Maxwell 方程组

British Physicist and Chemist (1791–1867) 场的观点 对于电磁现象的广泛研究使Faraday逐渐形成了他特有的“场”的观念。 Michael Faraday British Physicist and Chemist (1791–1867) 力线是物质的，它弥漫在全部空间。 电力和磁力不是通过空虚空间的超距作用，而是通过电力线和磁力线来传递的。 力线是认识电磁现象必不可少的组成部分，甚至它们比产生或“汇集”力线的“源”更富有研究的价值。 Faraday的丰硕的实验研究成果以及他的新颖的场的观念，为电磁现象的统一理论准备了条件。 Thomson评介：“在Faraday的许多贡献中，最伟大的贡献就是力线的概念了”。

Thomson和Helmholtz的类比研究 William Thomson(Kelvin, 1824-1907)1841年提出将电现象与热现象类比，1846年， Thomson提出电现象和弹性现象十分相似，提供了有力的数学工具、有益的暗示、联想和发展。 电荷热源 电场线热流线 等势面等温面 Hermann von Helmholtz(1821-1894)1856年提出将磁现象与不可压缩流体类比；这一类比将流体力学中的许多定理与电学定理对应起来。 B分布v分布 电流流体

静电势理论和数学理论已经成熟 1789年 Laplace 引力势方程 1839年 Gauss 定理 1831年 Poisson 推广到静电势 1854年 Stokes 定理

Maxwell电磁理论 James Clerk Maxwell 生于Faraday发现电磁感应现象的1831年，从小喜欢数学 1854年毕业于剑桥大学（23岁），大量阅读Thomson、Gauss、Green、 Poisson、 Stokes、Neumann、 Weber的论著。 对Faraday的贡献非常佩服，下决心要把Faraday的物理思想用数学公式定量地表达出来

Maxwell第一篇电磁学论文 1855年12月，他发表了第一篇电磁学论文《论法拉第的力线》，1856年2月发表第二部分，全文70页。 阐述力线和不可压缩流体之间的类比，把电、磁学中的物理量从数学角度加以分类 提出源和旋的概念，把流体中的通量和环流移植到电磁学。法拉第的力线概念获得了精确的数学表述； 讨论电磁感应现象，提出即使不存在导体回路，变化的磁场也会在周围激发一种场——感应电场或涡旋电场，区别感生和动生。 1860年，他带着这篇论文拜访了70岁的Faraday. “你的工作使我感到愉快，并给予我很大的鼓励去进一步思考。起初当我看到你用这样的数学威力来针对这样的主题，我几乎吓坏了。后来我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好！”

Maxwell第二篇电磁学论文 1861-62年他发表了第二篇论文《论物理力线》，分四部分分别载于《哲学杂志》上，共63页。 目的：研究介质中的应力和运动的某些状态的力学效果，并将它们与观察到的电磁现象加以比较，从而为了解力线的实质作准备 不但进一步发展了法拉第的思想，扩充到磁场变化产生电场，而且得到了新的结果：电场变化产生位移电流，位移电流产生磁场。 B的变化  E E的变化  位移电流  B 有人说Maxwell的工作离奇、荒诞 但他通过这样的模型作为手段找到了自己还觉得可信的物理量之间的联系，找到后，他再也不提这个模型了 利用电磁以太模型，导出了电磁场的波动方程，并证明了这种波的速度等于光速，揭示了光的电磁本质。这篇文章包括了麦克斯韦研究电磁理论达到的主要结果。

Maxwell第三篇电磁学论文 1865年他的第三篇论文《电磁场的动力学理论》，从几个基本实验事实出发，运用场论的观点，以演绎法建立了系统的电磁理论。给出了20个方程，20个变量 电位移方程(3) 磁场力方程(3) 电流方程(3) 电动力方程(3) 电弹性方程(3) 电阻方程(3) 自由电荷方程(1) 连续性方程(1) 经Hertz、Heaviside等人的改造，归纳整理后，形成了现代形式的方程 有人说Maxwell的工作离奇、荒诞 但他通过这样的模型作为手段找到了自己还觉得可信的物理量之间的联系，找到后，他再也不提这个模型了

电磁通论 1873年出版的《电磁通论》一书是集电磁学大成的划时代著作，全面地总结了19世纪中叶以前对电磁现象的研究成果，建立了完整的电磁理论体系。这是一部可以同牛顿的《自然哲学的数学原理》、达尔文的《物种起源》和赖尔的《地质学原理》相媲美的里程碑式著作。 Maxwell生在电磁学已经打好基础的年代； 及时总结了已有的成就，提出问题； 深刻洞察超距作用学派理论的困难和不协调因素，看穿那种力图把电磁现象归结于力学体系的超距作用理论的根本弱点； 从类比研究入手，借助于数学工具，在理想思维的基础上建立模型，甩掉一切机械论点，径直把位移电流和电磁场作为客体摆在电磁理论的核心地位，开创了物理学的又一个新起点。 有人说Maxwell的工作离奇、荒诞 但他通过这样的模型作为手段找到了自己还觉得可信的物理量之间的联系，找到后，他再也不提这个模型了

Einstein高度评价Maxwell工作 Einstein：“自Newton奠定理论物理学的基础以来，物理学的公理基础的最伟大的变革是由Faraday和Maxwell在电磁现象方面的工作所引起的……这样一次伟大的变革是同Faraday、Maxwell和Hertz的名字永远联在一起的。这次变革的最大部分出自Maxwell。” 同年3月14日Einstein出生 Planck：“在每一领域都有一些特殊的人，他们似乎具有天赐之福，他们放射出每一种超越国界的影响，直接鼓励和促进全世界去探索，Maxwell是当中屈指可数的一位。 ”

