十二年國民基本教育 課程綱要 以素養導向的數學課程 參考自臺灣大學數學系 張鎮華教授 105學年度數學學習領域輔導團 南區分區座談會 (2017.3.15)

十二年國教課綱要能…… 1.成就每一個孩子： 考量一般的、優秀的、學習困難的孩子 2.引導孩子成為學習主體： 讓每一個孩子願意學、能學、喜歡學 3.多元彈性： 年級越高，課程越要差異化、彈性化， 以適應不同需要

數學領域綱要之前導研究 不確定性與數據處理應從國小開始學習。 數的四則運算應該重視概念性理解。較大位 數的運算，可以使用計算機來計算。 直角三角比依國際趨勢納入九年級課程。 論證在數學領域佔有相當重要的地位。 空間概念在十二年的課程中宜逐年發展。 (民國102年12月)林福來、單維彰、李源順、鄭章華

1、不確定性與數據處理 不確定性：事先對可能發生的結果，以機率分布來分析。 不確定性的討論就是隨機性的探討(機率)。 原本放在九年級，日後分散到七、八、九年級。 機率與統計的內容從小一起逐年學習。

2、數的四則運算應該重視概念性理解 較大位數的運算，可以使用計算機來計算。 國一開始使用計算機。 高中課堂使用計算機實例。

3、直角三角比依國際趨勢納入九年級課程。 非三角函數，只是邊(長度)的比。不教函數概念。 葉啟村老師_直角三角比教學內容

4、論證在數學領域佔有相當重要的地位。 教科書通常僅提供一兩個例子，未再經過更多例子到所有情況 的一般化的歷程，就要求學童 接受這些尚未證實的數學知識。 學生在檢驗猜想的過 程中可逐步察覺數學知識間的結構與關係， 發展出概念性的理解 根據數學臆測任務設計的五階段原則：「造出例子和彙整及組 織例子、觀察關係並提出猜想、 驗證猜想、猜想的一般化、證 明一般化」，編排學習任務，培養學生論 證的核心素養。

5、空間概念在十二年的課程中宜逐年發展。 大凡產品設計、工業設計、建築設計、3D列印。 小至個人生活的開車、遊戲、球類運動都有巨大 關聯，從小培養，必有可觀。

不要「讀死書」。 「活用」數學的能力。 讀書不要讀到背後去。 林 福 來

http://www.naer.edu.tw/files/11-1000-1422-1.php?Lang=zh-tw

國小作品一：比與比值

國中作品一：指數律

謝謝聆聽 1.二次函數(配方法) 2.科學記號

國小作品一： 比與比值

國中作品一：指數律

謝謝聆聽

不要「讀死書」。 「活用」數學的能力。 讀書不要讀到背後去。 林 福 來

素養並不等同應用 在能應用之前 必須先具備 數學基本能力/概念

因為數學知識密度高，學習困難。容易導至教與學過度集中在知識面、技術面，無暇顧及解決問題能力的連結。 因為困難、學習時容易受到措折、不知道為何而學。

體制內的改革要傾聽反對者的聲音 Paul Luckhart 的 《一個數學家的嘆息》 如何讓孩子好奇、想學習， 　 走進數學的美麗世界。

b 。 h c a 海龍公式

問題在提出來的同時被解答了 -------學生沒事可做。 問題在提出來的同時被解答了 -------學生沒事可做。 三角形是長方形面積的一半，這個事 實並不重要。重要的是，以補助線來 切割的這個巧妙構思，以及這個構思 可能激發出其他美妙的構思，進而引 導出在其他問題上的創造性突破---- 光是事實的陳述決不可能給你這些的。

數學課程綱要的定位 Life is still going. 《課程綱要》的編寫以適 合中等程度的學生為主。 《課程綱要》是重要的參 考資料，但不是聖經。 也不要過度解讀課綱。

教師扮演重要的角色 不管教育計畫能有多周嚴 一定要留下重要位置給教師。 因為終點才是行動發生之處。 ---Jerome Bruner, 1996

阿城的小說 《棋王》。 《樹王》。 《孩子王》。 http://www.dushu369.com/zhongguom ingzhu/acheng/hzw/

《孩子王》：知青「老桿兒」下放到農村，剛好鄰村的學校缺教師，老桿兒便被調去教書了，……，而教的都是規定的教條，學生連個字也寫不清楚。……，一個字一個字的，教導學生認字。他教學生作文，不可以抄社論：「你們自己寫，…… 老老實實、清清楚楚地寫出來」。…… 王福 …

Which of these square numbers happens to be the sum of two https://www.youtube.com/watch?v=BbX44YSsQ2I Which of these square numbers happens to be the sum of two smaller square numbers? A: 16 B: 25 C: 36 D: 49

C. 2,000 months D. 1 million hours https://www.youtube.com/watch?v=L7qkKP1iTEA In the year she turns 114, the world oldest living person, Misao Okawa of Japan, accomplished the rate feat of living how long? A. 50,000 days B. 10,000 weeks C. 2,000 months D. 1 million hours

https://www.youtube.com/watch?v=7n644X0LkR4 What is the minimum number of six-packs one would need to buy in order to put “99 bottles of bear on the wall”? A. 15 B. 17 C. 19 D. 21

