電路學 第三章 儲能元件

基本電路元件 電阻器，電容器及電感器 。 電阻器消耗能量或將電能轉換成為其他的能量形態；例如熱或光。 在理想狀況之下電容器及電感器並不消耗能量，只儲存能量，並在一適當的瞬間裡將能量送回到電路。 電容器儲存電能。 電感器儲存磁能。

電容器 由兩片厚度甚薄且導電性相當高的電極板夾著一片電阻甚高的絕緣介電質所構成 (a)基本結構 (b)電路符號

電容器 任何一電容器所帶的電容量可以表示為： C=orA/d[F] (3-1) o＝真空的介電常數為一基本物理量，其值為8.8×10-12F/m。 r＝介電質相對於真空的相對介電常數，為一無因次單位， 工業界常以K來表示。 A＝電極板的面積。 d＝兩電極板之間的距離，亦即介電材料的厚度。 電容量的基本單位為法拉(farad，F) ，由(3-1)式可知電容器的電容量隨著所用的介電質，介電質的厚度以及存在於介電質表面的電極板之面積來變。

表3-1 介電常數 材料 介電常數 真空 1.000 空氣 1.008 鐵弗龍 2.0 蠟 2.25 紙 2.5 橡膠 3.0 雲母 5.0 表3-1 介電常數 材料 介電常數 真空 1.000 空氣 1.008 鐵弗龍 2.0 蠟 2.25 紙 2.5 橡膠 3.0 雲母 5.0 電木 7.0 玻璃 7.5 水 7.8 鈦酸鋇陶瓷 8000

電容器 除了電容量以外，在使用電容器時另一個必須知道的參數就是它所能耐的電壓，當使用超過其所能耐的電壓時，電容器將會被破壞。 電容器在電路裡的主要工作是儲存電能，亦即是指儲存電荷。當一個大小為V的電壓加入於電容量為C的電容器兩個電極板之間時，它可以使數量為Q的電荷量儲存於電容器裡： Q[C]＝C[F]×V[V] (3-2)

充電&放電 加入電壓使電荷儲存於電容器的工作稱為充電，當電路的連接方式有所改變時，儲存於電容器裡的電荷量可能被移走而在電路裡作其他的應用，使電荷量移離電容器的工作稱為放電。 對一理想而沒有損失的電容器而言，在充電過程裡儲存了多少電荷量則在放電過程裡會放出相同數量的電荷量。

充電&放電 理想電容器是指所用的介電質為完美的絕緣材料，其電阻值為無限大。 但實際上介電質的電阻不可能為無限大而是一有限值(其值相當大)。當此一有限值存在時，視同為在電容器兩電極板之間存在有一電阻器。 電壓加入後，將因此一電阻器的存在而產生了一個甚小的電流在其間流動，此一小電流稱為漏電流。 漏電流的流動會使兩電極板之間產生放電現象。因此對一實際電容器而言，所充的電荷量有一部份將因漏電流的存在而損失掉，因此其放電量通常會較充電量為小。

充電&放電 圖3-2 電容器之漏洩

充電&放電 電容器沒有充電時，每一電極板上具有相同數目的正電荷以及負電荷，若將一伏特計跨於兩電極板之間則其讀數為零[圖3-3(a)]。 圖3-3(b)所示為加入電源來進行充電的情形，此時帶負電性的電子會離開電容器右邊的電極板而往電源的正極來流動。同時電子會離開電源的負極而流動到電容器左邊的電極板。當一個電子離開電容器右邊的電極板，而到達電源的正極時，另一個電子必須離開電源的負極往電容器左邊的電極板來流動，通過介電質而補充到右邊的電極板，亦即產生電流，但因介電質為絕緣體所以此一電流並不存在。因電子無法通過介電質，所以它將累積在左邊的電極板，相似的在右邊的電極板因為帶負電的電子被移走，所以在充電結束時，右邊的電極板將累積了大量的正電荷。 充電結束後存在於右邊電極板的正電荷數量將等於存在於左邊電極板的負電荷數量。因為這些電荷量存在，所以在充電完畢後將有一個大小等於外加電源的電壓跨於電容器的兩端，如圖3-3(c)所示。也就是指充電完畢後電容器可視同為一電源，在沒有漏電流的理想狀況下，此一電源的大小與使到電容器能產生充電工作的電源之大小相等，但極性相反。

圖3-3 電容器充電過程(a)尚未充電，(b)正在充電，(c)充電完畢 充電&放電 圖3-3 電容器充電過程(a)尚未充電，(b)正在充電，(c)充電完畢

充電&放電 一個充電完畢的電容器在沒有漏電流存在的理想情況之下，其電荷會一直存在於兩電極板之上，也就是指會有一電壓跨於兩電極板之間，欲使此一電壓降為零則必須要經過放電處理。所謂放電處理就是在兩電極板之間連接另外一條沒有電源存在的通路，使存在於右邊電極板的正電荷能經由此一通路來與存在於左邊電極板的負電荷產生中和，隨著中和量的增加，存在於兩電極板上的電荷量亦即跨於兩電極板之間的電壓會減少，當電荷量或電壓降為零時，即表示放電工作完成。

