第七章 无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

第七章 第一节 常数项级数的概念 常数项级数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束

常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, a k 表示边数 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, a k 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 这个和逼近于圆的面积 A . 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 知 设 t k 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为 ( s ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义： 给定一个数列 将各项依 次相加, 简记为 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 则称无穷级数 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 则部分和 解: 1) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则 2). 若 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 判别级数 的敛散性 . 解: 故原级数收敛 , 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第七章 第一节 内容小结 常数项级数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第七章 第二节 常数项级数的性质 一、无穷级数的基本性质 二、级数收敛的必要条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 收敛于 S , 即 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 其和为 c S . 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . (用反证法可证) 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 所得新级数 的部分和为 极限状况相同, 故新旧两级 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 例如 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 例如 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 因此必有 用反证法可证 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如， 但 发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意: 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 解: (1) 令 则 故 从而 这说明级数(1) 发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 , 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 这说明原级数收敛, 其和为 3 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10-3 判定级数 的收敛性. 解 由于级数收敛的必要条件是

例10-4 判定级数 的收敛性. 解

例10-5 判定级数 的收敛性. 解 将原级数加括号使之成为

第七章 第二节 内容小结 一、无穷级数的基本性质 二、级数收敛的必要条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第三节 第七章 常数项级数的比较审敛法 正项级数的比较审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、正项级数及其审敛法 若 则称 为正项级数 . 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , “ ” ∴部分和数列 单调递增, 又已知 有界, 故 收敛 , 从而 也收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2 (比较审敛法) 设 是两个正项级数, 且存在 对一切 有 (常数 k > 0 ), 则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ; (2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 讨论 p 级数 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因为当 时, 故 2) 若 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 证明级数 发散 . 证: 因为 发散 而级数 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 满足 则有 (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) 当0 < l <∞时, 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 当l = 0时, 由定理2 知 若 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

即 (3) 当l = ∞时, 由定理2可知, 若 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且 收敛时, 也收敛 ; (3) 当 且 发散时, 也发散 . (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且 收敛时, 也收敛 ; (3) 当 且 发散时, 也发散 . 特别取 对正项级数 可得如下结论 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

的敛散性 . 例3. 判别级数 ～ 解: 根据比较审敛法的极限形式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 判别级数 的敛散性. ～ 解: 根据比较审敛法的极限形式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . (2) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . (2) 发散 , 故原级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第三节 第七章 内容小结 正项级数的比较审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第四节 第七章 常数项级数的比值审敛法 正项级数的比值审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 时, 级数收敛 ; (2) 当 或 时, 级数发散 . 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 讨论级数 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 讨论级数 的敛散性 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级 数, 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明 : 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 证明级数 收敛于S , 并估计以部分和 S n 近 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 . 令 则所求误差为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第四节 第七章 内容小结 正项级数的比值审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第五节 第七章 任意项级数与绝对收敛 任意项级数,交错级数, 绝对收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证: 是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束

上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 收敛 , 则称原级 数 绝对收敛 ； 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 条件收敛 . 例如 ： 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令 显然 且 根据比较审敛法 收敛, 收敛 也收敛 定理. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令 显然 且 根据比较审敛法 收敛, 收敛 也收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 令 收敛, 因此 绝对收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 但需注意条件收敛级数不具有这性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 证明级数绝对收敛 : 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 判别级数的敛散性 : 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 判别级数的敛散性 : 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第五节 第七章 内容小结 任意项级数与绝对收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第六节 第七章 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1 判定级数 的收敛性.

的收敛性. 例2 判定级数

的收敛性. 例3 判定级数

例4 判定级数 的收敛性.

例5 判定级数 的收敛性.

例6 判定级数 的收敛性.

例7 判定级数 的收敛性.

例8 判定级数 的收敛性.

例9 判定级数 的收敛性.

例10 判定级数 的收敛性.

例11 判定级数 的收敛性.

例12 判定级数 的收敛性. 解 由于ln(1+1/n) < 1,即ln(n+1)-lnn < 1, 从而1-ln(n+1) > -lnn, 推出(n+1)-ln(n+1) > n-lnn,

由莱布尼茨判定法可知该级数收敛, 发散, 由比较审敛法可知 总之, 原级数条件收敛.

(a > 0)的收敛性. 例13 判定级数

例14 判定级数 的收敛性.

的收敛性. 例15 判定级数

例16 设级数 收敛, 试证: 级数 绝对收敛.

第六节 第七章 习题课结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第七节 第七章 幂级数 幂级数,收敛区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数, 称 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 为其收 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 为其发散点, 所有 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 为级数的和函数 , 并写成 若用 表示函数项级数前 n 项的和, 即 令余项 则在收敛域上有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如, 等比级数 它的收敛域是 有和函数 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 称 为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即 即是此种情形. 例如, 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. 常数 M > 0, 使 收敛 发散 发 散 收 敛 发 散 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束

