電路而言，其等效電感為： Leq＝L1＋L2－2M[H]

互感 圖7-4 兩個耦合線圈的串聯

互感 圖7-5所示為兩個耦合線圈另一種串聯方法，對此一電路而言，兩個耦合線圈的電壓v1(t)及v2(t)可分別表示為： 將上兩式相加，可得 由此可知對圖7-5的電路而言，其等效電感為：Leq＝L1＋L2＋2M[H] 因耦合線圈與電感器均為被動元件，所以耦合線圈串聯連接的等效電感必大於或等於零，因此 就是說耦合線圈對的互感值不可能大於兩個自感的算術平均值。

互感 圖7-5 兩個耦合線圈的另一種串聯方法

互感 圖7-6所示為兩個耦合線圈的並聯，因為是並聯，所以 v(t)＝v1(t)＝v2(t)[V] 及 i(t)＝i1(t)＋i2(t)[A] 由圖上可知跨於L1及L2的電壓v1(t)及v2(t)可分別表示為： 聯解上兩式可得

互感 因i(t)＝i1(t)＋i2(t)，故 由此可知其等效電感為：

互感 圖7-6 兩個耦合線圈的並聯

互感 若將並聯組合其中一線圈倒反使其點號改變方向，也就是使其結構變成如圖7-7所示，此時跨於L1及L2的電壓v1(t)及v2(t)可分別表示為： 聯解上兩式可得 因i(t)＝i1(t)＋i2(t)，故

互感 由此可知其等效電感為： 因耦合線圈為被動元件，所以Leq必大於或等於零，因此 令M為正，則 也就是說線圈耦合對的互感值不可能大於兩個自感的幾何平均值。

互感 圖7-7 兩個耦合線圈的另一種並聯

例7-2 若iS(t)=cost，試求圖7-8電路的輸出電壓v2(t)。 圖7-8 例7-2的電路

例7-2(續) [解]：在求解此一電路前，先要求出耦合線圈對的電流-電壓關係，此一關係可以表示為： 其中V1、V2、I1及I2分別表示v1(t)、v2(t)、i1(t)及i2(t)的頻域相量。聯解上述兩式可得：

例7-2(續) 對圖7-8電路寫出其頻域節點方程式為： 將I1及I2代入節點方程式可得：

例7-2(續) 因iS(t)=cost，故IS＝1及＝1，所以 解之得 因此輸出電壓為： v2(t)＝0.408cos(t＋78.2o)[V]

互感 單純電感器所儲存的能量為： 但在耦合線圈對裡除了兩個電感器以外還有互感存在，所以對耦合線圈對而言，所儲存的能量可以表示為：

理想變壓器 顧名思義可知變壓器是一種可以改變電壓的元件，但實際上變壓器除了可以改變電壓以外，還可以改變電流，並在電路裡作阻抗匹配之用。 變壓器的基本結構是將兩組線圈共同環繞於同一個由磁性材料所構成的磁芯上，如圖7-9所示，與電源或輸入端連接的線圈稱為一次圈，接至輸出端或負載的線圈稱為二次圈，若一次圈之圈數較二次圈為多者，稱為降壓變壓器，也就是指其輸入電壓較輸出電壓為高。若二次圈之圈數較一次圈為多者，稱為升壓變壓器，其輸出電壓較輸入電壓為高。

理想變壓器 圖7-9 變壓器結構

理想變壓器 當某一變壓器符合下列各條件時可稱之為理想變壓器： 1.線圈所用之導體為理想導體，不存在有電阻，不消耗功率。 2.忽略磁芯所用的磁性材料之磁滯及渦流損失。 3.兩線圈之磁通量完全交鏈，無漏磁的現象存在。 4.磁通量與加入於一次圈的電流成正比，加入於一次圈的電流通常稱為激磁電流。 對一理想變壓器而言，一次圈的電壓Vp與二次圈輸出電壓Vs具有 之關係，其中Np及Ns分別表示一次圈及二次圈的圈數。除了電壓關係以外，一次圈的電流Ip與二次圈電流Is具有 　　　　 NpIp＝NsIs　　　　　　 　　　 的關係。由此可知，對一理想變壓器而言，圈數較多的線圈具有較大的電壓及較小的電流，而圈數較少的線圈則具有較小的電壓及較大的電流。圖7-10所示為一理想變壓器的電路符號。

理想變壓器 圖7-10 理想變壓器的電路符號

例7-3 若對一個理想變壓器輸入120V的電壓時，它的輸出為18V及650mA。假若一次圈之圈數為1000，試求二次圈的圈數，同時一次圈的電流為多少？ [解]： 同時 　　NpIp＝NsIs1000 Ip＝150×650Ip＝97.5[mA]

