在发明中学习 线性代数概念引入 之三: 行列式 李尚志 中国科学技术大学

行列式的定义 一. 二元一次方程组的几何意义 方程组 可写成向量形式 即

(1.1) 1. 有唯一解的条件 不共线 即 2. 消元: 方程(1.1)两边与 作内积消去y, 得 其中

因此, 就是 于是 同理得 3. 二阶行列式 — 平行四边形面积 图2

是平行四边形 OAPB 的有向面积, 是两个向量 的函数, 称为二阶行列式, 记作 或 或 计算公式: 图2

3. 代数算法

利用几何图形表达出来, 就是:

以上算法用到二阶行列式的如下基本性质 (1) det(a,b)可以看成向量 a,b 的乘积来展开: det(ka+k1a1, b) = k det(a,b) + k1det(a1,b) det(a, kb+k1b1)= k det(a,b) + k1det(a, b1) 如图, 就是

det(u,v)=det(u,v+au) (2) det(a,a) = 0 邻边重合,平行四边形退化为线段, 面积为 0. 由 知 det(a,b) = - det(b,a) (3) 面积单位:det(e1,e2)=1 det(u,v)=det(u,v+au) det(e2,e1) = -det(e1,e2) = -1

二. 三阶行列式与体积 1. 三元一次方程组的几何意义 可写成 其中

方程 两边同时与 作内积消去 y, z , 得到 当 时得 类似地可以得到 y, z 的表达式。

2. 三阶行列式 — 平行六面体体积 从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使 则 就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作

数学聊斋之三 人挤成与照片之维数变化 三十多年前到重庆，公共汽车很挤。 有人形容为：人挤成照片了。 三维的人挤成二维的照片， 体积变成 0 。 行列式两列(行)相等，也挤成照片。 檐

3. 三阶行列式的基本性质 (1) det( )可以看作 的乘积来展开. (2) 如果三个向量 中有两个相等, 则 det( ) = 0 .  挤成 “照片” 将三个向量 中的任意两个互换位置, 则det( ) 变为原来值的相反数。 (3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标轴上的单位向量.

4. 利用基本性质计算三阶行列式 (2.1) 当 i,j,k 中有两个相等时， 这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成

(2.2) 我们有 类似地有 又 类似地有 代入(2.2), 得

三. n 阶行列式的引入 n 阶行列式 其中

是由 决定的 “n 维体积” 它应具有以下基本性质： (1) 是 的某种乘积，可以按乘法法则展开。 (2) 如果 n 个向量 中有两个相等, 则 = 0 。将n个向量 中的任意两个互换顺序， 则 变为 。 (3) det(e1,e2,…,en)=1，其中 n 维列向量 ei 的第 i 分量为1、其余分量为0。

利用基本性质计算 n 阶行列式 (3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:

(3.2) 以下只须对每个排列 求 将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12…n), 相应地将 变成

于是得 (3.3) 可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则 sgn 代入(3.3) 得到 (3.4) 这可以作为 n 阶行列式的定义。

四. n 阶行列式的定义 1. 排列的奇偶性 由 1,2,…,n 按任意顺序重新排列而成的 有序数组 称为一个 n元排列。 将 1,2,…,n 按从小到大的顺序得到的排 列 (12…n) 称为自然排列。 在任意一个排列 中, 可能出现 顺序“颠倒”的情况：p < q 然而 jp > jq , 也就 是较大的数 jp 反而排在较小的数 jq 的前面。 每出现一对这样的( jp, jq ) 称为这个排列的一 个逆序。

排列 中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作 。 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序 数为奇数的排列称为奇排列。 例. 排列 (3142) 中的逆序共有 (3,1), (3,2), (4,2) 等 3 个, 因此 t(3142) = 3 , (3142) 是奇排列。 自然排列 (12…n) 的逆序数为0, 因此自然排列是偶排列。

每一个排列 都可以经过有限次对换变成自然排列 (12…n) 。 将排列 中的某两个数码 jp, jq 互相交换位置, 称为这个排列的一个对换。 每一次对换必然改变排列的奇偶性。 每一个排列 都可以经过有限次对换变成自然排列 (12…n) 。 设排列 经过了 s 次对换变成自然排列。则当 s 为偶数时， 的奇偶性与自然排列相同, 是偶排列; 当 s 是奇数时， 的奇偶性与自然排列相反, 是奇排列。

2. n 阶行列式的定义 将 n 个数 aij (i,j = 1,2,…,n) 排成 n 行n列的形式, 按如下方式计算： 上面的式子中的求和号 表示对所有的排列 求和。

五. n 元线性方程组 可以写成

(5.1) 将 (5.1) 两边与 点乘,可以消去除 外的所有未知数, 在 0 时得 (Crammer 法则)

六. 行列式与秩 几何观点: 线性无关  秩为 n  生成的空间的维数 = n  n 维体积 不为 0 六. 行列式与秩 几何观点: 线性无关  秩为 n  生成的空间的维数 = n  n 维体积 不为 0 代数运算: det A不为0  A = 0 只有零解 , x1A1+…+xnAn=0 只有零解. A1,A2,…,An 线性无关. 行列式秩: 存在r阶子行列式不为0, 对应的各列(行)线性无关.

谢谢