充電&放電 圖3-4所示為電容器放電工作的處理方式，圖3-4(a)的電路與圖3-3的電路相似，但其中多了一個包含有開關2的通路，此一通路並不存在有電源。當開關1閉合而開關2為打開時，電路如圖3-3(b)的電路是處於充電的狀態。當充電完畢後，將開關1打開，但使開關2閉合。當開關2閉合時將提供了一條能使左邊電極板的電子與右邊電極板正電荷產生中和的通路，也就是提供了一條能使左邊電極板的電子流向右邊電極板的通路，如圖3-4(b)所示。當中和完畢時，跨於兩電極板之間的電壓將降為零，如圖3-4(c)所示，就是指電容器放電完畢。

圖3-4 電容器的放電(a)已充電之電容器，(b)進行放電，(c)放電完畢 充電&放電 圖3-4 電容器的放電(a)已充電之電容器，(b)進行放電，(c)放電完畢

圖3-5 電容器電流流向(a)充電，(b)放電 充電&放電 充電時電流的流向與放電時相反，但無論是那一種情形，電流都是經由外部電路由某一電極板流向另一電極板但都不會流過介電質。 圖3-5 電容器電流流向(a)充電，(b)放電

靜電場 電容器被充電後，在其兩電極板上分別存在有不同極性的電荷。因這些電荷的存在，所以在介電質裡將存在有一電場，此一電場是由不可移動處於靜止狀態的電荷所產生，因此亦稱為靜電場。此一電場的大小與電極板上的電荷量成正比，並且以電力線或電通量來表示。

圖3-7 靜電場分布(a)電荷相吸引，(b)電荷相排斥 電力線 電力線由正電荷發出而終止於負電荷，兩電荷相吸或相斥是因電力線的連通或電力線的相互排斥所導致。 在任何空間裡電力線永不相交。 圖3-7 靜電場分布(a)電荷相吸引，(b)電荷相排斥

靜電場 在電荷周圍必有相對應的電場存在。任何一點的電場大小與電荷量的大小以及此點與產生電場的電荷之距離有關。 當兩電荷相互靠近時，它們之間的作用力為 此一關係可以改寫為： 　　　　　　　　　F=Q1E[N] (3-3) 其中 　　　　　　　　　　　　　 (3-4) 是電荷Q2在距離r處所形成的電場。由前面的推論可知，在任何一點的電場強度E可以表示為： 　　　　　　　　 E=F/Q[N/C]　 (3-5) 是指在任何一點的電場強度等於在該點單位電荷所受到的作用力。

靜電場 若將某一單位電荷由a點移至b點所需的能量為： (3-6) 而ab兩點之間的電壓可定義為： (3-7) 其中d表示a與b之間的距離。 　　　　　　　　 (3-6) 而ab兩點之間的電壓可定義為： (3-7) 其中d表示a與b之間的距離。 因此可知電場與電壓的關係為： E=V/d[V/m]　　　　 (3-8) 也就是指在兩點之間的電場強度等於跨於這兩點之間的電壓除以這兩點之間的距離。

例3-1 在真空中某點P放上一電量為3×10-6C的點電荷，此一點電荷會受到5×10-4N的靜電力作用，請問此一P點的電場强度為多少？ [解]：由(3-5)式可知

電容性時間常數 當有一直流電源跨於電容器兩端時，將會使電容器產生充電工作，在充電完成後跨於電容器兩端的電壓將等於直流電源的電壓。而如果一個已經經過充電的電容器，當它和一負載相連接時，電容器將經由此一負載來放電。 無論是充電或放電都不是瞬間能完成的，而是需要經過一段時間才可能完成。充電或放電所需要的時間是與電路的時間常數有關，而時間常數則與電路裡的電容值以及電阻值有關。

圖3-8 電容器之充電(a)充電開始，(b)充電完成 電容性時間常數 以圖3-8(a)的電路來說明充電的情形，此一電路包含有一個100V的直流電源，一個電容量為2F而完全沒有充電的電容器，以及一個1M的電阻器，這些元件是以串聯方式來組合。當開關閉合時，因電容器完全沒有充電，所以跨於它兩端的電壓為零，也就是指電源與電容器之間存在有電位差，因此會有電流在電路裡流過，以使電容器得予充電。當電容器開始充電時，跨於它兩端的電壓會上升，使電源與電容器之間的電位差變小，因而使在電路裡流通的電流也隨之減少。當電源與電容器之間的電位差為零時，流通於電路裡的電流將為零，也就是指此時充電工作已完成，跨於電容器兩端的電壓等於電源的電壓，如圖3-8(b)所示。 圖3-8 電容器之充電(a)充電開始，(b)充電完成