理想變壓器 將電壓關係式與電流關係式相乘可得 VpIp＝VsIsPin＝Pout 也就是理想變壓器可以改變電壓及電流的大小，但並不改變功率，當輸入於理想變壓器多少功率，則在輸出可得到相同的功率，也就是指對一理想變壓器而言，它並不消耗功率，同時也不儲存功率。

理想變壓器 若將電壓關係式與電流關係式來相除可得 或 其中Vp/Ip可視為由輸入端看入變壓器的等值電阻，亦即

理想變壓器 若變壓器的輸出端連接有一負載電阻RL，如圖7-11所示，則 因此 所代表的意義是指當某一負載電阻連接於變壓器的輸出端時，由變壓器看入所得到的結果等於原來電阻值與變壓器圈比，(Np/Ns)平方之乘積。也就是指加入變壓器之後，可以使負載變大(Np＞Ns)，也可以使負載變小(Np＜Ns)。由此可知，當在兩電路之間連接一具有適當圈比的變壓器時，就可以使這兩電路得到阻抗匹配的結果。

理想變壓器 圖7-11 連接有負載電阻RL的變壓器

例7-4 試求圖7-12(a)電路的負載電流IL。 圖7-12 例7-4的電路 圖7-12 例7-4的電路 [解]：當電路裡存在有變壓器時，可將二次圈側的負載轉變到一次圈側。對圖7-12(a)的電路而言，其圈比為2(2：1)，經過轉變後將可得到圖7-12(b)的結果。

例7-4(續) 因此 由此可知負載電流為：

例7-5 試求圖7-13電路電源Vs所供應的電流及跨於負載RL的輸出電壓Vo。 圖7-13 例7-5的電路 圖7-13 例7-5的電路 [解]：設V1和V2分別表示變壓器一次圈及二次圈的電壓，及I1和I2分別表示變壓器一次圈及二次圈的電流，由此可知變壓器的電壓-電流關係為： 其中a如圖7-13所示為變壓器的圈比。

例7-5(續) 寫出電路的網目方程式為： (R1＋R2)I1－R2I2＝Vs－V1 －R2I2＋(R2＋RL)＝V2 將變壓器的電壓-電流關係代入，可得： [R1＋(1－a)R2]I1＋V1＝Vs [(a－1)R2＋aRL]I1－(1/a)V1＝0 解I1即得電源VS所供應的電流為： 而跨於負載RL的輸出電壓Vo為：

特殊結構變壓器 除了普通變壓器以外，還有一些具有特殊結構的變壓器，以配合各種不同應用之需，例如自耦變壓器，多二次圈變壓器等。 自耦變壓器是一種輸入為定值，但輸出是在一定範圍內連續可變的變壓器，此類變壓器常見於家庭及實驗室裡以用來調節電壓。它只有一組線圈，其一次圈電流及二次圈電流均通過線圈之共同部分，因此如所使用之材料相同，則自耦變壓器所用之材料較少。此類變壓器之損失較少，效率較高，其最大缺點為一次圈與二次圈不絕緣，因為此一缺點而使自耦變壓器只適用於無需高度絕緣，且電壓改變範圍不大之處所。圖7-14所示為自耦變壓器一次圈與二次圈的關係，此一關係所示為降壓自耦變壓器之安排方式，其中圖7-14(a)為實際的連接法，而圖7-14(b)則為一般的表示法。對升壓自耦變壓器而言，其一般表示法如圖7-15所示。

特殊結構變壓器 圖7-14 降壓自耦變壓器 (a)實際的連接法，(b)一般的表示法

特殊結構變壓器 圖7-15 升壓自耦變壓器

特殊結構變壓器 由圖7-14的降壓自耦變壓器線圈間的排列關係可知 因此對降壓自耦變壓器而言，圈比為(N1＋N2)：N2。而對升壓變壓器而言，圈比為N1：(N1＋N2)。 對圖7-14(b)的a節點應用KCL可得輸出電流為 自耦變壓器主要的功能是使視功率額定增加。

例7-6 若將一120/120V，12kVA的變壓器以自耦的方式連接成240/120V變壓器，試求此一自耦變壓器的視功率額定為多少？ [解]：120/120V變壓器所表示的意義是它的輸入電壓為120V，輸出電壓也是120V，對此一變壓器而言，其一次圈及二次圈的電流額定為 若連接成240/120V的自耦模式時，則可得如圖7-16所示的排列。

