3-1 動能、位能與能量守恆 一、動能 1.意義：運動中物體具有的能量簡稱為動能。 2.公式：動能(Ek) ＝ 1/2 × m × v2（背） 動能 (焦耳) m：質量（公斤） v： 速率（m/s) 3.動能大的物體，撞擊地面時，會對地面產生 較大的破壞效果。

(A) a（B） b （C）相同 (D)不一定。 4.速率相同時質量愈大的物體，動能愈大。 (1)【 】a為質量1公斤的木塊、b為質量4公 斤的鐵塊，將a、b由相同高度掉落至同一 個沙坑中，則落地瞬間何者速率較大呢？ (A) a（B） b （C）相同 (D)不一定。 b a (2)【 】承(1) a、b 撞擊沙坑造成 的凹痕何者較深？ (A)a（B）b（C）相同(D)無法判斷 沙坑

(1)解答：空氣阻力可忽略不計時，任何物體 由相同高度落下，則必同時落地，且落地 速率相同。(物體質量不會影響落地時間與 速度) b 速 度 9.8t t秒 a S = 1/2 × 9.8 × t2 高度相同→落地時間相同 又V= 9.8×t 故落地速度也相同 a b (2)解答：速率相同時質量愈大的 物體動能愈大，造成凹痕愈深 沙坑

5.質量相同，物體速率愈快，動能愈大 (1)【 】質量相同的鐵塊，由不同的高度， 掉落至同一個沙坑中，則何者落地速率 (1)【 】質量相同的鐵塊，由不同的高度， 掉落至同一個沙坑中，則何者落地速率 比較大？(A)高度大者（B）高度小者 （C）相同 (D)不一定。 A 高 A (2)【 】承(1) 撞擊沙坑造成的 凹痕何者較深？ (A)速率大者（B）速率小者 （C）相同 (D)不一定。 低 低 高 沙坑

二.正功與負功： 1.與物體移動方向相同的力作【 】功。 同方向的力使物體速率變快，動能【 】 作正功。而且 ※施力所作(正)功＝物體增加的動能 正 增加

例題1.將2公斤的鐵塊靜置於在完全光滑的水 平面上，以4牛頓的力向前持續推動1 秒鐘，試問 (1)1秒末鐵塊速度＝【 】m/s。 (2)1秒後鐵塊向前移動【 】公尺。 (3)1秒內4牛頓的推力對鐵塊作功 【 】焦耳。 (4)1秒後鐵塊的動能＝【 】焦耳。 (5)推力對鐵塊作(正)功【 】鐵塊增 加的動能。（以＜；＞；＝回答）

鐵塊的推力維持4牛頓不變 →鐵塊作等加速 度運動； 設鐵塊加速度= a（ m/s2） 由F= m a → 4 = 2 × a → a = 2（m/s2） 速 度 1秒 V = at S =1/2 × a × t2 (1) V = at= 2 × 1= 2（m/s） (2) S = 1 × 2 × 1/2 = 1(m) (3) W = F S = 4×1＝ 4(焦耳) (4) 動能＝(1/2)mv2 =1/2 ×2 × 22 ＝4(焦耳) (5)施力作(正)功＝增加的動能 2m/s

2.與物體移動方向相反的力作【 】功。 反方向的力使物體速率變慢，動能【 】 ，作負功。而且 ※施力所作負功＝物體減少的動能 負 減小

例題2.質量1公斤速度為4m/s的鐵塊，進入粗糙 的平面後，因摩擦力作用，速度－時間的 關係如下圖，試問： 答：a ＝(0-4) ÷2 ＝-2 m/s2。 (2)動摩擦力的大小＝【 】牛頓。 答：F= m a = 1×(-2)=-2牛頓。 (3)鐵塊在粗糙平面共滑行【 】m。 答：S =2 × 4 × ½ = 4(公尺) 4 m/s 速 度 2秒 -2 2 4

(5)摩擦力作的(負)功【 】鐵塊減少的動能 鐵塊未受到摩擦力時動能＝1/2 ×1×42焦耳 ＝8（焦耳） 鐵塊停止時動能＝0 (4)摩擦力共作功【 】焦耳。 答：W = FS = (-2) × 4 = -8(焦耳) (5)摩擦力作的(負)功【 】鐵塊減少的動能 鐵塊未受到摩擦力時動能＝1/2 ×1×42焦耳 ＝8（焦耳） 鐵塊停止時動能＝0 故鐵塊動能減少 8(焦耳) ※施力作(負)功＝減少的動能 -8 ＝ 4 m/s 速 度 2秒