電容性時間常數 在充電過程裡，跨於電容器兩端的電壓之增加速率或流通於電路裡的電流減少速率是與電路裡的電容值以及電阻值有關。電路裡的電容值與電阻值的乘積稱為電路的時間常數，，亦即 　　　　 ＝RC[s]　　　　　　　(3-9) R單位為歐姆()，C單位為法拉(F)，單位為秒(s)。 對圖3-8的電路而言，其時間常數為 ＝RC＝2F×1M＝(2×10－6)(1×106)＝2[s] 某一電路的時間常數是指在該時刻裡電路的變量參數；如電壓或電流等將達到其最終值的63.2﹪。

電容性時間常數 對任何一電容器而言，在充電過程裡其電壓對時間的變化如圖3-9所示。由圖上可發現電容器的電壓是以指數方式隨時間來增加。 圖3-9 電容器充電曲線

電容性時間常數 在第一個時間常數的時段裡，亦即1RC＝2s裡，電容器將充電到其最終值的63.2%，也就是100V×63.2%＝63.2V。 在第二個時間常數的時段裡，也就是由2s到4s的時段裡，電容器將充電至所剩的電壓之63.2%。在第一個時間常數的時段裡電容器已充電到63.2V，因此所剩的電壓為(100V－63.2)＝36.8V，在第二個時間常數的時段裡，電容器因充電而增加的電壓量為(63.2%×36.8V)＝23.2V。也就是指由開關關上後，經過了兩個時間常數後，電容器因充電所得到的電壓為(63.2V＋23.2V)＝86.5V，或最終值的86.5%。 在第三個時間常數的時段裡，也就是由4s至6s，電容器因充電所增加的電壓為[(100V－86.5V)×63.2%]＝[13.5V×63.2%]＝8.532V，因此在第三個時間常數終了時，電容器因充電所得到的總電壓為[86.5V＋8.532V]＝95V，也就是指在此時它已充電到最終值的95%。 在第四個時間常數時段裡[由6s至8s]，電容器因充電所增加的電壓為[(100V－95V)×63.2%]＝[5V×63.2%]＝3.2V。因此在此一時段終了時電容器充電所得到的總電壓為95V＋3.2V＝98.2V，也就是達到最終值的98.2%。 在第五個時間常數時段裡[由8s至10s]，電容器因充電所增加的電壓為[(100V－98.2V)×63.2%]＝[1.8V×63.2%]＝1.1V，因此在經過5個時間常數後，電容器所充的電壓已達98.2V＋1.1V＝99.3V，也就是達到最終值的99.3%。此時電容器視同為已經充電完成。

電容性時間常數 在充電過程裡充電電流會隨著電容器電壓的增加而減少，在充電完成後此一充電電流將減少至零。 圖3-10 充電電流的時間關係曲線

電容性時間常數 流動於圖3-8電路裡的充電電流可以表示為： i=(VS－VC)/R (3-10) i=(100V－0V)/1M=100[A] 為最大值。但隨著充電工作的進行VC會增加，充電電流會隨之而減少。因VC隨著時間常數的增加作63.2%比例的方式來上升，因此充電電流將隨此一比例來減少。 當第一個時間常數終了時，電容器電壓上升到63.2V，此時充電電流將下降至 i=(100V－63.2V)/1M=36.8[A] 也就是在此一時段裡電流衰減了63.2%。

電容性時間常數 在第二個時間常數時段裡，充電電流繼續以63.2%的比例來下降，在此一時段裡，充電電流下降了 　　　　63.2%×36.8A＝23.3[A] 在此一時段終了時，充電電流只剩下 　　 100A－(63.2A＋23.3A)＝13.5[A] 也就是指充電電流下降到只剩下13.5%。 在第三個時間常數的時段裡，充電電流繼續以63.2%的比例來下降到5A，也就是只剩下5%。 在第四及第五個時間常數的時段裡，充電電流分別下降到1.8A及0.7A，也就是指在第五個時間常數終了時，充電電流下降到0.7A也就是只剩下0.7%，如此小的一個數值可視為接近於零，也就表示充電工作已完成。

電容性時間常數 在純電阻性電路裡電流增加會導致電壓增加，兩者以同步的方式來變化，也就是說對電阻器而言，流過它的電流與跨於它的電壓是為同相。但在電容性電路裡，電壓與電流不再是同相，電壓的增加會導致電流的減少，如圖3-11所示，也就是指兩者為異相。在電容性電路裡電流是領先電壓，也就是指在此一電路裡先有電流的流通才產生跨於電容器兩端的電壓。 圖3-11 電容性電路的電流與電壓關係

電容性時間常數 在充電過程裡電壓是以指數方式來上升，而電流則是以指數方式來下降。但在放電過程裡電壓及電流都是以指數方式來減少，但放電電流的方向是與充電電流的方向相反，如圖3-12所示。 由圖3-12可知在放電開始的瞬間電壓及電流均為最大，隨著時間的增加，它們均以63.2%的比例以指數方式來減少，經過五個時間常數後均降到零。

