Ch4-牛頓運動定律 § 4-1 牛頓第一運動定律 § 4-2 牛頓第二運動定律 § 4-3 牛頓第三運動定律 § 4-4 非慣性系統與假想力

§4-1 牛頓第一運動定律 亞里斯多德對運動的觀點： 伽立略對運動的觀察： 物體需持續有力量作用才會運動，若無力的作用，則物體必回歸於自然狀態 — 靜止。 圖 (a) 伽立略對運動的觀察： 物體在斜面上的運動： 下坡時加速運動，如圖 (a)。 上坡時減速運動，如圖 (b)。 在水平面上時速度不增也不減，如圖 (c)。 圖 (b) 圖 (c)

伽立略的主張：欲改變物體的速度需藉外力，但維持速度則不需外力，物體在水平面上運動終致靜止，是因為有摩擦力作用。 物體在兩斜面間的運動：將小球由左邊斜面頂端自由滑下，在右邊斜面上總是爬升到原來高度，如下圖。因此他推得：若把右邊斜面平放，小球因無法到達原來高度，必永遠運動下去。 伽立略的主張：欲改變物體的速度需藉外力，但維持速度則不需外力，物體在水平面上運動終致靜止，是因為有摩擦力作用。 乾冰盤在無摩擦力的水平面上作等速度運動。

牛頓第一運動定律： 物體若不受外力，或所受外力合為零，則靜者恆靜，而動者恆沿一直線作等速度運動。 物體這種保持原來運動狀態的特性，叫做慣性，因此牛頓第一運動定律又叫做慣性定律。 慣性座標：牛頓第一定律適用的座標系，為靜止或作等速度運動的座標系統。牛頓第一定律的主要意義是對慣性座標下定義。若為加速運動的座標系稱為非慣性座標。 例：搭乘汽車時，若汽車突然開動，人體由於慣性而後仰。對地面靜止的觀察者而言，車前進而人靜止，為一慣性坐標系；對車上的觀察者而言，人不受外力卻向後加速，為一非慣性坐標系。

§1-2 牛頓第二運動定律 牛頓第二運動定律的實驗 ： 實驗裝置：置乾冰盤於光滑水平桌面上，以細繩繞過桌邊之定滑輪與一彈簧秤連接，彈簧秤下端掛法碼，改變砝碼大小已調整施於乾冰盤的拉力，如左下圖。圓盤受拉力而運動時，以閃光攝影法測得在不同時刻圓盤的位置，如右下圖所示，並計算圓盤的加速度。

實驗結果： 固定乾冰圓盤的質量，以不同拉力拉動圓盤，則物體加速度 a 和其所受拉力 F 成正比。如右圖所示。 改變乾冰圓盤的質量，並調整砝碼，使拉力保持定值，物體加速度 a 與其質量 m 成反比，畫出加速度與質量倒數的關係圖如右圖所示。

牛頓第二運動定律： 物體加速度 a 與外力 F 成正比，與其質量 m 成反比，而加速度方向則與外力方向相同。這便是牛頓第二運動定律，選取適當單位牛頓第二運動定律可寫成 質量的定義： 慣性質量：比較物體慣性大小所測得的質量。 測量方法：分別施相同大小的力於待測物體與砝碼上，測得兩者的加速度各為 a 與 a0，如砝碼的質量為 m0，則待測物的質量 m 滿足 ma = m0a0，因此得 F a m m0 a0

4. 力的單位： 重力質量：比較物體所受重力大小所測得的質量。 測量方法：以天平秤測量所得的質量為重力質量。 實驗顯示物體的慣性質量等於其重力質量。此為愛因斯坦廣義相對論的基礎。 4. 力的單位： 牛頓（nt）：使質量 1 公斤的物體產生 1 公尺∕秒2 加速度的力量，為 SI 制中力的單位。 達因（dyne）：使質量 1 公克的物體產生 1 公分∕秒2 加速度的力量。 公斤重（kgw）：質量 1 公斤的物體所受到的重力。在地球表面 1公斤重 = 9.8 牛頓。

力學問題解題策略： 選定受力體。 畫出該物體受到的外力圖。 選定適當的直角座標系，將各外力沿座標軸方向作分解。 列出各座標軸方向的牛頓第二運動定律方程式。 解聯立方程式。

§1-3 牛頓第三運動定律 牛頓第三運動定律：力量來自於物體間的互相作用，必成對同時出現，且作用力與反作用力大小相等，方向相反。即當施力者施一作用力於受力者，則受力者也必同時施一大小相等，方向相反的反作用力於施力者。 作用力與反作用力的性質： 同時發生，同時消失。 量值相等，方向相反。 對兩物體組成的系統而言，作用力與反作用力為內力，不影響整體的運動狀態。對個體而言為外力，會影響個體的運動狀態。

