3．1.3 空间向量的数量积运算
学习目标 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法． 3．能用向量的数量积判断向量共线与垂直．
3.1.3 空 间 向 量 的 数 积 运 算 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
温故夯基 夹角 〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 数量积 a·(b＋c) ＝a·b＋a·c a·b＝b·a λ(a·b) 课前自主学案 温故夯基 夹角 〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 数量积 a·(b＋c) ＝a·b＋a·c a·b＝b·a λ(a·b) a·(λb)
知新益能 〈a，b〉 [0，π] a⊥b
2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律： 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝_______ 交换律 a·b＝_____ 分配律 a·(b＋c)＝__________ λ(a·b) b·a a·b＋a·c
问题探究 1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈a，－b〉的关系呢？ 提示：〈a，b〉＝〈b，a〉；〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． 2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
课堂互动讲练 考点突破 空间向量数量积的运算 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当地设向量，以简化步骤．
例1 【思路点拨】
用数量积解决夹角问题
已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值． 例2
互动探究2 在上面的空间四边形中，求OA与BC所成的角．
用数量积解决两点间的距离问题
已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都是a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求MN的长． 例3
利用向量解决垂直问题 证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 例4 【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的两相交直线垂直．
变式训练3 在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
方法感悟 1．对向量数量积的理解 (1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab. (3)a·b的几何意义为：a·b等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也等于向量b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos〈a，b〉的乘积． (4)零向量与任何向量的数量积都为0，即0·a＝0.
知能优化训练
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