电磁现象实验规律的总结 静电学 ( 条件 ) 静磁学 ( 条件 ) Faraday电磁感应定律 电荷守恒定律 Lorentz力 静电学 ( 条件 ) 静磁学 ( 条件 ) Faraday电磁感应定律 纯Faraday场，总可以另其散度为零而不违反任何的实验；运动电量定义 电荷守恒定律 Lorentz力

不完备的方程 电场规律 Maxwell假设对于随时间变化E同样适用 运动电荷电量的测量＋电荷守恒 通量定律 环量定律 Faraday定律；Maxwell涡旋电场假设 磁场规律 Maxwell假设对于随时间变化B同样适用 Faraday定律＋无磁单极子 通量定律 纯Faraday场，总可以另其散度为零而不违反任何的实验；运动电量定义 环量定律 肯定不能普遍成立！ 意味着 电荷守恒则讲 如果体系随时间变化，那么 通常不等于0

协调方程 必须修改方程 尝试在右边加一矢量 F 由于左边散度恒等于零，因而 F 须满足 Gauss定理对时间求导 比较二式得到 纯Faraday场，总可以另其散度为零而不违反任何的实验；运动电量定义 Ampere-Maxwell定律 其中 称为位移电流密度

真空中的完备Maxwell方程组 其中： 积分形式 微分形式 纯粹出于数学上自洽性的考虑Maxwell于1861年引入最后一项 位移电流 Maxwell：两个推广(Gauss)；两个假设(涡旋电场解释电磁感应，位移电流) Maxwell方程组满足电荷守恒定律 称呼：电场Gauss定律、Faraday定律、磁场Gauss定律、Ampere-Maxwell定律 位移电流 全电流

平行板电容器充放电过程 例：研究平行板电容器在充放电过程中，磁场与传导电流、位移电流的关系。设电荷随时间缓慢变化，并忽略边缘效应。 解：极板间距为d<<a，极板间电场为 其他位置E为零 极板间位移电流密度 其他位置为零 对于良导体：导体内的电场近似为零 在良导体以及缓慢变化(角频率很小)情形，导体内的电位移远小于极板之间的电位移，导体的位移电流远小于极板之间的位移电流 原因： 位移电流 由对称性，磁感应强度环绕导线，大小由Ampere-Maxwell定律得到，分三个区域考察……

全电流连续，传导电流中断之处，由位移电流接上

实际上，区域2、3的磁场也是传导电流产生的，只不过这样计算比较方便！ 区域1 区域2 区域3 迄今为止对Maxwell新项的讨论看起来并没有特别新鲜的东西—仅仅是把方程组安排得符合于我们已经预期的结果。若只是孤立地考虑Ampere-Maxwell定律，就不会发现特别有趣的东西，但是，Maxwell引入位移电流这一表面看起来对方程的小的改变，当它与其他方程结合起来时，就的确会产生不少全新的、特别重要的东西。其中，重要的是Maxwell的两个预言：电磁场可以脱离电荷在空间传播，即形成电磁波；光只是一种电磁波，从而将光学与电磁理论统一起来。 实际上，区域2、3的磁场也是传导电流产生的，只不过这样计算比较方便！

例：细直导线中间被截去一段长度为l的小段。导线中通有低频交流电I(t) ，取一圆形环路(如图)，没有传导电流流过该环路，在似稳条件下计算环路上的磁感应强度。 解：导线两端的电荷＋q和－q产生的电场为 通过环路C的电位移通量为 通过环路C所围圆盘的位移电流为

s

由Ampere-Maxwell定律： 下面计算传导电流在该处产生的磁场 无限长导线产生的磁场为 被截去的一段导线产生的磁场为 传导电流激发的磁场就是总磁场，位移电流没有贡献！ 二者之差为

似稳条件下位移电流不激发磁场 在传导电流不连续的情况下，Ampere环路定律应用完整的Ampere-Maxwell定律代替 在似稳条件下， Biot-Savart定律仍然成立，即 无需加上位移电流项，即使加上，其积分的贡献也为零。

物质中方程的协调 必须修改Ampere定律 电场规律 肯定不能普遍成立！ 通量定律 环量定律 磁场规律 两边求散度得到： 纯Faraday场，总可以另其散度为零而不违反任何的实验；运动电量定义 Gauss定理对时间求导 设没有电离与复合，从而自由电荷与束缚电荷分别守恒 比较二式得到 位移电流密度

位移电流 Ampere-Maxwell定律 位移电流密度 右边第一项不是真正电流，并不描述任何电荷的运动， 其物理本质是：在空间随时间变化的电场可以激发磁场 ……但是，其表现得如同真实电流一样 纯Faraday场，总可以另其散度为零而不违反任何的实验；运动电量定义 右边第二项称为极化电流密度 全电流：传导电流与位移电流之和 传导电流终止的地方由位移电流接上

球对称径向电流分布的磁场 例：研究球对称径向电流分布的B。 解：设在任意半径 r 的球面内的总电量为Q(r)，如果在相同半径处的径向电流密度为j(r)，则电荷守恒要求Q减少的速率为 由对称性，电场沿着径向，大小只与半径 r 有关，故由Gauss定理得到： B的环流不仅取决于穿过C的总电流，而且也取决于电通量对时间的变化率，二者互相抵消 位移电流为 由于全电流为零，B的旋度恒为零，因而不存在磁场！

螺线管 例：半径 a 的一无限长直螺线管，单位长度的匝数为n，当导线中载有交流电流 时，试求管内外的位移电流密度。 解：由对称性知 ，再由Faraday定律 位移电流密度 为什么不考虑位移电流产生的磁场？当ω很小时为高阶小量