我雖可計算天體的運動，卻無法算計人類的癡狂。 ──牛頓（Isaac Newton, 1642-1727） 第 3 章　物體的運動 我雖可計算天體的運動，卻無法算計人類的癡狂。 ──牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）

本章概念圖

3-1 物體運動的軌跡1 剛開始研究一個問題時，應盡可能從較簡單的部分著手。 3-1 物體運動的軌跡1 剛開始研究一個問題時，應盡可能從較簡單的部分著手。 為了避免有體積的物體由於本身形體的變化而使得問題過於複雜，我們先從僅占有位置、不具體積但擁有質量的質點（particle）開始了解運動學，以下未特別強調時皆將物體視為質點。

3-1 物體運動的軌跡2 描述一個質點的位置時，需要一個共同的參考點（以下稱為原點）作為描述的基準，此外描述中還包含遠近距離及方向的概念。原點、距離與方向這些要素共同組成參考坐標系（reference frame），讓我們可以清楚描述質點的位置。 在描述時，一般習慣以符號 x 代表質點在（一維）直線上的位置，而以正負號代表方向，正號表示方向向右，負號表示方向向左。

3-1 物體運動的軌跡3 圖中 A 點與 B 點的位置： A 點在原點右方 3 公分處，記作： xA＝＋3 cm 3-1 物體運動的軌跡3 圖中 A 點與 B 點的位置： A 點在原點右方 3 公分處，記作： xA＝＋3 cm B 點在原點左方 2 公分處，記作： xB＝－2 cm

3-1 物體運動的軌跡4 運動中的質點其位置可能會隨著時間（time）而有所變化。

3-1 物體運動的軌跡5 x-t圖 描述質點在每一個時刻的位置，甚至將表畫成圖則可以更清楚地看出此質點的位置隨時間而改變的情況。 3-1 物體運動的軌跡5 x-t圖 描述質點在每一個時刻的位置，甚至將表畫成圖則可以更清楚地看出此質點的位置隨時間而改變的情況。 問題：如圖所示，紅色虛線是否即為質點的運動軌跡？ 答：請特別注意，圖中紅色虛線所描述的是質點運動位置對時間的關係，而非質點的運動軌跡。

3-1 物體運動的軌跡6 位移Δx＝x2－x1 描述物體自起點 x1 直線向終點 x2 的位置變化，和路徑不同，具有量值和方向。 3-1 物體運動的軌跡6 位移Δx＝x2－x1 描述物體自起點 x1 直線向終點 x2 的位置變化，和路徑不同，具有量值和方向。 路徑長Δl 描述質點運動實際距離長短。

3-1 物體運動的軌跡7 質點自一位置運動至另一位置必定需要花費時間，所花費的時間長短決定了這個質點運動的快慢。 3-1 物體運動的軌跡7 質點自一位置運動至另一位置必定需要花費時間，所花費的時間長短決定了這個質點運動的快慢。 平均速度 ＝（單位時間內的位移 ）描述物體的運動快慢與方向，其方向與位移方向一致。 平均速率 vs＝（單位時間內的路徑長 ）雖然也描述物體的運動快慢，但不具方向性。 平均速度、平均速率其 SI 制的單位為公尺／秒（m／s）。

3-1 物體運動的軌跡8 一輛車自啟動到最後停下來，行駛期間可能有加速起步、塞車時低速行駛、剎車時減速等過程，顯然車子行駛過程中，每一瞬間的運動快慢一直在改變，而非始終保持平均值行駛。因此，用瞬時的概念描述某一瞬間的運動快慢也是非常重要的。 要描述質點在任何時刻的瞬時速度或瞬時速率，可以取一段極短的時間求平均，則求出來的平均值應該和那一瞬間的瞬時量值相同，這就是瞬時速度或瞬時速率的概念。 瞬時速度簡稱為速度；瞬時速率簡稱為速率。

3-1 物體運動的軌跡9 問題：瞬時速度的量值是否必等於瞬時速率？ 3-1 物體運動的軌跡9 問題：瞬時速度的量值是否必等於瞬時速率？ 答：在極短的時間內，質點所移動的路徑幾乎是一段直線，亦即路徑長約等於位移量值，因此瞬時速率和瞬時速度的量值會相等。

3-1 物體運動的軌跡10

3-1 物體運動的軌跡11 在平穩行駛的車子裡，如果不看窗外，我們不一定可以確切感受到所處環境的運動速度快慢，但只要車子一緊急煞車或猛然加速，身體的前後搖晃甚至是不舒服的感覺，讓我們可以立即而明顯地感受到速度的變化。

3-1 物體運動的軌跡12 由 (a) 至 (f) 讓受試者先迅速加速再迅速減速，顯示運動速度變化對人體的影響。

3-1 物體運動的軌跡13 平均加速度 ＝（單位時間內的速度變化量）描述物體的速度變化，具有方向性。若加速度與速度的方向相同，會使速度的量值增加；反之，加速度與速度方向相反，會使速度的量值減少。 m/s s