數學是一種語言 搭配自然語言的日常意義而學習。 5—10年級：基礎外語的學習， 輔以母語的第二語言學習。 1—4年級：母語的學習， 搭配自然語言的日常意義而學習。 5—10年級：基礎外語的學習， 輔以母語的第二語言學習。 11—12年級：專業外語的學習， 專業或博雅導向，不必假扮動機與情境。

n-I-7 理解長度及其常用單位，並做實測、估測與計算。 n-I-8 認識容量、重量、面積。 n-I-9 認識時刻與時間常用單位。 s-I-1 從操作活動，初步認識物體與常見幾何形體的幾 何特徵。 d-I-1 認識分類的模式，能主動蒐集資料、分類、並做簡單的呈現與說明。

數的四則運算應該重視概念 性理解，而非只是計算。 建議所有四則運算的概念性理解都在單 步驟問題中進行。對於學習成效較差的 學生，教師應該盡量利用較小位數運算， 讓他們有機會概念性理解。較大位數的 運算，可以使用計算機來計算，並在運 用計算機時能進行合理性的判斷。 前導研究

培養學生正確使用工具的素養 工具：計算機。 時機：國中一年級開始。 方式：學習重點涉及估計 與複雜計算之處。 建議考試可使用計算機。

●一些數學老師害怕，學生是否因為使用 計算機，反而不好好學習數學原理原則， 只圖一昧胡亂使用機器計算。 ●歷年來的數學課程綱要，大都只在實施 要點提及要使用計算機，教科書作者及教 師並不清楚教材的何處要使用。 ●臺灣的大型考試（全國技術人員考試例外）都不准使用計算機。

十二年一貫數學課綱論述系列 —計算機融入數學課程工作坊 舉辦時間：105/11/26（六）01:30pm-04:30pm 舉辦地點：國立臺灣師範大學公館校區 （台北市文山區汀州路四段88號）數學館 M212 工作坊帶領者： 謝豐瑞　國立臺灣師範大學數學系教授 李源順　台北市立大學數學系教授 王婷瑩　國立臺灣師範大學數學系助理教授 陳材河　國立臺灣師大附中數學科教師 吳珮蓁　國立新竹實驗高中雙語部Academic Affairs Director

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根式教學

根式教學https://www.youtube.com/watch?v=NaKBAhUumss https://www.youtube.com/watch?v=JxbZ753bYLM https://www.youtube.com/watch?v=MXisqzZuPyQ https://www.youtube.com/watch?v=IL_0Qyuz_SQ https://www.youtube.com/watch?v=uhJFU0qI_wk https://www.youtube.com/watch?v=JFL3lQDhm8k https://www.youtube.com/watch?v=VBC7SYOtacU https://www.youtube.com/watch?v=TeVAZvYvHBk https://www.youtube.com/watch?v=Y_BWPOMyMeI https://www.youtube.com/watch?v=FVS1WefWkBU https://www.youtube.com/watch?v=idsct_ERz5w https://www.youtube.com/watch?v=aQ__yyPK648 https://www.youtube.com/watch?v=jio8u_0FJyc

邊長是 2 的正方形截去四角

https://www.youtube.com/watch?v=JxbZ753bYLM https://www.youtube.com/watch?v=MXisqzZuPyQ 十分逼近法。

https://www.youtube.com/watch?v=VBC7SYOtacU 不就是分配律嗎？ https://www.youtube.com/watch?v=TeVAZvYvHBk https://www.youtube.com/watch?v=Y_BWPOMyMeI https://www.youtube.com/watch?v=FVS1WefWkBU https://www.youtube.com/watch?v=idsct_ERz5w https://www.youtube.com/watch?v=aQ__yyPK648

全國公私立高級中學 105學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試 105年11月3~4日 全國公私立高級中學 105學年度學科能力測驗第三次聯合模擬考試 105年11月3~4日

國小學習主軸在分數 (對應到一元一次方程式的根) 國中學習主軸在平方根 (對應到一元二次方程式的根) 高中學習主軸在 一元三次/高次方程式的根

考題比較 考題反映我們對學生的要求，教導學生的方向。 考題比較 考題反映我們對學生的要求，教導學生的方向。

檢測 四年級 七年級 國中會考 英國 KS3 會考

國中教育會考數學題目

http://www.mathsmadeeasy.co.uk/ks3mathspastpapers.htm 英國的KS3（Key Stage 3）會考適用於7、8、9年級，相當於我們的國中。KS3的數學科考試分Level 3-5、Level 4-6、Level 5-7、Level 6-8等四個等級，題目由易而難，適用於不同程度的學生。每一等級都有Paper 1和Paper 2兩本測驗卷，各考一小時。Paper 1不能使用計算機，Paper 2可以使用計算機。

能夠快速、精確地計算複雜的式子固然很好，但如果因此造成學生反感，或者消耗學生太多能量，無暇顧及其他更重要的學習，不如減少繁複計算的要求，嚐試激發學生喜歡數學的熱情。 張子

如果你要造船，不要招攬人來搬木材，不要指派人任務和工作，而是要教他們去渴望那無邊無求的大海。 Antoine de Saint Exupery《小王子》作者

Why unsolved problem K-12? https://www.youtube.com/watch?v=JPhqhZvXlhQ Why unsolved problem K-12? Engage a wide Spectrum of Student Ability. Enlighten Teachers and Students. Extinguish Math Phobia.