圖3-12 放電過程(a)電壓與(b)電流的變化情形 電容性時間常數 圖3-12 放電過程(a)電壓與(b)電流的變化情形

電容器的組合 如同電阻器一樣，電容器也可以作串聯或並聯的連接。 圖3-13 電容器的並聯

電容器的組合 由並聯組合的條件可知，跨於每一電容的電壓是相等的而且等於外加電壓，流入每一電容器的電流或電荷量的總和是等於總電流或總電荷量QT，因此 　　　　QT＝Q1＋Q2＋＋Qn[C]　　　 (3-11) 因Q＝CV，所以 　　　　CTVT＝C1V1＋C2V2＋＋CnVn[C]　　　(3-12) 其中CT及VT分別表示總電容量及外加電壓。 Ci及Vi(i＝1，2，，n)分別表示每一電容器的電容量及跨於 它們之上的電壓。 由並聯條件可知 　　　　VT＝V1＝V2＝＝Vn[V]　　　 (3-13) 所以 　　　 (3-14) 在並聯時，總電容量等於各個電容器的電容量之總和，此一情形與電阻器串聯者相似。

電容器的組合 電容器的並聯可以利用圖3-14的方式來加予說明，圖3-14(a)裡所示為兩個電容器分別為2F及4F的電容器並聯組合的情形，假設這兩電容器所用的介電材料及厚度均相同，則當它們並聯時，其組合情形，如同圖3-14(b)所示，也就是合成一個面積較大的電容器。由電容的關係可知當r及d為一定時，A的增加將會導致C的增加。 圖3-14 電容器並聯的例子

電容器的組合 在串聯時，流過每一個電容器的電流或電荷是相同的，而跨於每一電容器的電壓之總和則等於外加電壓，因此 　　　　 VT＝V1＋V2＋＋Vn[V]　　　(3-15) 因此 　　　　　　　 (3-16) 因 　　　　QT＝Q1＝Q2＝＝Qn[C] 所以 　　　 (3-17) 或 　　　　　　 (3-18)

電容器的組合 在只有兩個電容器串聯的特殊情形下，其總電容量可以表示為： (3-19) 其情形與電阻器並聯者相似。 　　　　 　　　　　 (3-19) 其情形與電阻器並聯者相似。 已充電的電容器在串聯時，如同電阻器串聯一樣可用來作為分壓器使用，也就是 　　　　 　　　　　　　 (3-20) 其中CT及VT分別表示總電容器及總電壓 VCX表示跨於CX電容器兩端的電壓

CT=C1＋C2＋C3=1F＋0.5F＋0.75F=2.25F 例3-2 試求下圖電路的總電容量。 [解]：因為是並聯，所以總電容量為 CT=C1＋C2＋C3=1F＋0.5F＋0.75F=2.25F

例3-3 試求左電路的總電容量。 [解]：因為是串聯，所以 總電容量為

例3-4 若所加入的電源電壓為24V，試求跨於例3-3電路中每一個電容器的電壓為多少？ [解]：由分壓器法則可知

電容器的iv特性 當加上電壓後在電容器的兩電極板上存在有不同電性的電荷，因此形成了一電場，而使它能儲存能量，而儲存有多少能量，則必須要先求知有多少電流流過電容器以及跨在電容器的電壓為多少。因介電質為高絕緣性物質，所以流過與電容器相連接導線的傳導電流是無法直接流過電極板，但若所加入的是隨時間變化的電壓時，則電容器內會產生漂移電流，此一漂移電流等於傳導電流。

電容器的iv特性 由電流的定義可知 若q(t)是儲存於電容器電極板上的電荷量，即 若C為定值，即 (3-21) 或 (3-22) 其中iC(t)及vC(t)分別表示流過電容器的電流及跨於電容器的電壓。

電容器的iv特性 若將(3-22)式從t＝－積分到某個時間t，且假設v(－)＝0，可得到： (3-23) 其中vC(to)表示由時間t＝－到t＝to電容器電極板聚集的電荷所產生的電壓。 若設to＝0，則(3-23)式可改寫為： (3-24) 其中vC(0)稱為初始電壓，它表示在電路工作前已經存在於電容器的電壓，此一初始電壓對電路的工作會產生影響。

電容器的iv特性 當電荷聚集在電極板時即表示電容器儲存有能量，此一能量可由傳導到電容器的功率來求得。由功率的關係可知： (3-25) 因此所儲存的能量為： (3-26)

