第2讲 动能 动能定理 1．定义：物体由于 而具有的能． 运动 2．公式：Ek＝ . 第2讲 动能 动能定理 1．定义：物体由于 而具有的能． 2．公式：Ek＝ . 3．单位： ，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2. 4．矢标性：动能是 ，只有正值． 5．动能是 ，因为v是瞬时速度． 运动 焦耳 标量 状态量

1．2008年除夕夜，中国国家足球队客场挑战伊拉克队．第71分钟，由山东鲁能 球员郑智头球扳平比分．设郑智跃起顶球后，球以E1＝24 J的初动能水平飞 出，球落地时的动能E2＝32 J，不计空气阻力，则球落地时的速度与水平方 向的夹角为(　　) A．30° B．37° C．45° D．60° 解析：根据动能Ek＝ mv2，可知水平速度与落地速度之比为 ，此值 即为落地速度与水平方向的夹角θ的余弦值，cos θ＝ ，所以θ＝30°. 答案：A

1．内容：所有外力对物体做的 (也叫合外力的功)等于物体 的变化． 2．表达式：W总＝Ek2－Ek1＝ . 总功 动能 一、对动能定理的理解 1．动能定理中所说的“外力”，是指物体受到的所有力，包括重力． 2．位移和速度：必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系．

3．动能定理适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、 分段做功各种情况均适用． 4．动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于几个分段过程的全过程． 5．动能定理公式中等号的意义 等号表明合力做的功与物体动能的变化有以下三个关系： (1)数量相等．即通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功． (2)单位相同，都是焦耳． (3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．

在一般情况下，用牛顿第二定律和运动学知识可以解决的问题，都可以用动能定 理解决，并且方法更简捷．反之则不一定，因此应该有主动应用动能定理分析问题的意识．

二、运用动能定理须注意的问题 1．应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程始末的动能． 2．若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都起作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入公式．

2．两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比 v1∶v2＝2∶1.当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为l1，乙车滑行的最大 距离为l2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则(　　) A．l1∶l2＝1∶2 B．l1∶l2＝1∶1 C．l1∶l2＝2∶1 D．l1∶l2＝4∶1 解析：由动能定理，对两车分别列式－F1l1＝0－ m1v，－F2l2＝0－ m2v， F1＝μm1g，F2＝μm2g.由以上四式联立得l1∶l2＝4∶1， 故选项D是正确的． 答案：D

图5－2－1 3. 如图5－2－1所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿斜面向上的恒力F作用 下，能匀速沿斜面向上运动，若把此物块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大 小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能的大小为(　　) A．mgh B．2mgh C．2Fh D．Fh

解析：物块匀速向上运动，即向上运动过程中物块的动能不变，由动能定理知物块向上运动过程中外力对物块做的总功为0，即WF－mgh－Wf＝0① 物块向下运动过程中，恒力F与摩擦力对物块做功与上滑中相同，设滑至底端时的动能为Ek，由动能定理WF＋mgh－Wf＝Ek－0② 将①式变形有WF－Wf＝mgh，代入②有Ek＝2mgh. 答案：B

【例1】 图5－2－2 如图5－2－2所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m的物体．钢索拉 电梯由静止开始向上加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则(　　)

C．钢索的拉力做的功等于 Mv2＋MgH D．合力对电梯M做的功等于 Mv2 A．地板对物体的支持力做的功等于 mv2 B．地板对物体的支持力做的功等于mgH C．钢索的拉力做的功等于 Mv2＋MgH D．合力对电梯M做的功等于 Mv2 解析：对物体m用动能定理：WFN－mgH＝ mv2，故WFN＝mgH＋ mv2，A、B均错，钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋ (M＋m)v2，故C错误，由动能定理知，合力对电梯M做的功应等于电梯动能的变化 Mv2，故D正确． 答案：D

用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，以便更准确地理解物理过程和各量关系．有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意．

1－1如图5－2－3所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为 m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小物体 上，使物体从静止开始做匀加速直线运动．已知物体和木板之间的摩擦力为Ff. 当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此过程中(　　) 图5－2－3

A．物体到达木板最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x) B．物体到达木板最右端时，木板具有的动能为Ffx C．物体克服摩擦力所做的功为FfL D．物体和木板增加的机械能为Fx 解析：由题意画示意图可知，由动能定理对小物体：(F－Ff)·(L＋x)＝ mv2，故 A正确．对木板：Ff·x＝ Mv2，故B正确．物块克服摩擦力所做的功Ff·(L＋x)， 故C错．物块和木板增加的机械能 mv2＋ Mv2＝F·(L＋x)－Ff·L＝(F－Ff)·L＋ F·x，故D错． 答案：AB

【例2】如图5－2－4所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于 同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝L/2，在A点给小球一个水 平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.则： 图5－2－4

(1)小球到达B点时的速率？ (2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？ (3)若初速度v0＝3 ，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？ 解析：(1)小球恰能到达最高点B，有mg＝ ，得vB＝ . (2)由A→B由动能定理得： ，可求出：v0＝ (3)由动能定理得： ，可求出：WFf＝ mgL. 答案：(1) 　 (2) 　 (3) mgL

运用动能定理求变力的功 用动能定理求变力的功，是非常方便的，但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有哪些力对物体做功，各做了多少功．

2－ 1如图5－2－5所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆 的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到 一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F＝kv(k为常数，v为 环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长) 可能为(　　) 图5－2－5

解析：当mg＝kv0时，即v0＝ 时，环做匀速运动，Wf＝0，环克服摩擦力所 做的功为零； 当mg＞kv0时，即v0＜ 时，环在运动过程中，速度减小，F减小，摩擦力Ff增 大，最终环静止Wf＝0－ mv，环克服摩擦力所做的功为 mv.