K. Packing Squares (Erdos & Graham,1975) 1. No-Three-in-a-Line (Dudency,1917) 2. Sum-free-Partitions (Schur,1916) 3. Graceful Tree Conjecture (Ringel,Kotzig & Rosa,1967) 4. Collatz Conjecture (Collatz,1937) 5. Perudo (Atahualpa & Pizarro,1930s) 6. Break RSA Cipher (Rivest,Shamir & Aldeman,1978) 7. Egyptian Fractions (Graham,1964) 8. Ariadne`s String (Hamilton,2005) 9. Tree-Body-Problem (D`Alembert & Clairaut,1747) 10. Chomp (Schuh,1952) 11. Markoff Numbers (Markoff,1879) 12. Sodoku et al. (Howard Garns,1979)

並在解決問題的歷程中，能有效與他人溝通觀點。

為何台灣人實力再強也難出頭天？赴美工程師：美國從小教這件事，我們卻不在乎 溝通與社交能力，比天份重要 少了「溝通」能力，就不會有「團隊」 你需要運用絕佳的溝通技巧去傳達你所擘畫的願景，你必須要使出渾身的人際技巧讓大家跟隨你的步伐往前衝刺，沒有溝通與社交這兩項能力，根本不會有團隊可言。 發展國際級的品牌，更得學習如何溝通出自己的價值 http://www.storm.mg/lifestyle/225600

可以喝到幾瓶汽水---兼談台灣中小學數學教育 2014-11-5 「有一群人想要喝汽水。假如他們有20塊錢，1瓶汽水賣2塊錢，他們可以買到10瓶汽水來喝。當他們收集到2個瓶蓋，就可以換1瓶汽水；收集到4個空瓶，也可以換1瓶汽水。請問，他們最多能喝到幾瓶汽水？」

我家讀國小三年級的老大--張騰達，能夠很清楚的算這個問題。附加檔案是他改題目 （自己問我如果換成這樣問會怎樣？我回答請他自己算。）以後的算式，我猜想他原先再心裡就是這樣做計算的。新題目是二個蓋子與三個空瓶都能換新的一瓶可樂。 他早前自己學會如何將一個非平方數手動開根號，並用一張A4的紙手動計算根號2到小數後8位。

Groups of four bottles (cap +bottle) produce three new bottles. so in effect you have a pattern: when you start with 10 bottles: you in effect have 2 * 4 + 2 bottles (10 bottles) which produces: 2 * 3 + 2= 2*4 bottles (16) which produces 2*3=4+2bottles (22) which produces 3 + 2 = 4 + 1 bottles (25) which produces 3 + 1 = 4 bottles (28) which produces 3 bottles (31) This part gets tricky. we have three caps and three bottles. Using reasoning. The two caps makes a bottle. the four bottles plus two caps makes two bottles. the two bottle caps makes another bottle. So, its an addition of four. So, in total 35 bottles.

6/1 登山中你提到你女兒的考題，我的想法如下: 一瓶汽水2元，有20元，買了10瓶，2瓶蓋可換1瓶汽水，4個空瓶可換1瓶汽水，如照命題走喝了35瓶剩一個蓋子3個空瓶。但一瓶蓋占1/2的費用，一空瓶為1/4，內容物才值整瓶汽水的1/4價值。 所以我們真可享用的內容物一瓶的量只值0.5元，很合理的20元應可以喝 40瓶的量。因瓶子與瓶蓋對老闆有價，對他來說讓我們兌換汽水他不吃虧，只是我們要自備容器。就像我們用杯子去星巴克買咖啡，可省掉容器的成本，還比較環保。 不占便宜不吃虧，就要40瓶內容物。

數學科非選擇題（示例） 罐頭工廠生產了400個罐頭並排成一列，由左至右分別標記號碼1~400。檢驗員從中抽出罐頭檢驗，首先抽出5號罐頭，之後向右走，並以某固定的間隔陸續抽出罐頭。若此檢驗員抽出15個罐頭後，無法再依此方式抽出第16個，則最後一個被抽出的罐頭號碼為何？請寫出所有可能的答案與計算過程。 ＜命題依據＞N-4-14 能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關問題。 A-4-08 能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。 ＜示例說明＞ 此題評量學生是否能運用等差數列及不等式的概念解決問題。學生作答此題時，須察覺題目中抽驗號碼的規律性，轉化成 ，找出答案，並呈現解題過程及其合理性。

數學非選示例二 如圖(十四)，四邊形 中， 點在 上， 其中 ，且 。請完整說明為何 與 全等的理由。 圖(十四)

https://www.youtube.com/watch?v=xO0cn6jmHyA 教育還有啥用？

謝 謝