磁的現象 電與磁的關係相當密切。沒有磁的作用，所有的發電機、電動機、變壓器、繼電器、自動開關等設備均無法工作。電與磁之間的作用是經由所謂電磁感應所產生，磁鐵的運動可產生電流，電流的流通可形成磁場，並形成電路基本三元件之一的電感器之工作。 凡是能吸引鐵的物質均稱為磁鐵，使物質具有此一吸鐵性之作用稱為磁化。依形成方式磁鐵可分為天然磁鐵及人造磁鐵兩種。依磁性存在之久暫來分，磁鐵可分為暫時磁鐵及永久磁鐵兩種。暫時磁鐵之磁性只有在磁化時存在，磁化作用移去後，磁性即消失。但永久磁鐵之磁性歷久不衰。 在磁鐵裡，磁性最強的部位稱為磁極，磁極有南極(S極)及北極(N極)之分。如同電荷一般，磁極間有作用力存在，同極性的磁極相斥，異極性的磁極相吸。磁極間之作用力如電荷作用力一般可用庫倫定律來表示。

磁的現象 庫倫磁力定律是指兩磁極間之作用力與兩磁極強度之乘積成正比，而與磁極間距離之平方成反比，即： 　　　　　F=km1m2/r2[N]　　　 (3-27) 其中，m1及m2分別表示磁極強度，其單位為韋伯(Weber，Wb)。k為一隨所用單位以及磁極存在的介質的特性而定。在SI系統裡， 　　　　 k=1/4[m/H]　　　　 (3-28) 稱為導磁係數，它可表示為： 　　　　 ＝or　　　　　 　　 (3-29) o為真空中之導磁係數其為一物理量，其單位為亨利/公尺(H/m)，而大小為 　　　　 o＝4×10－7[H/m] r為物質相對於真空之導磁係數，稱為相對導磁係數。如同r一樣，定義為相隔距離不變之磁極，置於真空中與置於介質中作用力之比。設在真空中之作用力為Fo，在介質中之作用力為F，則： 　　 r=Fo/F=o/ (3-30)

磁的現象 磁極的特性就是N極與S極必須相伴而生，不像正負電荷可以單獨存在。任何一磁鐵，其中一端為N極，另一端為S極。若從中間將磁鐵截成二半，則每一半會自動形成包含有N極及S極之磁鐵。 磁極間因有作用力存在，故被認為在其周圍有一與地球引力場相似的力場存在，此一力場稱為磁場。磁場之分佈情形可由小指南針在磁鐵周圍運動時，其指針的指向來判定，如圖3-18所示。通常可用所謂磁力線來表示磁場，如圖3-19所示。 圖3-18 指南針在磁鐵周圍之指向 圖3-19 磁極與磁力線分布

圖3-20 磁力線之分布(a)單一磁鐵，(b)同性相斥，(c)異性相吸 磁的現象 磁力線具有以下之特點(磁鐵磁力線之分布如圖3-20所示)： (1)磁力線本身有伸縮之特性，磁力線之間彼此相斥，互不相交。 (2)磁力線為封閉曲線，由N極出發，經由空間回至S極，然後在磁鐵內部由S極回至N極而完成迴路。 (3)磁力線離開或進入磁鐵時，必垂直於磁鐵表面。 (4)磁力線的疏密，表示磁場之大小。 (5)磁力線上某點之切線方向，表示該點磁場之方向。 圖3-20 磁力線之分布(a)單一磁鐵，(b)同性相斥，(c)異性相吸

磁的現象 通過某一面積之磁力線數稱為磁通，以來表示，其單位為韋伯(Wb)。在空間中，每單位面積垂直通過之磁通數稱為磁通密度，以B來表示，設截面積為A之空間所垂直通過之磁通為，則 B=/A[T]　　　　　　　　　(3-31) 磁通密度單位為特斯拉( T)，相當於每平方公尺有1韋伯之磁通。 在磁的現象裡另一個重要而必須要考慮的參數為磁場強度，磁場強度是指單位磁極在磁場中某點所受到之作用力 H=F/m[N/Wb]　　　　　　　　(3-32) 因磁通密度可用來表示磁場之大小，因此磁通密度與磁場強度具有以下的關係： 　　　　B＝H[T] 　　　 　　　　　(3-33) 磁場強度與磁通密度均為向量，其方向為單位N極之受力方向。磁場強度之單位為牛頓/韋作(N/Wb)，或安匝/公尺(A/m)，在電磁感應裡以後者的用途較廣。

磁化曲線 在目前實際使用的磁鐵材料多為人工磁鐵，這些磁鐵在製造完成後並不具有磁性，必須將之置於磁場內經過所謂磁化處理後才具有磁性。在磁化過程中表現磁化力與物質之磁通密度的關係曲線稱為磁化曲線或磁滯迴路。因為此一曲線所表示的是物質內磁通密度B與外加磁場H之間的關係，故通常稱之為B~H曲線。 一般材料，其剩磁較大者，適於製造永久磁鐵，而剩磁較小者，適用作為暫時磁鐵。在使用任何磁鐵時，必須要知道其磁化曲線，以了解材料過去的磁特性，以選擇適當的材料。

