第11章 指称语义的原理与应用 指称语义学是Christopher Strachey和Dana Scott在1970年提出的。指称语义学是Christopher Strachey和Dana Scott在1970年提出的。指称语义学是Christopher Strachey和Dana Scott在1970年提出的。 指称语义学的一个显著特征是: 程序中的每一个短语(表达式、命令、声明等)都有其意义。它是与语言的语法结构平行的。每个短语的语义函数就是短语的指称意义。其现代名称为指称语义学。 11.1 指称语义原理 从数学的观点，一个程序可以看作是从输入到输出的映射P(I)→O，即输入域(domain)上的值，经过程序P变为输出域(range)的值。 φ〖p〗→d (p∈P，d∈D)。 语义域D中的数学实体d, 或以辅助函数表达的复杂数学实体d'，称为该短语的数学指称物，即短语在语义函数下的指称语义。 指称语义描述的是语义函数映射的后果，不反映如何映射的过程，更没有过程的时间性。而程序设计语言的时间性只能反映到值所表达的状态上。

我们给出求值的语义函数:将Numeral集合中的对象映射为自然数: valuation: Numeral→Natural (11.2) ● 语义函数和辅助函数 描述二进制数的语义 二进制数 Numeral ::= 0 (11.1-a) ｜ 1 (11.1-b) ｜ Numeral 0 (11.1-c) ｜ Numeral 1 (11.1-d) 我们给出求值的语义函数:将Numeral集合中的对象映射为自然数: valuation: Numeral→Natural (11.2) 按语法的产生式，我们给出以下语义函数: valuation 〖0〗= 0 valuation 〖1〗 = 1 valuation 〖N0〗 = 2 × valuation 〖N〗 ∥N∈Numeral valuation 〖N1〗 = 2 × valuation 〖N〗+ 1

valuation〖1101〗 = 2 × valuatioin 〖110〗+ 1 = 2 × (2 ×(2 ×1 + 1)) + 1 = 13 计算器命令的语义描述 计算器命令的抽象语法： Com ::= Expr= (11.3) Expr ::= Num (11.4-a) ｜ Expr + Expr (11.4-b) ｜ Expr - Exp (11.4-c) ｜ Expr * Expr (11.4-d) Num ::= Digit｜Num Digit (11.5) Digit ::= 0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9 (11.6) execute : Com →lnteger evaluate: Expr →lnteger sum : Integer × Integer → Integer difference : Integer × Integer → Integer product : Integer × Integer → Integer

以下定义每个短语的语义函数: execute 〖C〗 = execute 〖E=〗 = evaluate 〖E〗 其中C∈Com，E∈Expr。 evaluate 〖N〗= valuation 〖N〗 (N∈Num) evaluate 〖E1 + E2〗 = sum (evaluate 〖E1〗，evaluate 〖E2〗) evaluate 〖E1 - E2〗 = difference (evaluate 〖E1〗，evaluate〖E2〗) evaluate 〖E1 * E2〗 = product (evaluate 〖E1〗, evaluate 〖E2〗) 再定义Num的两个表达式: valuation 〖D〗 = D’ (D∈Digit,D’∈Natural) valuation 〖ND〗= 10 × valuation 〖N〗+ D’ execute 〖40-3*9=〗 =evaluate 〖40-3*9〗 =product (evaluate〖40-3〗，evaluate〖9〗) =product (difference (evaluate 〖40〗，evaluate 〖3〗)， evaluate〖9〗) =product (difference (valuation〖40〗，valuation〖3〗)， valuation〖9〗) =product (difference (40，3)，9) =333

11.1.2 语义域 · 基本域 · 笛卡儿积域 · 不相交的联合域 Character / lnteger / Natural / Truth-Value / Unit 用户可定义枚举域,以及以基本域构造的复合域。 · 笛卡儿积域 D×D' 元素为对偶(x，x')其中x∈D，x'∈D'。 D1×D2×…Dn元素为n元组(x1，x2，…，xn)，其中xi∈Di。 · 不相交的联合域 D+D' 元素为对偶(left x，right x')其中x∈D，x'∈D'。 shape=rectangle( Real×Real ) + circle Real + point