例題3.一顆蘋果 0.2 公斤重，由 2.5公尺高的 蘋果樹上掉落到地面，試問 (1)重力對蘋果所作的功為【 】焦耳？ (1)重力對蘋果所作的功為【 】焦耳？ (g = 9.8m/s2) 答：F = (0.2 × 9.8) 牛頓 S = 2.5公尺 W= F S =(0.2×9.8)× 2.5= 4.9焦耳 (2)蘋果落地時動能＝【 】焦耳 答：蘋果增加的動能＝重力所作的功 ＝4.9焦耳 蘋果的動能 = 0 + 4.9 = 4.9焦耳 4.9 4.9

另解： 蘋果落地時速度- 時間圖如右 ( g=9.8m/s2 ) 設 t秒 後蘋果落地， 則 2.5 = 1/2 × 9.8 × t2 gt t秒 V = gt S =1/2 × g × t2 蘋果落地時速度- 時間圖如右 ( g=9.8m/s2 ) 設 t秒 後蘋果落地， 則 2.5 = 1/2 × 9.8 × t2 t2＝ t2＝ t= 秒 落地時速度(v) ＝ 9.8 × t ＝ 9.8 × 5/7 = 7(m/s) 落地時動能 ＝ 1/2 × m × v2 ＝1/2 × 0.2 × 72 ＝4.9焦耳

合力所作的功＝物體增加(或減少)的動能。 請回答以下問題 三、當物體受2個以上的力作用時， 合力所作的功＝物體增加(或減少)的動能。 例題1.粗糙平面上，推動物體使之維持等速度運動。 請回答以下問題 ( ) 1.推力 (A)作正功(B)作負功(c)不作功。 答：推力與物體移動方向相同作正功。 ( ) 2.摩擦力(A)作正功(B)作負功(c)不作功。 答：摩擦力與物體移動方向相反作負功。 ( ) 3.物體受到的合力(A)作正功(B)作負功 (c)不作功。 答：等速度 → 合力＝0 故不作功。 A B C

推力作的功 ＝4 × 10 ＝ 40 焦耳。 摩擦力作的功 ＝ -4 ×10 ＝ -40 焦耳。 合力作的功 ＝ 0 ×10 = 0焦耳。 例題2.小明以水平方向的力推動 40 公斤的行李箱， 一起以 1 公尺／秒的等速度在水平地面前進 10公尺。如果地面與行李箱之間的摩擦力為4 牛頓，則： (1)小明對行李箱作功【 】焦耳。 (2)摩擦力對行李箱作功【 】焦耳。 (3)合力對行李箱作功【 】焦耳。 解答：行李箱作等速度運動，它所受的合力必為0， 也就是推力和摩擦力大小相等，方向相反。 推力作的功 ＝4 × 10 ＝ 40 焦耳。 摩擦力作的功 ＝ -4 ×10 ＝ -40 焦耳。 合力作的功 ＝ 0 ×10 = 0焦耳。

1.是否有一個力，它的方向總是與物體的運動 方向相反，此力會不會對物體作功？ 解答：摩擦力總是與物體的運動方向相反 ，因此摩擦力對物體做負功。 2.摩擦力對物體做負功，使速率變慢，動能減 少，想想看，減少的動能跑到那裡去了呢？ (A)完全消失不見(B)轉變成熱能被周圍空氣 吸收了(C)動能沒有減少。答： B

四、垂直分力不作功；平行分力才能作功。 當作用力(F)與位移(S)的方向不平行時 可將F分成平行分力(F2) 和垂直分力F1 功(W) ＝平行分力(F2) ×位移(S) (垂直分力F1不作功)

例題1.小明用10公斤重的力，斜拖一包20公斤 的貨物等速前進10公尺，已知拖力在水 平方向的分力為8公斤重如下圖（1kgw＝ 9.8牛頓）試問： (1) 小明垂直向上的分力＝【 】kgw。 (2) 貨物作用在地面上的力＝【 】kgw (3) 小明對貨物作功【 】焦耳。

(1)由圖可知：垂直分力：平行分力：F ＝6：8：10 → 垂直分力＝6公斤重 (2)貨物作用在地面上的力＝ 20 - 6 ＝ 14公斤重 ＝6：8：10 → 垂直分力＝6公斤重 (2)貨物作用在地面上的力＝ 20 - 6 ＝ 14公斤重 平行分力 垂直分力 20kgw 6kgw (3)平行分力8kgw＝8×10＝80牛頓 對貨物作功＝平行分力× 位移 ＝ 80×10＝800焦耳