磁化曲線 當磁化開始時，物質沒有磁性，故H=0及B=0，如圖3-21上的o點。當磁場增加時，磁通密度會隨之而上升，首先磁通密度快速上升，然後緩慢增加，最後達到飽和。其變化過程如oa線所示。若降低H，B並不循原線回至原點，而沿abc的路徑下降，在到達b點時，因外加磁場為零，故此時之磁通密度稱為剩磁，此一磁通密度較磁場變化為遲緩之現象，稱為磁滯。當磁場往反方向增加，使磁通密度下降至零，此時的反向磁場大小oc稱為頑固磁力。若磁場繼續向負方向增加，到達d點時，則B沿de方向變化，當H＝0時，有一反向剩磁oe存在，若將H繼續增加，使B可重返a點。 圖3-21 磁滯迴路

電流之磁感應 磁場除了由磁鐵產生外，亦可由通以電流之導體來產生，如圖3-22所示。當電流I通過導體時，在距離導體中心r處的磁場強度為： H=I/(2r)[A/m]　　　　　　　　　(3-34) 此一磁場的方向可用安培右手法則來表示，以右手握導體，姆指指向電流方向，則其餘四指所指之方向，即為磁力線之方向，如圖3-23所示。 圖3-22 電流之磁場效應 圖3-23 安培右手法則

電流之磁感應 若將導體彎曲成圓環形，即形成一單匝線圈，當電流通過單匝線圈時，根據右手法則，線圈周圍有磁場，其分布情形如圖3-24所示。同時因對稱關係，單匝線圈所產生的磁場大多集中於線圈中心，而在線圈外，因互相抵消而使磁場變弱。設此一單匝線圈的半徑為a，所通過的電流為I，則在線圈中心點的磁場為： H=I/2a[A/m]　　　　　　　　　　(3-35) 圖3-24 單匝線圈之磁場分布

電流之磁感應 將導體繞成具有N匝的多匝線圈，若其厚度遠小於半徑，則磁場集中於線圈內部及其大小為： H=NI/2a[A/m] (3-36) 若將導線沿一定軸繞成螺旋形之長管，或一多匝線圈所繞成之管狀線圈，其長度遠較其半徑為大者，稱為螺管。當通以電流時，螺管的磁場分布如圖3-25所示。欲表示此一磁場的分布可用右手螺管法則來表示，即以右手握螺管，除姆指外，以其餘各指表示電流方向，則姆指之指向為磁場方向，如圖3-26所示。

電流之磁感應 圖3-25 螺管磁場 圖3-26 右手螺旋法則

電流之磁感應 若螺管之長度遠大於其半徑，則螺管內各點之磁場強度除靠近兩端者外，頗為均勻，其大小與導線中電流及螺管所含線圈之匝數成正比，與螺管之長度成反比，而與螺管之半徑無關。即： 　　　　　　　　　　　 (3-37) 若螺管之長度與其半徑相差不大時，則 　　　　　　　　　　 (3-38) 其中，L表示螺管長度，a表示其半徑。 在上两式裡，均可發現NI此一乘積的存在。此一乘積稱為磁動勢(mmf)為磁通之來源，以F來表示，其單位即安匝(A-t)。可知在相同的電流之下，線圈圈數愈多，所產生的磁場愈大。

法拉第感應定律 電流的流動可以產生磁場，相反的磁場的變化也可以產生電動勢或電流。此一因磁場變化而導致電流產生的現象稱為是電磁感應。 電磁感應可以用圖3-27的實驗組合來觀察。此一實驗組合包含了一塊棒型的電磁鐵，一個和電流表串聯在一起的線圈，此一電流表的零點是位於中央。當電磁鐵與(線圈/電流表)組合兩者維持不動時，電流表並不產生工作。 圖3-27 電磁感應實驗組合

法拉第感應定律 當電磁鐵與(線圈/電流表)產生相對運動，使兩者相互靠近時，電磁鐵的磁力線將會切割到線圈，當此一現象發生時將在線圈裡感應得到一電動勢，進而產生了電壓並導致電流在線圈裡流動，如圖3-28(a)所示。當電磁鐵固定於線圈內不再產生運動時，並不會產生感應電壓，因此不再有電流流動，如圖3-28(b)所示。若將電磁鐵以反方向來拉離線圈時，因存在有相對運動，因此又可以感應出電壓，而使電流再度產生，但因運動方向相反，所以感應到的電流之流向為相反，如圖3-28(c)所示。如果電磁鐵之運動速度加快，則所感應得到的電壓及電流也相對的變大，同時若電磁鐵不斷作往返工作時，電流的流向也不斷作往復的變化，如圖3-28(d)所示。若採用磁場強度較大的電磁鐵[圖3-28(e)]或採用圈數較多的線圈[圖3-28(f)]也可以使感應得到的電壓及電流變大。