· 函数域 D→D' 例如lnteger→Even。 f(v) →⊥ 偏函数，v∈V f(⊥)→⊥ 严格的偏函数 f(⊥)→v 非严格函数 偏函数域上元素间具有偏序关系，偏序关系‘≤’的性质是: · D域若具偏序性质，它必须包含唯一的底元素，记为⊥，且⊥≤d，d为D中任一元素。通俗解释是d得到的定义比⊥多。⊥是不对应任何值的‘值’。 · 若 x，y ∈D，x≤y此二元素具有偏序关系‘≤’，即y得到的定义比x多。这一般就复合元素而言，即x中包含的⊥比y多。 · 若x，y，z∈D，则偏序关系‘≤’必须是: [1] 自反的，即有x≤x; [2] 反对称的，即若x≤y，y≤x，必然有x=y; [3] 传递的，即若x≤y，y≤z，必然有x≤z。

· 序列域 序列域D*中的元素是零个或多个选自域D中的元素有限序列，或为nil元素，或为x·s的序列 nil ∥ 一般写法是“ ” ‘a’·nil ∥ 一般写法是“a” ‘B’·‘u’·‘s’·‘y’· nil ∥一般写法是“Busy” 11.1.3 命令式语言的特殊域 · 存储域 Store = Location → ( stored Storable + undefined + unused) (11.15)

empty-store : Store (11.11) allocate : Store →Store × Location (11.17) deallocate : Store ×Location → Store (11.18) update : Store × Location × Storable→Store (11.19) fetch : Store × Location→Storable (11.20) empty_store = λloc.unused allocate sto = let loc = any_unused_location (sto) in (sto [loc→ undefined]，loc) deallocate (sto，loc) = sto [loc → unused] update (sto，loc，stble) = sto [loc→stored stble] fetch (sto，loc) = let stored_value (stored stble) = stble stored_value (undefined) = fail stored_value (unused) = fail in stored-value (sto(loc))

· 环境域 Environ = ldentifier→(bound Bindable + unbound) empty-environ : Environ bind : ldentifier×Bindable → Environ overlay : Environ×Environ → Environ find : Environ×ldentifier→Bindable enpty-environ = λI. unbound bind (I，bdble) = λI'. if I'=I then bound bdble else unbound overlay (env'，env) = λI. if env' (I)/=unbound then env' (I) else env (I) find (env，I) = let bound_value (bound bdble) = bdble bound_value (unbound) = ⊥ in bound_value (env (I))

11.2 指称语义示例 · 过程式小语言 IMP 抽象语法是: Command ::= Skip 11.2 指称语义示例 · 过程式小语言 IMP 抽象语法是: Command ::= Skip ｜ ldentifier := Expression ｜ let Declaration in Command ｜ Command; Command ｜ if Expression then Command else Command ｜ while Expression do Command Expression ::= Numeral ｜ false ｜ true ｜ Ldentifier ｜ Expression + Expression ｜ Expression < Expression ｜ not Expression ｜ ... Declaration ::= const ldentifier = Expression ｜ var ldentifier : Type_denoter Type_denoter ::= bool ｜ int

Value = truth_value Truth_Value + integer lnteger · IMP的语义域、语义函数和辅助函数 Value = truth_value Truth_Value + integer lnteger Storable = Value Bindable = value Value + variable Location execute: Command →(Environ→Store→Store) execute〖C〗 env sto = sto’ evaluate: Expression → (Environ→Store →Value) evaluate 〖E〗 env sto= … elaborate: Declaration→ (Environ→Store→ Environ×store) elaborate 〖D〗 env sto =