收敛, 当 时, 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足 且使级数收敛 , 当 时, 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由Abel 定理可以看出, 的收敛域是以原点为 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R =  时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ] 外发散; 在 可能收敛也可能发散 . R 称为收敛半径 ， (－R , R ) 称为收敛区间. (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2. 若 的系数满足 则 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 即 时, 原级数收敛; 当 即 时, 原级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此级数的收敛半径 2) 若 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 3) 若 2) 若 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 因此 说明:据此定理 的收敛半径为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 求下列幂级数的收敛域 : 规定: 0 ! = 1 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值审敛法求收敛半径. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 的收敛域. 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第七节 第七章 内容小结 幂级数,收敛区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第八节 第七章 幂级数的运算 幂级数的运算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、幂级数的运算 的收敛半径分别为 定理. 设幂级数 及 令 则有 : 其中 以上结论可用部分和的极限证明 . 定理. 设幂级数 及 令 则有 : 以上结论可用部分和的极限证明 . 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 定理 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 的和函数 . 解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设 则 故有 因此得 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

的和函数 例2. 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

的和函数 例3. 求级数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 收敛 , 及 机动 目录 上页 下页 返回 结束

及 而 因此由和函数的连续性得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 解: 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

而 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 已知 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 收敛 , 时发散 . 故收敛半径为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 答: 不能. 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 说明: 可以证明 比值判别法成立 根值判别法成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7 求极限 其中 解: 令 作幂级数 易知其收敛半径为 1, 设其和为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第八节 第七章 内容小结 幂级数的运算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第九节 第七章 泰勒公式 泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 : 特点: 如何提高精度 ? 需要解决的问题 如何估计误差 ? x 的一次多项式 以直代曲 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 求 n 次近似多项式 要求: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束

泰勒中值定理 : 阶的导数 , 则当 时, 有 ① 其中 ② 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束

在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 ③ 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . * 可以证明: * 证明见江泽坚“数学分析”（上册）。 ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见 误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在泰勒公式中若取 则有 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束

二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

已知 类似可得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 因此 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 用近似公式 计算 co s x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 利用泰勒公式求极限 用洛必塔法则不方便 ! 例3. 求 解: 用泰勒公式将分子展到 项, 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第九节 第七章 内容小结 泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十节 第七章 泰勒级数 泰勒级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

函数展开成幂级数 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 本节内容: 二、函数展开成幂级数 两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展 开 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、泰勒 ( Taylor ) 级数 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 该邻域内有 : 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中 (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数展开成幂级数 直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 骤如下 : 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 故得级数 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 ( 在0与x 之间) 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可推出: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 则 运行时, 点击按钮“推导”, 可显示方程的推导过程,并自动返回. 推导 目录 上页 下页 返回 结束

(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对应 的二项展开式分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 定义且连续, 于是收敛 区间为 利用此题可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

展成 的幂级数. 例6. 将 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

展成 x－1 的幂级数. 例7. 将 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; — 利用幂级数的性质及已知展开 (2) 间接展开法 式的函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 常用函数的幂级数展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当 m = –1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 前者无此要求. 后者必需证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 如何求 的幂级数 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例10. 将下列函数展开成 x 的幂级数 解: x＝±1 时, 此级数条件收敛, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例11. 将 在x = 0处展为幂级数. 解: 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十节 第七章 内容小结 泰勒级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十一节 第七章 函数幂级数展开式的应用 幂级数的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

近似计算 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 在展开式 中,令 ( n为自然数) , 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 利用 求 的近似值 , 并估计 误差. 解: 先把角度化为弧度 (弧度) 误差不超过 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算积分 的近似值, 精确到 ( 取 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

欲使截断误差 则 n 应满足 则所求积分近似值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 上连续, 且有幂级数展开式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十一节 第七章 内容小结 幂级数的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十二节 第七章 习题课 一 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1、填空题 1. 级数 的前n项和 则该级数为

的收敛半径R= 2. 幂级数

3. 级数 的和 s =

例2、选择题 1. 下列结论中正确的为[ ]. 发散, 则 发散(un 0); 收敛, 则 发散(un 0); 收敛, 则 收敛; 发散, 则 发散. 答案：(B)

2. 若幂级数 在x=1处收敛, 则该 幂级数在x=-5/2处必然[ ]. (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不确定. 答案：(D)

例3. 判别级数 的收敛性.

例4. 求幂级数 的收敛域.

例 展开为x的幂级数.

的和函数. 例6. 求幂级数

例7. 若正项级数{ x n }单调增加且有界, 试判断级数 的收敛性. 答案： 收敛

例8. 判别正项级数 的收敛性. 答案：收敛

第十二节 第七章 习题课结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十三节 第七章 习题课 二 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求级数

例2. f (x)=arc tan x, 求f (n)(0).

的收敛性. 例3. 判别级数 收敛.

例 展开为x的幂级数.

例5. 判别级数 是否条件收敛.

例6 求幂级数 的收敛域. 解

例7 求幂级数 的收敛域.

的收敛域. 例8 求幂级数

例9 求级数 的收敛域.

第十三节 第七章 习题课结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第十四节 第七章 习题课 三 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1 的收敛域为(-4, 4], 求幂级数 的收敛域.

例2 求幂级数 的收敛域.

例3 求幂级数 的收敛域.

例4 求幂级数 的收敛区间及和函数.

例5 求幂级数 的和函数, 并求级数

例6 求级数

例7 求幂级数 的和函数.

例8 将函数 展开为x的幂级数.

例9 将f (x)=ln(2x2+x-3)在x0=3处展开成幂级数.

例10 将 展开为x的幂级数,

例11 将 展开为x的幂级数.

第十四节 第七章 习题课结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束