法拉第感應定律 圖3-28 電磁感應

法拉第感應定律 如果某一導體與某一磁場兩者間產生相對運動，則會在導體裡感應出一電壓。此一感應電壓的大小與線圈的圈數，磁場的大小及相對運動的速率有關，此一關係稱為法拉第感應定律，它可以表示為： (3-39) 其中Vind表示感應所得到的電壓，N表示圈數亦即匝數，表示穿過線圈之磁通量。線圈匝數與其交鏈磁通量之乘積稱為通鏈 　　　　 =N [Wb]　　　　　(3-40) (3-39)式亦可解釋為線圈所感應之電壓與其磁通鏈之瞬間變化率成正比，即 　　　　　　　　　　　　　 (3-41) (3-39)及(3-41)式中之負號所代表的意義為感應電壓所產生之感應電流，恆有一效應反對感應作用之產生，亦即反對磁通量之變化，此一關係稱為楞次定律。

法拉第感應定律 楞次定律可用來決定感應電壓之極性或感應電流之流向，當線圈之磁通有增減趨勢時，感應電流之磁場有阻止線圈磁通之減增趨勢，如圖3-29所示，當磁鐵N極移向線圈時，線圈中之磁通將增加，則感應電流所產生之磁通將與由磁鐵N極所發出者相反，易言之，亦即在線圈左側感應一N極以反對磁鐵N極之進入。相反的，當磁鐵N極移離線圈時，感應電流之磁場將在線圈左側感應出一S極，以反對磁鐵N極之移離。 圖3-29 楞次定律

自感 當通過線圈之電流發生變動，而使線圈本身之通鏈發生變化，線圈即感應出電壓。若產生感應電壓之通鏈變化是由線圈本身電流所引起，則此一線圈具有自感。 設有一N匝之線圈，通有i(t)之電流，所產生之磁通量為(t)，由法拉第感應定律可知此線圈之自感電壓為 (3-42) 其中L稱為線圈之自感量或電感，它可表示為 　　　　　　　　　　 (3-43) 單位為亨利(H)，以磁的單位來表示即1H＝1Wb-t/A，由(3-43)式可知亨利也可定義為單位電流變化率所感應之伏特數。

自感 電路之電感為電路之固有性質，自感電壓之方向可由楞次定律決定，若電路之電流增加，則自感電壓將反對電流之增加，其方向與電流相反。若電路之電流減少，自感電壓將反對電流之減少，其方向與電流同方向。由上述的說明可知電感效應具有反對電流變化之特質。具有電感性質之元件稱為電感器。 電感器是將導體圍繞於一磁性材料，亦即是將線圈架構於磁性材料上所形成。電感器的電感量是與 1.線圈的圈線亦即匝數 2.線圈的面積 3.線圈的長度 4.所用的磁性材料 等有關。

自感 線圈的圈數愈多電感量愈大，如圖3-30所示，基本上電感量是與圈數的平方成正比。 圖3-30 電感量與圈數的關係

自感 線圈的面積愈大，則電感量愈大，電感量是與面積成正比，如圖3-31所示。 圖3-31 電感量與線圈面積的關係

自感 電感量是與線圈的圈數及面積成正比，但與線圈的長度成反比，在圈數及面積為固定時，線圈愈長電感量愈小，如圖3-32所示。 圖3-32 電感量與線圈長度的關係

自感 若所使用的磁性材料其導磁係數愈大，則電感量愈大[導磁係數為表示材料磁特性能力之一個參數，導磁係數愈大則表示其磁特性愈強]，如圖3-33所示，表3-2所示為某些常用材料的導磁係數。 圖3-33 電感量與磁性材料的關係

表3-2 某些材料的導磁係數 材料 r* ** 真空或空氣 1 1.26×10－6 鎳 50 6.28×10－5 鈷 60 7.56×10－5 鑄鐵 90 1.1×10－4 鋼材 450 5.65×10－4 變壓器鐵 5,500 6.9×10－3 矽鐵 7,000 8.8×10－3 超高導磁合金 1×10－6 1.26 *相對導磁係數r是指材料相對於真空或空氣導磁係數之值，為一無因次單位。 **導磁係數**的單位為Hm-1。

電感器 對任何一電感器而言電感量可以表示為： (3-44) 其中N表示圈數 A表示線圈的面積 l表示線圈的長度 表示所用磁性材料的導磁係數

圖3-34 電感器的電路符號(a)固定，(b)可變 電感器可分為固定電感器及可變電感器兩種，圖3-34所示為這兩種電感器的電路符號。 圖3-34 電感器的電路符號(a)固定，(b)可變

電感器 固定電感器依所用的磁性材料來分大致上可分為空氣芯，鐵芯及陶鐵體芯三種。空氣芯電感器是以空氣來作為磁性材料。其特徵為電感量不隨所加入的電流來變，其值通常較小(大約在10H以下)，常使用在高頻設備方面，如AM及FM收音機，電視，或其他通訊發射及接收電路方面。鐵芯電感器是將線圈繞於具有較高導磁係數的鐵質材料之上而成。圖3-35(a)所示為其一結構例子，而圖3-35(b)所示為其電路符號，此類電感器有較高的電感量，可達數佰亨利，但只適用在直流及低頻交流電路。陶鐵體芯電感器是將線圈繞於以陶瓷體所製成的磁性材料之上而成，其電路符號與鐵芯者相似。 圖3-35 鐵芯電感器(a)結構 (b)電路符號