例7-6(續) 由圖7-16可知當連接成自耦模式時，輸入視功率為： 240V×100A＝24[kVA] 及輸出視功率為： 變壓器的線圈安排方式

特殊結構變壓器 對一圈比為Np/Ns的普通降壓變壓器而言，若將其連接成自耦模式，則在自耦模式裡其視功率容量與普通連接法視功率容量的關係為： 對降壓變壓器而言，Np＞Ns，因此自耦變壓器的容量永遠比普通變壓器的容量為大。以例7-6為例子，由240V變為120V即表示Np：Ns＝2：1，由此可知容量增加1倍。 對升壓變壓器而言，則其容量關係為：

特殊結構變壓器 自耦變壓器的輸出電壓為在某一範圍內連續可變，但在某些應用裡同時需要數個不同的輸出電壓，此時則必須要使用多二次圈變壓器。圖7-17所示就是具有兩個二次圈的變壓器結構。 圖7-17 具有兩個 二次圈的變壓器

特殊結構變壓器 在圖7-17的變壓器裡其一次圈具有N1圈，兩個二次圈的圈數分別為N2及N3，無論有多少個二次圈，變壓器電壓轉變關係式是不變的，所以 但電流轉變關係必須改寫為：N1I1＝N2I2＋N3I3 也就是對多二次圈而言，其電壓轉變關係為： 及電流轉變關係為：

特殊結構變壓器 若在圖7-17變壓器的兩個二次圈上分別接上R1及R2的負載電阻，可發現 同時 或 因此可得 或 同時 或 因此可得 或 此一結果使具有兩個二次圈的變壓器具有如圖7-18所示的等效電路。

特殊結構變壓器 圖7-18 具有兩個二次圈的變壓器之等效電路

例7-7 有兩個阻抗分別為16及8的喇叭同時被擴音機的輸出變壓器所推動。試求N16：N8之比值以使兩個喇叭得到相同的功率。試求N1：N16之比以使由一次圈看入的等效電阻為100。 [解]：當兩喇叭的功率相同時 因此 因兩個二次圈為並聯，因此當Req＝100時，每一喇叭必為200， 所以

實際變壓器 在理想變壓器裡假設不存在有任何損失，以及磁通量是完全存在於兩組線圈之間的磁性材料，即是其耦合係數為1。但實際上變壓器存在有損失，這些損失包括兩部分，其中一部分稱為鐵損，它是因磁性材料裡存在磁滯以及渦流所產生，另一部分稱為銅損，它是因為構成線圈的導體之電阻並非等於零所產生。除此以外，兩組線圈並不是完全緊密耦合在一起，因此有漏磁存在，其耦合係數k小於1。 在理想變壓器裡，一次圈所產生的磁通量完全耦合至二次圈，但在實際變壓器裡，這些磁通量並不完全耦合而存在有漏磁，如圖7-19所示。當這些漏磁存在它們將以存在於一次圈與二次圈的串聯電感Lp及Ls或串聯電抗Xp及Xs來加以表示。

實際變壓器 圖7-19 漏磁

實際變壓器 在實際變壓器裡存在有銅損及鐵損兩種損失，其中因磁性材料內部損失所導致的鐵損與耦合量max2或Vp2成比例，因此在等效電路裡以一個與一次圈電壓並聯的電阻來表示此一鐵損。銅損是因線圈導線存在有電阻所產生，因此在等效電路裡分別以兩個與理想變壓器一次圈及二次圈線圈串聯的電阻Rp及Rs來表示。當漏磁及損失都加以考慮時，實際變壓器的等效電路將如圖7-20所示。若將二次圈的串聯阻抗轉移至一次圈，則可得到如圖7-21所示的等值電路。

圖7-20 當考慮漏磁及損失時，實際變壓器的等效電路 圖7-20 當考慮漏磁及損失時，實際變壓器的等效電路

實際變壓器 圖7-21 將二次圈串聯阻抗轉移至一次圈所得到的等效電路

實際變壓器 欲使變壓器工作則必須加入所謂的激磁電流，對理想變壓器而言，激磁電流只用來磁化磁性材料，但在實際變壓器裡除了使磁性材料產生磁化作用以外，還必須供應鐵損，因此之故在實際變壓器裡激磁電流Ie包含有兩個成份，其一為提供鐵損的同相成份Ii，而另一為異向磁化電流I，三者間的關係如圖7-22所示，若二次圈為開路，則存在於一次圈的電流即為激磁電流，同時送至一次圈的功率即為鐵損。

