§7 算符对易关系；两个力学量同时有确定值 的条件；测不准关系 §7 算符对易关系；两个力学量同时有确定值 的条件；测不准关系 （一）两个力学量同时有确定值的条件 （二）算符对易关系的物理含义 （三）力学量的完全集合 （四）测不准关系
（一）两力学量同时有确定值的条件 体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。 如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即 如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值， 则 必也是 G 的一个本征态，即 结论： 当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。
？ （二）两算符对易的物理含义 考察前面二式： 所以 例如： = 0 的态，Y m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。 是特定函数， 非任意函数也！ ？ 所以 例如： = 0 的态，Y m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。 定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。 证： 由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开： 则 因为 (x) 是任意函数
逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。 证： 仅考虑非简并情况 即： 考察： 与 n 只差一常数 Gn n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2，… )也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.
定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。 例 1： 例 2：
例 3： 例 4：
（三）力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量： 例 1： 氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量： 例 2： 例 3： 一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
（四）测不准关系 （1）测不准关系的严格推导 （2）坐标和动量的测不准关系 （3）角动量的测不准关系
（1）测不准关系的严格推导 由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。 问题： 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 不确定度： 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。 （1）测不准关系的严格推导 证：
II 测不准关系的严格推导 设二厄密算符对易关系为： 是算符或普通数
最后有： 其中： 测不准关系 均方偏差 由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系： 对任意实数 均成立 两个不对易算符均方偏差关系式 其中： 测不准关系 均方偏差
（2）坐标和动量的测不准关系 （a）测不准关系 表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小， 另一就越大。
（b）线性谐振子的零点能 振子能量 被积函数是x 的奇函数 处 n =0 于是： n 为实
为求 E 的最小值，取式中等号。 则： 求极值： 解得： 二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。 因均方偏差不能小于零，故取正 零点能就是测不准关系所要求的最小能量
例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0 （c）角动量的测不准关系 例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0 证： 由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即
例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系： 则测不准关系： 平均值的平方为非负数 欲保证不等式成立，必有： 同理： 例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系： 解： 由例1 可知：
等式两边右乘 Lx 由对易关系： 将上式两边在 Ylm 态下求平均：
将上式两边在 Ylm 态下求平均： 则测不准关系：
作 业 周世勋《量子力学教程》 第三章作业 见课本