辅助函数有如前所述的empty-environ，find，overlay，bind，empty-store，allocate，deallocate，update，fetch。以及sum，less，not等辅助函数。此外，再增加一个取值函数: coerce: Store×Bindable→Value coerce (sto，find (env，I)) = val = fetch (sto，loc) · IMP的指称语义 execute 〖Skip〗 env sto = sto execute 〖I:= E〗 env sto = let val = evaluate E env sto in let variable loc = find (env，I) in update(sto，loc，val) execute 〖let D in C〗 env sto = let (env'，sto') = elaborate D env sto in execute C (overlay (env'，env)) sto’

execute 〖C1; C2〗 env sto = execute C2 env (execute C1 env sto) execute 〖 if E then C1 else C2〗 env sto = if evaluate E env sto = truth_value true then execute C1 env sto else execute C2 env sto execute 〖while E do C〗= let execute_while env sto = then execute_while env (execute C env sto) else sto in execute_while

elaborate 〖 const I = E 〗 env sto = let val = evaluate E env sto in (bind (I，value val)，sto) elaborate 〖 var I:T〗 env sto = let (sto'，loc)= allocate sto in (bind (I，variable loc)，sto')

11.3 程序抽象的语义描述 · 函数抽象 Function = Argument→Value Function = Argument→Store→Value bind_parameter: Formal_Parameter→(Argument→Environ) give_argument : Actual_Parameter→(Environ→Argument) · 扩充IMP语法 Command ::= … ｜ Identifier (Actual_Parametor) Expression ::= … ｜ Identifier (Actual_Parmenter) Declaration ::= … ｜ func Identifier (Formal_Parameter) is Expression ｜ proc ldentifier (Formal_paramenter) is Command Formal_Parameter ::= const Identifier: Type_Denoter Actual_parameter ::= Expression

Argument = Value Bindable = value Value + variable Location + function Function · 写IMP函数的指称语义 bind-parameter 〖I:T〗 arg = bind (I，arg) give-argument 〖E〗 env = evaluate E env 函数调用的语义等式如下: evaluate 〖I(AP)〗 env = let function func = find (env，I) in let arg = give_argument AP env in func arg

elaborate 〖fun I(FP) is E 〗 env = let func arg = let parenv = bind_parameter FP arg in evaluate E (overlay (parenv，env )) in (bind (I，function func)) · 过程抽象 Procedure = Argument→Store→Store Argument = Value Bindable = value Value + variable Location+functionFunction +procedure Procedure execute 〖 I(AP) 〗 env sto=

let procedure proc = find (env，I) in let arg = give_argument AP env sto in proc arg sto elaborate 〖proc I(FP) is C 〗 env sto = let proc arg sto' = let parent = bind-parameter FP arg in execute C (overlay (parenv env)) sto' in (bind (I，procedure proc)，sto) · 参数机制的语义描述 --- 常量和变量参数 先细化参数定义语法 Formal-Parameter ::= const Identifier: Type_denoter ｜ var Identifier : Type_denoter Actual-P arameter ::= Expression ｜ var Identifier

bind_parameter : Formal_parameter→(Argument→Environ) give_parameter : Actural_Parameter→(Environ→Store→Argument) 形参的语义等式是: bind_parameter 〖const I:T〗 (value val) = bind (I，value val) bind_parameter 〖var I:T〗 (variable loc)= bind(I，variable loc) 实参的语义等式是: give_argument 〖E〗 env sto = value (evaluate E env sto) give_argument 〖var I〗 env sto = let variable loc = find (env，I) in variable loc

--- 复制参数机制 Formal_Parmeter ::= value Identifier: Type_denoter ｜ result Identifier : Type_denoter Actual_Parameter ::= Expression ｜ var Identifier copy_in: Formal_Parameter→(Argument→Store→Environ×Store) copy_in 〖value I:T〗 (value val) sto = let (sto'，local) = allocate sto in (bind (I，variable local)，update (sto'，local，val)) copy-in 〖 result I:T〗 (variable loc) sto= let (sto'，local)= allocate sto in (bind (I，variable local)，sto') copy_out: Formal_Parameter→(Environ→ Argument→Store→Store)

copy_out 〖 value I:T〗 env (vlaue val) sto = sto copy_out 〖result I:T〗 env (variable loc) sto = let variable local = find (env，I) in update (sto，loc，fetch (sto，local)) 过程声明的语义等式作以下修改: elaborate〖proc (FP) is C 〗 env sto= let proc arg sto'= let (parenv，sto") copy_in FP arg sto' in let sto''' = execute C (overlay (parenv，env )) sto" in copy_out FP parenv arg sto''' in (bind (I，procedure proc)，sto)