電感器 可變電感器其電感量為可變者，圖3-36(a)所示為其結構，而其電路符號如圖3-36(b)所示。

電感性時間常數 電感器對穩定的直流沒有任何作用，但它會對如圖3-37所示的脈波型電流會產生作用，主要是因為當電流增加或減少時會使磁場產生變化進而感應出電壓。 圖3-37 脈波

電感性時間常數 圖3-38所示為一串聯電路，包含有一直流電源，一個作限流用的電阻器以及一個電感器，當開關關上時，電流將往電感器方向來流動，因而使電感器產生了一個磁場並感應出一電壓，由楞次定律可知此一感應電壓反對電流的增加，使電流無法馬上達到其最大值。 如同電容性電路一般，在此一電路裡電流必須經過五個時間常數的時間才能達到其最大值。在電感性電路裡時間常數與電路裡的電感值以及電阻值有關，它可以表示為： 　　　　 ＝L/R[s]　　　　　　　　　　(3-45) 圖3-38 電感性電路

電感性時間常數 圖3-39所示為電感性電路電流增加率與時間的關係。在第一個時間常數的時段裡電流上升到最大值的63.2%，而在第二個時間常數裡電流繼續上升並到達剩餘值的63.2%，亦即86.5%，在後續的時段裡，電流以同樣的速率上升到第五個時間常數終了時，電流已上升至99.3%，而視同為到達一飽和量。 圖3-39 電感性電路電流增加率與時間的關係

電感性時間常數 當電源被移走，同時電感器被連接到一短路線，如圖3-40(a)的b點時，存在於電感器裡的磁場將被釋放而產生了一流通於電路裡的電流，但此一電流是以衰減的形態存在，如圖3-40(b)所示，也就是以五個時間常數的時段來衰減至零，在圖3-40(a)裡同時表示了跨於電感器及電阻器上的電壓變化。 圖3-40 電感器電流衰減之時間關係

例3-5 設有一電感性電路，其電源為12V直流，R=60及L=24mH，試求當開關關上後，流於其內的電流變化。 [解]：此一電路的時間常數為，＝L/R＝24mH/60＝400[s]。 　　 此一電路的最大電流為Imax＝Vs/R＝12/60＝200[mA]。 　　 第一個時間常數終了時；亦即開關關上後400s，電流的大小為： 　　　　　　I＝63.2%×Imax＝0.632×200mA＝126.4[mA] 　　 第二個時間常數終了時，亦即開關關上後800s，電流的大小為： 　　　　　　I＝86.5%×Imax＝0.865×200mA＝173[mA] 　　　　第三個時間常數終了時，亦即開關關上後1200s，電流的大小為： 　　　　　　I＝95%×Imax＝0.95×200mA＝190[mA] 　　　　第四個時間常數終了時，亦即開關關上後1.6ms，電流的大小為： 　　　　　　I＝98.2%×Imax＝0.982×200mA＝196.4[mA] 　　　　第五個時間常數終了時，亦即開關關上後2ms，電流的大小為： 　　　　　　I＝99.3%×Imax＝0.993×200mA＝198.6[mA] 　　　　接近於200mA，整個電流變化的情形如圖3-41所示。

例3-5(續) 圖3-41 例3-5的圖

電感器的組合 當電感器串在一起，如圖3-42所示時，其總電感量為： LT＝L1＋L2＋L3＋……＋Ln＝ [H] (3-46) 其結果與電阻器串聯或電容器並聯者相似。 圖3-42 電感器串聯

電感器的組合 如果將多個電感器並聯在一起，如圖3-43所示，則其總電感量可以表示為： (3-47) 在只有兩個電感器並聯的特殊例子裡 　　　　 　　　(3-47) 在只有兩個電感器並聯的特殊例子裡 其情形與電阻器並聯或電容器串聯者相似。 圖3-43 電感器並聯

例3-6 試求圖3-44電路的總電感量。 [解]：LT＝L1＋L2＋L3＝5mH＋7mH＋10mH＝22[mH] 圖3-44 例3-6的電路

例3-7 試求圖3-45電路的總電感量 [解]： 圖3-45 例3-7的電路

電感器的iv特性 電感器的電壓是正比於產生磁場的電流之時變率，當t趨近於零時電壓電壓可以寫為： (3-50) 由此可得知流過電感器的電流為： (3-51) 或 (3-52) 若to＝0，則 iL(0)稱為電感器初始電流 ，表示電路工作前已經存在於電容器的電壓。

電感器的iv特性 由此可知傳到電感器的功率為： (3-53) 因此，電感器所儲存的能量為： (3-54)