例題：兩木塊質量分別為 m1 及 m2 （m1 > m2），相互接觸置於光滑水平地面上，如下圖所示。今以量值為 F 之水平力由左側推動 m1，導致兩木塊間產生接觸力，其量值為 FL。若以同量值 F 之水平力由右側推動 m2，兩木塊間接觸力之量值為 FR，則二力之比值，FL∕FR 為 __________。 [81.日大] m1 m2 F

例題：氣球載有沙包 2 包時，以加速度 a 上升。載有沙包 6 包時，以加速度 a 下降。若不計氣球本身重量及沙包之浮力，則欲其不升降時，應載沙包 (A) 3包 (B) 4包 (C) 5包 (D) 0包。 答案：A

例題：如右圖，以輕繩連接三木塊（m1 = 5kg， m2 = 3kg，m3 = 2kg），今以 T1 = 150 牛頓的力向上拉，試求各段繩的張力（g = 10 m∕s2） 150 nt 答案：T2 = 75牛頓；T3 = 30牛頓

例題：一條均質的繩子，A、B　兩端分別施以　F　與　2F　之拉力，使其沿水平移動，如圖。若繩上一點與　A、B　兩端之距離比為　2：3，則此點的張力為________。

a 例題：如右圖所示，桌上物體的質量為 m1，下方吊掛物體的質量為 m2。假設所有摩擦力繩子和滑輪的質量皆可忽略不計，試求物體的加速度與繩子的張力。 T T m2 g

例題：（阿特午機）如右圖所示，不計繩、滑輪重量與所有摩擦力，m2 > m1，試求兩物體的加速度與繩的張力。 T m1 g T m2 g a

例題：如右圖 (a) 所示，一輕繩跨過定滑輪，兩端各懸掛三個質量皆相等的木塊，呈平衡狀態。現將左端的兩個木塊取下，改掛至右端，如右圖 (b)。若摩擦力可不計，求繩上張力變為原來平衡狀態時的幾倍？ 答案：5 ∕ 9

a 2a 例題：如右圖，不計滑輪與繩的質量，也忽略所有摩擦力，求各段繩的張力與兩物體的加速度。 m T 2T

m1 m2 m F 例題：如右圖，m1 = 5kg，m2 = 10kg，滑輪質量 m = 2kg，不計摩擦力，則施力 F 最大多少可使 m2 保持不動？ （g = 10 m∕s2） T mg 答案：230牛頓

例題：如圖所示，人的質量為 60kg，平臺的質量為 40kg，人在平台上以一向下的力拉繩，欲使平台與人以 2m/s2 的加速度上升，則拉力應為多少牛頓？又平台對人的正向力為若干牛頓？（g = 10 m∕s2） T 40kg 60kg 2T 答案：T = 400nt；N = 320nt T N 60kgw

例題：右圖中，二個小長方體的質量分別為 m1= 3kg、 m2 = 2kg，以細繩連結。m1 置於一個質量 5kg 的大長方體平台 M 上，繞過不計質量的定滑輪後和 m2 相接。若只計 M 和地面間的摩擦力，則 m1 自圖示位置啟動後，而 M 保持不動，則地面施於 M 的摩擦力為多少？ M m1 m2 答案：12 牛頓

例題：如右圖，A、B 質量分別為 m、2m，不計滑輪與繩的質量，亦忽略所有摩擦力。求 (1) 若 C 保持靜止，則其質量為若干？ (2) 若 C 之質量為 3m，則其加速度為若干？ B A C T 2T

例題：將質量皆為 m 的 A、B、C 三球，先用一理想彈簧（彈簧質量不計）連接 B、C 兩球，再用一條細線連接 A、B 兩球，最後用另一條細線繫住 A 球懸吊於天花板的 O 點呈靜止平衡，如右圖所示。現用剪刀將 O、 A 間的細線剪斷，則細線被剪斷瞬間，A、B 兩球間的細線張力大小為何？ O A B C

例題：如圖所示，m = 3kg、M = 5kg，所有接觸面間的靜摩擦係數為 0. 5，動摩擦係數為 0 例題：如圖所示，m = 3kg、M = 5kg，所有接觸面間的靜摩擦係數為 0.5，動摩擦係數為 0.4。為不使上下兩木塊相互滑動，則水平力 F 的最大值為何？（g = 10 m∕s2） F m M 答案：72nt

例題：甲乙丙三物體質量均為 M，如圖所示排置於一水平面上，並以一水平力 F 施於甲物體，設甲物體與桌面之摩擦可以忽略，而乙與桌面間及丙與乙間之靜摩擦係數均為 0.7，動摩擦係數均為 0.6，則下列敘述何者正確？（g為重力加速度） 乙 甲 丙 F (A)當 F = 0.5Mg 時，甲物體施於乙物體之力為 0.5Mg (B)當 F = 0.5Mg 時，乙物體施於丙物體之摩擦力之力為 0.7Mg (C)當 F = 3Mg，三物體之加速度均為 0.8g。 (D)當 F = 3Mg 時，乙物體施於丙物體之摩擦力為 0.8Mg。 (E)欲使乙丙相對靜止，則 F 的最大值為 3Mg。 答案：A