七、功率（P） 1.定義：功率（P）＝功（W）÷時間（t） 2.意義：做功的效率（每1秒所作的功）。 3.單位：瓦特（焦耳/秒）；千瓦（1000瓦） 4.W＝Pt 作的功相同時，所需時間和功率成 【反】比。

例題1.抽水馬達在5分鐘內將3000公斤的水抽 高20公尺，則馬達的功率＝【 】瓦特 解析：3000公斤的水抽高必須施力 3000 × 9.8＝29400【牛頓】 5分鐘＝5×60＝300秒 功（W）＝FS＝29400×20（焦耳） 功率（P）＝W÷t＝29400÷300 ＝1960瓦特

例題2.甲、乙兩個馬達功率3：1，則作功相同 時，甲、乙所花時間＝【 】：【 】 W＝Pt W相同時，P和t成反比。 甲、乙所花時間＝1：3

八、實力演練 1. 一公斤的物體由某高處自由落下，著地 速度為9.8 m／s，則落下過程重力作功 【 】焦耳。（空氣阻力忽略） 【 】焦耳。（空氣阻力忽略） 解答1：只受重力時，重力作功＝增加的動能 ＝1/2 × 1 × 9.82 － 0 ＝ 48.02焦耳 解法2：重力作功 W ＝ F S F=9.8牛頓 求S？ S ＝ v-t圖面積 ＝1/2 gt2 求t v ＝gt 9.8＝9.8t → t＝1秒 S＝1/2×9.8×12＝4.9(m) W = 9.8 × 4.9＝ 48.02焦耳 V=gt t

2. 質量 10 公斤的物體沿一粗糙水平面上以 5 m／s的初速滑行， 5 秒末停止，則： 摩擦力對該物體作功【 】焦耳。 摩擦力對該物體作負功＝減少的動能 最初動能＝1/2×10×52 ＝125焦耳 5 秒末動能＝0 動能減少125焦耳 摩擦力作功 ＝ －125焦耳

3.質量 5 公斤的物體，置於光滑水平面上，受一水平定力作用，速度－時間關係如右圖，試問： (1) 物體的加速度等於【 】m／s2。 (2) 物體所受定力大小【 】牛頓。 (3) 此定力在8 秒內共作功【 】焦耳。 (1) a＝ (20-0)÷8＝2.5（m/s2 ） (2) F=ma＝5×2.5＝ 12.5(牛頓) (3) S＝△面積＝(1/2 ×8×20)＝80m W＝FS＝12.5×80＝1000焦耳

4 一物體質量25kg受50牛頓的力從靜止開始運 動10秒鐘，問物體的動能為【 】焦耳。 解答： F = ma → 50＝25×a a＝2（m/s2） V＝ a t ＝ 2 × 10 ＝ 20 ( m/s ) 動能＝1/2 × mv2＝1/2 ×25×202 ＝5000焦耳

九、(重力)位能： 1.(重力)位能：物體由高處掉落地面時，能 釋放出的能量。 2. 質量愈大鉛球、由相同高度掉下沙坑時， 產生的凹洞愈深。 可見相同高度時，質量愈大的物體，具備 的能量愈大。 3. 質量相同的鉛球、由高度愈高掉下沙坑時， 產生的凹洞遇深。 可見質量相同時，高度愈高的物體，具備

鉛 球 木 球 鉛 球 木 球 鉛 球 鉛 球 沙坑 質量愈大、高度愈高掉下沙坑時， 產生的凹洞遇深。

4. 公式： 重力位能(Ep) ＝ m × g × h（背） g ：（9.8m/s2 ) h：垂直高度（公尺） (1)質量相同，重力位能和高度成【正】比。 (2)高度相同，重力位能和質量成【正】比。 例題1.如右圖所示，蘋果樹上結有 甲、乙、丙三個重量相等的蘋果， 它們分別在不同的位置上，則哪一 個蘋果所具有的重力位能最大？ 【94基測】 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)一樣大 (C)丙

5. 重力位能＝重力對物體所作的（負）功 物體向上移動時，重力對物體作負功，使 物 體速率變【慢】，動能【減小】，減小 的動 能轉變為【重力位】能。 質量m公斤的物體向上移動h公尺 (1) 物體所受重力＝【 m 】kgw ＝【 mg 】牛頓。 (2) 重力作功 【 mgh 】焦耳。 (3) 此時物體的重力位能＝ 【 mgh 】焦耳 m公斤 上 升 h 公 尺 m公斤

十、彈力位能 1. 當彈簧伸長或被壓縮時，具有的能量稱為 ， 稱為彈力位能 2.彈簧形狀改變愈大，具有的彈力位能愈大。 彈簧壓縮或伸長時均具有彈力位能（ x0 表示彈簧的原長）

