概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院
§4.2 方差 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. §4.2 方差 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值 是不够的.
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 甲仪器测量结果 乙仪器测量结果 较好 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 中心 乙炮 甲炮射击结果 乙炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 方差
1. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 称 为 X 的均方差或标准差. D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度
若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 由定义知，方差是随机变量X的 函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)
计算方差的一个简化公式 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} 期望性质 =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
例 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1
例 设随机变量X的密度函数为 求D (X ).
例 设X ~ P (), 求D ( X ). 解
例 设 X ~ U [a，b]，求DX. .
例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) .
例 设 X ~ N ( , 2), 求 D( X ) 解
常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P()
分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E() N(, 2)
(2) 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 2. 方差的性质 (1) 设C是常数,则D(C)=0; (2) 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); (3) 若X与Y 独立，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y). X与Y 不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则
例 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解一 利用公式求D (X ). 解二 利用性质求D (X ). 引入随机变量 相互独立， 故