例題：如右圖，一物體在傾斜角為 37o 的斜面上可等速度下滑，則當斜面傾斜角度增為 53o 時，物體下滑的加速度大小為何？ mg N fk a 53o

例題：一木塊以 v = 10 m/s 的初速沿粗糙斜面上滑，如圖所示。當木塊滑到最高點後，會沿反方向滑下來，若斜面與木塊間的動摩擦係數 µ = 0.5，g = 10 m/s2，求木塊下滑回至出發點時的速率為多少 m/s？

例題：如右圖所示，質量皆為 m 的兩物體置於光滑斜面上，以細線繞過滑輪相連接。假設所有摩擦力、細線和滑輪的質量皆可忽略不計，試求物體的加速度與線的張力。 53o 37o a T T a

例題：一木塊自斜面底沿一傾斜角為 37o 之斜面向上滑動，到達最高點再由靜止向下滑回原點。已知上滑與下滑所費時間比為 1：3，則木塊與斜面間之動摩擦係數約為何? 答案：0.6

例題：將一長方體切割成質量相等的 A、B 兩塊，如右圖。施一水平力 F 使其沿著光滑水平面上滑行。若 A、B 間無摩擦，則 A、B 間的正向力為若干？ N θ A B F

例題：小坤到貓空坐纜車，假設纜車沿傾斜角 45o 的鋼索加速上升（如右圖），質量 50 kg 的小坤發現自己的體重站在纜車地板上的磅秤稱起來變成 60 kgw，假設小坤一直靜止在纜車裡，纜車上升時地板皆維持平行水平地面，則纜車給小坤的靜摩擦力為何？ 45o a 答案：10kgw

§ 4-6 非慣性系統與假想力 加速座標與假想力： 牛頓第二運動定律只適用於慣性座標系統，於非慣性（加速運動）座標中，如欲使用牛頓第二定律，須以一假想力來修正。

a 實例一：如上圖，在一以 a 向右加速度行進的車內，如車內地板為光滑的，則車內的觀察者將看到地板上的物體以 a 向後加速運動，因此感覺物體受到一向後方的假想力 F = ma 。由車外靜止的觀察者來看，物體只是保持不動停留在原位置，並無假想力的作用。

實例二：離心力 如右圖，在一輛正在轉彎的車中。如地板為光滑的，車內的觀察者將看到地板上的物體沿著離心的方向加速運動。如右圖。因此認為物體受到一離心方向的假想力稱為離心力。 由慣性座標的觀察者來看，物體只是沿著切線方向作等速度運動，並未受到離心力。

實重與視重 實重：物體實際的重量，即物體受到的地心引力。 視重：物體置於磅秤上量到的重量。 質量 m 的物體如在一加速運動的狀態下量重量，因額外受到一假想力的作用，視重將不會等於實重。 如將物體放在一正以 a 向上加速運動的電梯中量重量，則量到的視量：W1 = mg + ma = m (g + a) 如將物體放在一正以 a 向下加速運動的電梯中量重量，則量到的視量：W2 = mg – ma = m (g - a) a N ma mg

例題：質量 60 公斤的人站在電梯內的磅秤量體重，如電梯以下列方式運動，則量到的體重為幾公斤重？ (1) 等速上升。 (2) 以 0.5g 向上的加速度上升。 (3) 以 0.5g 向下的加速度下降。 答案： (1) 60 公斤重 (2) 90 公斤重 (3) 30 公斤重 例題：一重量為 60kg 之人進入電梯後立於一彈簧秤上，當電梯開始運動時他發現彈簧秤的指標指示於 72kg，則電梯的加速度為何？（g = 10m/s2）

例題：圖示為一等速向右前進的火車，密閉的車廂內有一氮氣球，和固定在桌面上的水槽，水槽內盛水，另有一懸吊在天花板的鐵球，光滑地板上有一塊方形木塊，以彈簧連接車廂前壁。若火車突然減速，則下列敘述哪一個正確？　 (Ａ)水槽內的右側水面較高　(Ｂ)鐵球向左移動　(Ｃ)懸吊鐵球的懸線張力變小　 (Ｄ)彈簧被拉長　(Ｅ)氮氣球向右偏移。 答案：A

例題：如右圖一，在一以加速度 a 向右行進的車內，自天花板以細線懸掛一質量為 m 的物體。則擺線將向左斜，試求擺線與鉛錘線的夾角。 θ （圖一） a ma T mg θ （圖二）

例題：在與水平成θ角的一平滑斜面上放一物體。今令此斜面以一加速度 a 沿水平方向運動。設物體正好在斜面上保持靜止，則加速度 a 大小等於多少？ [72.日大] N ma θ mg a

例題：如右圖，質量 m 的物體置於傾斜θ角，質量為 M 的斜面上。所有接觸面均為光滑。試求 (1) 斜面的加速度 (2) 物體相對於斜面的加速度。 (3) 斜面與物體間的正向力。 N a mA mg A m M N θ

THE END