圖7-22 激磁電流與同相成份及異向磁化電流的關係 實際變壓器 圖7-22 激磁電流與同相成份及異向磁化電流的關係

實際變壓器 圖7-21的等效電路主要是用來預估在各種不同工作條件之下變壓器的功率及電壓，當使用一變壓器時首先要知道其規格，此一規格通常顯示在附於變壓器上的名牌，在此一名牌上通常列有變壓器一次圈及二次圈的電壓，輸出額定視功率以及串聯阻抗，亦即圖7-21的。由一次圈與二次圈的比值可求知圈比，而等效電路上的其他參數可以由測量來求知。對變壓器而言，測試方法有兩種，其中一種稱為開路測試(OC)，另一種稱為短路測試(SC)。 開路測試是將輸出端開路來進行測試，為了安全起見，通常是將高壓側(即圈數較多的一側)開路而在低壓側(即圈數較少的一側)加入額定的電壓。經由此一測試可以求知激磁電流以及Ri。此一測試的電路安排方式如圖7-23所示。

實際變壓器 圖7-23 開路測試的電路安排

實際變壓器 在圖7-23的電路裡瓦特計、安培計及伏特計的讀數分別為功率Pi’、激磁電流Ie’及電壓Vs，在上述各參數裡採用上標’的符號以表示它們是二次圈的量。假設各儀表本身所消耗的功率很少，則瓦特計的讀數Pi’表示變壓器的鐵損。當這些參數已測知時，則可經由下列各關係來求知其他參數：

例7-8 一個10KVA，60Hz單相變壓器的額定為2400/240V，此一變壓器是以高壓側來作為一次圈。試求此一變壓器的圈比以及一次圈和二次圈的電流額定。 [解]：圈比為： 二次圈的電流額定為： 　　　 一次圈的電流額定為： 　　　　　　NpIp=NsIs10×Ip＝1×41.7Ip＝4.17[A]

例7-9 若對例7-8變壓器的240V側進行開路測試，所測量得到的激磁電流為1.2A及功率為170W，試求Ri’及Xi’。 [解]：

實際變壓器 短路測試的電路安排如圖7-24所示。在此一測試裡外加電源加入於高壓側，而低壓側則以短路線來連接，其中伏特計的讀值Vsc表示當安培計的讀值Isc等於額定電流時的輸入電壓值。如同開路測試一樣，當忽略各儀表所產生的損失時，則瓦特計的讀值Pc則表示線圈的銅損。當這些測量值為已知時，則可經由下面的關係來求得其他的參數：

實際變壓器 圖7-24 短路測試的電路安排

例7-10 若將例7-8變壓器的240V側短路來進行測試時，可求得若在2400V線圈上加入72V時則可得到額定電流4.17A，如果輸入功率為162W，試求Rw及Xw。 [解]：

實際變壓器 除了等效電路參數以外，效率也是實際變壓器必須要求知的參數之一。對理想變壓器而言，因不存在有損失，輸入功率等於輸出功率，所以效率應為100%，但因實際變壓器內存在有損失，故其效率可表示為： 其中Pin、Pout、Pc及Pi分別表示輸入功率、輸出功率、銅損及鐵損。

例7-11 對例7-8的變壓器而言，在輸出電壓為230V時，它提供給PF＝0.94(滯後)負載8kVA的功率。試求在此一條件之下變壓器的效率。變壓器的等效電路如圖7-25所示。 圖7-25 變壓器的等效電路

例7-11(續) [解]：在上述條件下的輸出功率為 Pout＝8000×0.94＝7520[W] 輸入電壓為：Vp＝(10/1)×230＝2300[V] 因此鐵損為： 二次圈電流及一次圈電流分別為：

例7-11(續) 因此銅損為 　　Pc＝(Ip)2Rw＝(3.48)2×9.32＝113[W] 變壓器的效率為：

實際變壓器 在使用變壓器時除了要考慮各參數以外，還必須考慮其極性。此一極性在變壓器並聯運用，或內部相連以供應三相電力時尤其重要，絕對不能錯誤，否則將引起極大之短路電流或迴路電流而使變壓器被燒毀。所謂極性是指一次圈與二次圈在某瞬間之相對極性，極性關係與線圈繞製方向有關。如圖7-26(a)所示，在某一瞬間，一次圈A端點接於電源正端，電流由A端點流入，由楞次定律可知，為了反對一次圈所產生的磁通，二次圈的電流必須由C點流出，故C點為正。當此一關係存在時，變壓器具有減極性。而在圖7-26(b)裡二次圈的正向與圖7-26(a)者相反，因此當A點為正時，二次圈的正極是在D點，俱有此一關係的變壓器稱為加極性。

圖7-26 變壓器的極性(a)減極性 (b)加極性 實際變壓器 圖7-26 變壓器的極性(a)減極性 (b)加極性

實際變壓器 變壓器的極性可由極性測試來求知，其電路安排如圖7-27所示。首先將相鄰之低壓與高壓端接在一起，再以伏特計跨接於其餘之兩端，然後在高壓端上加入一電壓V1，若伏特計的讀數大於V，則為加極性；若伏特計的讀數小於V1，則為減極性。 圖7-27 變壓器極性測試之電路安排