彈力位能最大 動能＝0 彈力位能＝0 動能最大 彈力位能最大 動能＝0

例題1. 「高空彈跳」運動中，在人往下掉落的過程，利用繫在身上的特殊橡膠繩支撐人的體重。當人再往下掉落，橡膠繩已成一直線，且逐漸拉長的過程中，下列有關重力位能與彈力位能的敘述，何者正確？ (A)人的重力位能增加，橡膠繩的彈力位能也增加。 (B)人的重力位能減少，橡膠繩的彈力位能增加。 (C)人的重力位能增加，橡膠繩的彈力位能減少。 (D)人的重力位能減少，橡膠繩的彈力位能也減少。 解答：人自空中落下高度減少，故重力位能減少； 橡膠繩的形變增加，所以彈力位能增加。 答案為(B)。

十一、力學能守恆： 1.物體從高處落下時，重力將對它作功，使 它的速率愈來愈大，造成動能逐漸增加， 並因它的位置愈來愈低，造成位能減少。 物體增加的動能＝減少的(重力)位能。 （空氣阻力、浮力很小，忽略不計） 2. 動能與位能和物體所受的外力有關，將它 們合稱為力學能。（又稱機械能）

3.若物體只受到重力作用時，不論在任何位置，其動能和位能的總和皆維持不變，此稱為 力學能守恆定律。 動能減少位能增加 動能增加位能減少 加速 減速 等速 圖2-1 如果小球沒有朝遭遇阻力，將會在斜面上來來回回 運動，永遠不會停止。 如果有摩擦力，則摩擦力會 將力學能轉變成熱能，散失於空氣中。最後小球靜止

例題1. 如右圖，甲、乙為光滑木板上的兩點，丙為水平地面上的一點。阿福將貨物置於甲點，使其沿斜面自由滑下。由於地面摩擦力的作用，該貨物最後停止於丙點。當此貨物在水平地面上由乙到丙之間滑動時，其能量變化情形何者正確？【91-1基測】 (A)動能增加，重力位能減少。 (B)動能增加，重力位能不變。 (C)動能減少，重力位能減少。 (D)動能減少，重力位能不變。 解答：由乙到丙處，因高度相同，故位能不變，物體 停在丙處，所以動能為 0 。 故答案為(D)。 (受摩擦力影響，力學能不守恆 )

十二、能量常見的形式： 1.聲能（三冊C3）；光能（三冊C4） 國中不教聲能、光能的計算 2.熱能（三冊C5）： ΔH＝ m s Δt 4.化學能：可經由化學變化釋放出來的能量。 例如：木材經燃燒的過程將化學能 轉變為熱能和光能。

動能(焦耳) m：質量（公斤） v 速率（m/s） 6.(重力)位能：物體由高處掉落地面時，能釋放 出的能量。 5.動能：運動中物體具有的能量簡稱為動能。 公式 動能＝ 1/2 × m × v2（背） 動能(焦耳) m：質量（公斤） v 速率（m/s） 6.(重力)位能：物體由高處掉落地面時，能釋放 出的能量。 公式：重力位能 ＝ m × g × h（背） 重力位能(焦耳) m：質量（公斤） g（9.8m/s2） h：垂直地面的高度（公尺）

7.能量常用的單位： (1)卡：1公克的水溫度升高1℃所吸收的熱能 稱為1卡。 (2)焦耳：1焦耳≒0.24卡。

十三、能量守恆定律： 1.能量守恆的內容： 能量可以從一種形式轉變為另一種形式，但 總能量既不會增加，也不會減少。（背） 2.能量守恆具有以下意義： (1)能量有多種不同的形式，各種能量之間 以1：1互相轉變。 (2)能量只會互相轉變，不會消失。 (3)某種能量增加，必有另一種能量減少。 某物體能量增加，必定也有另一個物體 能量減少。

3.能量轉變的實例 (1)陽光可提供能量，使游泳池的水溫上升， 此為光能 → 熱能。 (2)燃燒瓦斯或石油，可使鍋爐的水溫上升， 這些是化學能 → 熱能。 (3)使用電磁爐或微波爐可以加熱食物， 代表電能 → 熱能。 (4).蒸汽機利用加熱產生水蒸汽，再利用水 蒸汽的壓力推動機械，將熱能→動能。

圖3-13 太陽能熱水器可利用陽光所提供的能量將水加熱

圖3-14 燃燒瓦斯使水沸騰是化學能的利用 圖3-15 微波爐加熱食物是電磁能的利用