3-1 物體運動的軌跡14 為描述不斷變化的速度而定義了瞬時速度，在描述加速度時也可以將求平均的時間取得非常短，所得即為那一瞬間的瞬時加速度，即短時間內的速度變化。 瞬時加速度簡稱為加速度。

3-1 物體運動的軌跡15 日常生活中最為人熟知的加速度莫過於重力加速度，一般以符號 g 表示，在地表附近其值約等於 9.8 公尺／秒2，方向向下。 一物體自空中靜止自由下落（物體落下過程中僅受重力影響），則落下後 1 秒其速率增加至 9.8 公尺／秒、落下後 2 秒其速率增加至 19.6 公尺／秒、落下後 3 秒其速率增加至 29.4 公尺／秒。 速率每秒會增加 9.8 公尺／秒，對固定加速度的物體而言，其速度可由加速度和經過多少時間獲得。 ⇒ v＝v0＋ at 等加速運動

3-2 牛頓運動定律1 力的作用能改變物體的運動狀態，或是造成物體的形變。 高爾夫球受力改變形狀，同時也改變其運動狀態。

3-2 牛頓運動定律2 牛頓第一運動定律 伽利略發現： 3-2 牛頓運動定律2 牛頓第一運動定律 伽利略發現： 物體沿著光滑斜面滑下時，運動速率會逐漸增加；而當物體沿著光滑斜面上滑時，其運動速率會逐漸減少，直到停下為止。 因此他推論，若斜面不傾斜，則物體應該既不加速也不減速。 伽利略觀察物體在斜面上的運動，推論物體在光滑水平面上將會作等速度之運動。

3-2 牛頓運動定律3 牛頓第一運動定律 讓小球自左邊的斜面滑下，經過一段水平面之後，再爬上右邊可調整傾斜角度的斜面，在完全光滑的理想狀況下，小球應爬升至與原本高度完全相同之處；即使逐漸減少右邊斜面的傾斜角度，小球仍會往前運動得更遠，以到達相同的高度。 推論：若將右邊斜面完全放平，則小球將因無法到達相同的高度而必須永遠等速地運動下去。⇒慣性 不論光滑斜面的傾斜角度如何改變，小球都會爬升到與原本高度相同處。

3-2 牛頓運動定律4 牛頓第一運動定律描述物體具有維持原本運動狀態的慣性，若不受外力或所受外力和為零，則此物體將維持原本的運動狀態。 3-2 牛頓運動定律4 牛頓第一運動定律描述物體具有維持原本運動狀態的慣性，若不受外力或所受外力和為零，則此物體將維持原本的運動狀態。 (a) 公車突然前進，人因慣性而向後仰；(b) 公車突然煞車，人因慣性而向前傾。

3-2 牛頓運動定律5 描述當物體受到外力 F 作用時，會產生一個與質量m 成反比的加速度 a。 牛頓第二運動定律 F＝ma 3-2 牛頓運動定律5 描述當物體受到外力 F 作用時，會產生一個與質量m 成反比的加速度 a。 牛頓第二運動定律 F＝ma SI 制中，質量 m 的單位為 kg、加速度 a 的單位為 m／s2，外力 F 的單位為 kg •m／s2 或牛頓（N）。

3-2 牛頓運動定律6 牛頓第二運動定律 質量 1 公斤的物體在地球表面所受到的重力量值為 W＝mg＝（1 kg）（9.8 m／s2） 3-2 牛頓運動定律6 牛頓第二運動定律 質量 1 公斤的物體在地球表面所受到的重力量值為 W＝mg＝（1 kg）（9.8 m／s2） ＝9.8 kg•m／s2＝9.8 N 通常也稱作 1 公斤重 1 公斤重相當於 9.8 牛頓。 N＝ kg•

牛頓第三運動定律 日本相撲選手與來自花蓮的相撲小選手進行指導賽，誰受到的作用力較大呢？

3-2 牛頓運動定律7 牛頓第三運動定律描述，有一作用力必有一反作用力，此兩力： (1)同時產生、同時消失、 (2)量值相等、 3-2 牛頓運動定律7 牛頓第三運動定律描述，有一作用力必有一反作用力，此兩力： (1)同時產生、同時消失、 (2)量值相等、 (3)方向相反， (4)作用在同一直線、 (5)不同的物體上。 物體受到地球的引力作用，地球亦受到物體的引力作用，此兩力互為作用力與反作用力。 氣球利用反作用力向前飛。

3-2 牛頓運動定律8 虎克定律指出在一定的範圍限制內，若有形變量，彈簧會產生一個與形變量Δx 成正比的回復力 Fs＝－kΔx。 3-2 牛頓運動定律8 虎克定律指出在一定的範圍限制內，若有形變量，彈簧會產生一個與形變量Δx 成正比的回復力 Fs＝－kΔx。 其中比例常數 k 稱為力常數或彈性常數，SI 制單位為牛頓／公尺，描述每單位長度的形變讓彈簧所產生的作用力。 虎克定律中的負號指出此作用力的方向與形變方向相反，故稱為回復力。 虎克定律僅適用於正比限度範圍內。 彈簧受力產生形變與回復力。

