Poisson分布的统计分析

Poisson分布样本均数与总体均数的比较 内容 Poisson分布的概念与特性 1 Poisson分布总体均数的估计 2 Poisson分布样本均数与总体均数的比较 3 Poisson分布两样本均数的比较 4 STATA计算 5

Poisson分布的概念 描述所观察到的某事件发生次数x的概率 对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的 格子数 细分 有限格子 中有细菌 每个格子的大小恰好能容纳一个细菌 1L水

什么是Poisson分布 Poisson分布主要用于描述在单位时间（空间）中某种事件发生数的概率分布 放射性物质在单位时间内的放射次数 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 野外单位空间中的某种昆虫数 显然，Poisson分布也是一种离散型随机变量的分布

什么是Poisson分布 可以认为满足以下三个条件的随机变量服从Poisson分布： 平稳性：X的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关 独立性：在某个观察单位上X的取值与前面各观察单位上X的取值独立（无关） 普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多为1 实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步

什么是Poisson分布 Poisson分布的概率分布规律 X取值范围为非负整数，即0,1,…； 其相应取值概率为 式中e：自然对数的底，e≈2.7182；是大于0的常数。 X服从以为参数（X的总体均数）的Poisson分布可记为X～P()

Poisson分布的特性 Poisson分布的均数与方差 由Poisson分布计算概率公式可见Poisson分布只有一个参数 。这个参数就是Poisson分布的总体均数。不同的总体均数对应于不同的Poisson分布 总体方差也等于此参数 这是Poisson分布的特性

Poisson分布的特性 Poisson分布的可加性 正态分布与Poisson分布的关系 如果X1, X 2 , …, X k相互独立，且它们分别服从Poisson分布，则T= X1+ X2+…+ Xk也服从Poisson分布，其参数为原各参数之和1+ 2+…+ k 正态分布与Poisson分布的关系 只取决于均数，均数很小时分布很偏，当均数增加时，逐渐趋于对称 当均数越来越大时，Poisson分布逐渐逼近于均数为，方差为的正态分布。据此性质，均数较大的Poisson分布可按正态分布近似计算

Poisson分布的特性

Poisson分布的特性 Poisson分布与二项分布的关系 设X～B (n ,  )，则当n→∞且n保持不变时，可以证明X的极限分布是以n 为参数的Poisson分布 由以上性质可得，当n很大，很小时，二项分布近似Poisson分布。当n很大时，二项分布概率的计算量相当大。因此可以利用二项分布的Poisson近似这一性质，当n很大且很小时，可以用Poisson分布概率计算替代二项分布的概率计算

Poisson分布总体均数的估计

小样本时总体均数的估计 当待估总体均数与样本均数的观察单位相同时，总体均数的点估计就是样本计数，也就是说此时的样本计数就是样本均数。 按照分布规律，直接通过计算不同发生数的概率即可得到区间估计 例7.1 对某一水体进行卫生学评价，随机取得100ml水样，培养得大肠菌落30个，试估计该水体中平均每100毫升所含大肠菌数的95%可信区间。 由于希望求得的是100毫升水样的菌落数可信区间，因此可以将这些水样看作是一个观察单位来进行分析。 Cii命令

大样本时总体均数的估计 在大样本时可以直接利用正态近似原理得到区间估计 当待估总体均数与样本均数的观察单位不同时，要根据样本观察单位进行估计，然后把估计结果进行单位转换，使估计结果中的观察单位与总体观察单位相同(用正态近似方法可以直接变换观察单位)。

大样本时总体均数的估计 例7.2 测得某放射性同位素半小时内发出的脉冲数为490个，试估计该放射性同位素平均每30分钟脉冲数的95%可信区间。 已知n=490，由于此样本计数大于50，故可考虑利用近似正态分布的原理估计其总体均数。这里，待估总体均数的单位是30分钟，样本均数也是观察了1次30分钟得到的，所以应当以30分钟作为一个观察单位 可直接按照近似原理计算，或者用cii命令计算 由于观察单位数等于1，因此公式中标准误的大小就等于标准差

大样本时总体均数的估计 例7.3 为了解某地新生儿出生缺陷的发生水平，该地某年内共监测新生儿192000人，其中出生缺陷的发生数为1977人，监测出生缺陷发生率为102.97/万，试估计该地新生儿出生缺陷发生率的95%可信区间。 新生儿出生缺陷的发生率常以万分率来表示，如果以1万人为单位，该地监测的新生儿出生数192000人可看作是19.2个观察单位（即n=19.2），其样本均数为102.97，正态近似时的标准差也应当按此计算 注意此时标准误的大小不等于标准差 计算结果与不同的观察单位大小无关

Poisson分布样本均数与 总体均数的比较

小样本计算 例7.4 一般孕产妇的死亡率是56/10万，某地研究者为了解当地孕产妇的死亡率是否低于一般，对该地7500名孕产妇进行监测，其中3名死亡，死亡率为40/10万，试作统计推断。 可利用Poisson分布的概率函数直接计算假设检验所需的的概率P值，和检验水准比较之后下结论。

分析步骤 H0：当地孕产妇的总体平均死亡数与一般孕产妇的死亡数相等 H1：当地孕产妇的总体平均死亡数低于一般孕产妇的死亡数 单侧

正态近似法 例7.5 利用例7.3的结果，若全国新生儿出生缺陷发生率为89.62/万，研究该地新生儿出生缺陷发生率是否高于全国的水平，试作统计推断。 可利用正态近似的原理作以下计算进行u检验 H0：当地新生儿出生缺陷平均发生数与全国的平均发生数相等 H1：当地新生儿出生缺陷平均发生数高于全国的平均发生数 单侧

分析步骤

Poisson分布两样本均数的比较

方法原理 当两个样本计数均较大时，可根据Poisson分布近似正态分布的性质作u检验。当两样本计数中有一个较小或两个均较小时，可先作变量转换，然后再作适当的检验。本节仅介绍两个样本计数均较大时的u检验。根据两个样本观察单位是否相同，所采用的计算公式又分为两种。

方法原理 两样本观察单位相等 近似u检验的公式为： 显然，是由两样本的u检验公式直接化简而来 两样本观察单位不等

等样本分析实例 例7.6 为研究两水源被污染的情况是否相同，在每个水源各随机抽取10份水样，每份1 ml，作细菌培养。甲水源水样共得细菌菌落580个，乙水源水样共得菌落432个，试作统计推断。 都是按照10ml进行的计数，因此可以将其看成是一个观察单位 如果按1ml来计算，检验结果不变

不等样本分析实例 例7.7 为研究某省不同性别意外伤害死亡情况有无差异，已知2000年该省疾病监测数据中，男性292512人，女性283474人，因意外伤害死亡的人数分别为180人、60人，试作统计推断。 由于观察人数不同，因此需要考虑化成相同的观察单位大小，此处可根据喜好自行设定，例如按照每10万人口作为一个观察单位

不等样本分析实例 假设检验 H0:男女的平均意外伤害死亡人数相同 Ｈ1:男女的平均意外伤害死亡人数不同 =0.05 调整相同观察单位 P<0.001，拒绝H0，可以认为男性平均意外伤害死亡高于女性，差异有统计学意义。

Stata计算 Possion分布的总体均数95％可信区间 cii 观察单位数 观察到的发生数 ，poisson poistest 样本均数 已知总体均数

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