当mg＜kv0时，即v0＞ 时，环在运动过程中，速度减小，F减小，摩擦力Ff减小到mg＝kv时，环做匀速运动， ，即环克服摩擦力所做的功为 . 答案：ABD

图5－2－6 【例3】 如图所示5－2－6是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管 弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与 “2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R＝0.4 m的 圆管轨道，已知AB 圆管轨道半径与“0”字型圆形轨道半径相同．

“9”管道是由半径为2R的光滑 圆弧和半径为R的光滑圆弧以及两段光滑 的水平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P，现让质量m＝0.5 kg的闪光小球(可视为质点)从距A点高H＝2.4 m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为v＝8 m/s，g取10 m/s2.求： (1)小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功； (2)小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力； (3)小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移．

解析：(1)小球从初始位置到达缝隙P的过程中，由动能定理有： mg(H＋3R)－WF＝ mv2－0 代入数据得WF＝2 J. (2)设小球到达最高点N时的速度为vN,对由P→N过程由动能定理得 mg·4R＝ 在最高点N时，根据牛顿第二定律有：FN＋mg＝ 联立解得FN＝ －mg＝35 N 所以小球在最高点N时对轨道的作用力为35 N.

(3)小球从初始位置到达C点的过程中，由动能定理有mg(H＋R)－WF＝ 解得vC＝6.93 m/s.小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动，竖直方向：2R＝ ， 解得t＝0.4 s；水平方向：DE＝vCt＝2.77 m，所以平抛运动的水平位移为2.77 m. 答案：(1)2 J　(2)35 N　(3)2.77 m 在上例中求出小球从C点飞出后落地时的速度大小． 解析：小球落地时竖直方向上的速度v⊥＝gt＝4 m/s， 所以落地时速度的大小vE＝ ＝8 m/s. 答案：8 m/s

应用动能定理解题的基本步骤 (1)选取研究对象，明确它的运动过程． (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况： (3)明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2. (4)列出动能定理的方程，进行求解．

3－1　(2010·盐城二调)如图5－2－7所示，倾角为θ的斜面上只有AB段粗糙，其余 部分都光滑，AB段长为3L.有若干个相同的小方块(每个小方块视为质点)沿斜 面靠在一起，但不粘接，总长为L.将它们静止释放，释放时下端距A为2L.当 下端运动到A下面距A为L/2时物块运动的速度达到最大．

(1)求物块与粗糙斜面的动摩擦因数； (2)求物块停止时的位置； (3)要使所有物块都能通过B点，由静止释放时物块下端距A点至少要多远？ 解析：(1)当整体所受合外力为零时，整体速度最大，设整体质量为m，则 mgsin θ＝μ mgcos θ，得μ＝2tan θ. (2)设物块停止时下端距A点的距离为x，根据动能定理 mg(2L＋x)sin θ－ μmgcos θL－μmgcos θ(x－L)＝0，解得x＝3L，即物块 的下端停在B端．

(3)设静止时物块的下端距A的距离为s，物块的上端运动到A点时速度为v， 根据动能定理 mg(L＋s)sin θ－ μmgcos θL＝ mv2，物块全部滑上AB部分后，小方块间无弹力作用，取最上面一小块为研究对象，设其质量为m0，运动到B点时速 度正好减到0，根据动能定理 m0g3Lsin θ－μm0g3Lcos θ＝0－ m0v2，得s＝3L. 答案：(1)2tan θ　(2)停在B端　(3)3L

(15分)有一个竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成．如图5－2－8所 示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．现在轨道最低点A放 一个质量为m的小球，并给小球一个水平向右的初速度vA，使小球沿轨道恰 好运动到最高点B，小球在B点又能沿BFA轨道回到A点，到达A点时对轨道 的压力为4mg.求初速度vA和小球由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功. 图5－2－8

【考卷实录】

【教师点评】 错误之处：①该同学在求v0时，误认为小球在B点的最小速度为零． ②在由动能定理求克服摩擦力做功时，漏掉了重力做功． 错因剖析：①该同学把此模型归为球杆模型出现错误，它应属于球绳模型． ②在分析题意时，没有对小球进行受力分析出现漏力． 思路解析: ①A→E→B

点击此处进入 作业手册 正确的解法:小球在B点满足: mg＝ , 由A→E→B，由动能定理得： ，联立以上两式可得vA＝v0＝ . 在A点满足：FN－mg＝ ，将FN＝4mg代入解之得： vA＝ 设克服摩擦力做功为Wf,小球从B→F→A的过程中由动能定理可得 2mgR－Wf＝ ，联立以上几式可得Wf＝mgR. 点击此处进入 作业手册