3-2 牛頓運動定律9 當互相接觸的兩物體有相對運動或相對運動的傾向時，就會產生摩擦力。

3-2 牛頓運動定律10 摩擦力是生活中常見的另一種作用力。在一般水平面上將一個物體向前滑行，結果並不像伽利略在斜面實驗所宣稱的會一直滑行到無窮遠，而是經過一段路程之後就停下來，這是因為有摩擦力作用。

3-2 牛頓運動定律11 讓運動中的物體停下來的摩擦力稱為動摩擦力。天冷時人們將雙手互相摩擦生熱取暖，利用的也是動摩擦力。 3-2 牛頓運動定律11 讓運動中的物體停下來的摩擦力稱為動摩擦力。天冷時人們將雙手互相摩擦生熱取暖，利用的也是動摩擦力。 動摩擦力必須在互相接觸的兩個物體有相對運動時才會產生。

3-2 牛頓運動定律12 當施力推一個靜止在水平地面上的物體卻推不動，這是因為受到靜摩擦力的影響，即靜摩擦力的方向與物體「欲」相對於地面的運動方向相反，且其量值與推力相等。

3-2 牛頓運動定律13 在水平地面上逐漸推動一個物體的過程： a. 剛開始未施力時，物體亦不受摩擦力作用，維持靜止 3-2 牛頓運動定律13 在水平地面上逐漸推動一個物體的過程： a. 剛開始未施力時，物體亦不受摩擦力作用，維持靜止 b. 開始施力但仍無法推動物體，此時物體受到靜摩擦力作用，且其量值與推力相等 c. 持續增加施力直到超過靜摩擦力可以允許的最大值 fs，此即為最大靜摩擦力，物體恰可以開始運動 d. 物體開始運動後，即使推力持續增加，所受到的仍是固定量值的動摩擦力 fk fs＝N • μs fk＝N • μk

3-3 克卜勒行星定律1 對夜空長時間曝光攝影，顯示滿天的星星皆繞著一個定點轉動。

3-3 克卜勒行星定律2 火星的逆行運動。相對於背景的恆星，一年中的大部分時間向東移動的火星，有一小段時間卻改向西移動。

3-3 克卜勒行星定律3 哥白尼解釋火星逆行現象的示意圖。首先在行星軌道上標示地球與火星每隔一個月的相對位置，由於火星環繞太陽的速率比地球慢得多，因此當地球追至火星附近，自地球望向火星的視線方向由向前變成向後，亦即從地球上看來，火星在標號為 3、4、5 的月份出現逆行的現象。 哥白尼認為：太陽為宇宙中心

3-3 克卜勒行星定律4 克卜勒行星運動第一定律描述，行星以橢圓形軌道環繞位於焦點的恆星運行。 又稱軌道定律。 問題：何謂橢圓？ 遠日點 3-3 克卜勒行星定律4 克卜勒行星運動第一定律描述，行星以橢圓形軌道環繞位於焦點的恆星運行。 又稱軌道定律。 問題：何謂橢圓？ 遠日點 近日點 r1 r2

3-3 克卜勒行星定律5 克卜勒行星運動第二定律描述，行星與恆星的連線於相等時間內，會掃過相等的面積。 ΔA1 ΔA2 Δt1 Δt2

3-3 克卜勒行星定律6 克卜勒行星運動第三定律描述，同一個恆星系統的行星，平均軌道半徑 a 愈大，週期 T 就愈長。

3-3 克卜勒行星定律7 太陽系各行星的公轉資料 註：冥王星於 1930 年被發現。國際天文學聯合會（IAU）於 2006 年修正行星定義，冥王星因為體積小，且運行軌道的某些特性和其他行星明顯不同，與其他公認的行星格格不入，正式遭到降級，改命名為編號 134340 矮行星。

3-3 克卜勒行星定律8 牛頓做了一項極為大膽的假設：天體運動所受到的物理規範，應該和地面上的物體所受到的物理規範一模一樣，亦即牛頓運動定律不只可以應用在解釋地上的物體運動，也可以解釋天上的天體運動。 牛頓將克卜勒定律運用至地球之衛星。 相關問題：高空慢速衛星

3-3 克卜勒行星定律9 這個大膽的普適性假設使得人類的知識往前邁進了一大步，牛頓利用萬有引力定律及普適性的假設，成功地從根本理論推導出克卜勒行星運動定律，而後世的科學家更藉由普適性的假設來了解無法直接觸及的遙遠宇宙、設計人造衛星，甚而發展各式各樣的星際探測計畫。

3-3 克卜勒行星定律10 以月球探測為例，可以如圖所示，首先藉由燃燒燃料提供的動力將太空船送到地球軌道上，接下來只要靠和地球間的萬有引力，太空船就可以不需燃料環繞地球運行，直到適當的時機再點燃引擎將太空船甩出去，使其逐漸接近月球軌道，接著再一次在適當的時機點燃引擎改變太空船的速率，使其進入月球軌道，最後再逐漸接近月球表面。

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