--- 多参数 Function = Argument*→Store→Value Procedure = Argument* →Store→Store bind_parameter : Formal_Parameter_List→(Argument* →Environ) give_argument:Acrual_Parameter_List→(Environ →Store →Argament*) --- 递归抽象 递归函数声明的语义等式如下: elaborate〖 fun I (FP) is E〗 env= let func arg = let env'=overlay (bind (I，function func)，env) in let parenv = bind-parameter FP arg in evaluate E (overlay (parenv，env')) in bind (I，function func)

11.4 复合类型 · 最简单的复合变量的语义描述 数组变量的语义描述 11.5 程序失败的语义描述 sum: Integer × Integer→ Integer sum (int1，int2) = if abs(int1+int2) <=maxint then int1+int2 else ⊥ sum (⊥，int2)= ⊥ sum (int1，⊥) = ⊥ evaluate 〖E1 + E2〗 env sto = let integer int1 = evaluate E1 env sto in let integer int2 = evaluete E2 env sto in integer (sum (int1，int2))

11.6 指称语义应用 · 指称语义用于设计语言 为一个程序设计语言写指称语义的步骤是: ·分析(所设计的)程序设计语言的规格说明写出抽象语法。 ·定义该语言的指称域，并为这些域定义洽当的辅助函数以模型值上的操作。 建立语义函数。为抽象语法中的每个短语(即短语类)指定一个域(语义函数的 输入域)，定义输入域到其指称域的语义函数。 ·为每一短语类写出语义等式。

11.6.2 指称语义用于程序性质研究 · 上下文约束的静态描述 在程序设计语言的文法产生的所有句子之中只有一部分是良定义的。语法往往不能给出明确的表示，要依靠上下文约束。 用指称语义的方法描述程序设计语言的上下文约束要建立类型环境的概念。语言中各类型之总称即为Type域。例如，在前述IMP语言中类型域是: Type=truth_type + integer_type + var_type + error_type Type_Environ = Identifier→(bound Type + unbound) equivalent: Type×Type→Truth_Value

可测试两种类型是否等价。 constrain: Command→(Type_Environ→Truth_Value) 检查命令在类型环境中是否遵从约束，即是否良定义的。 typify: Expression→(Type_Environ→Value_Type) 验明表达式的类型，即在类型环境中的具体类型。 declare : Declaration→(Type_Environ→Truth_Value×Type_Environ) 在类型环境中给出声明是良定义的真值, 以及所产生的类型束定。 type_denoted_by: Type_Denoter→Value_Type 产生类型指明符的真实类型。类型环境域有以下辅助函数: empty_environ : Type_Environ bind : ldentifier × Type →Type_Environ overlay: Type_Environ×Type_Environ→Type_Environ find: Type_Environ×Identifier→Type · 程序推理 C; ship ≡ C。要证明相等，即指出两端指称一样即可: execute 〖C; skip〗 env sto = execate 〖skip〗 env (execute C env sto) = execute C env sto

将域的各等式也转成ML的datatype定义: type Location = int; datatype Value= truthvalue of bool ｜integer of int; type Stroeable = Value; datatype Bindable = value of Value ｜ variable of Location; 再写出具体函数定义: fun execute (skip) env sto = sto ｜execute (IbceomesE(I，E)) env sto = let val val' = evaluate E env sto in let val variable loc = find (env，I) in update (sto，loc，val') end ｜ execute (letDinC (D，C)) env sto = let val (env'，sto') = elaborate D env sto in execute C (overlay (env'，env)) sto'

11.6.3 语义原型 先将抽象语法改写为ML的datatype 定义: type Identifier = string and Num eral = string; datatype Command = skip ｜IbecomesE of Identifier * Expression ｜letDinC of Declaraton * Command ｜CsemicolonC of Command * Command ｜ifEthenCelseC of Expressiion * Command * Command ｜whileEdoC of Expression * Command and Expression = num of Numeral ｜flase' ｜true' ｜ide of Identifier ｜EplusE of Expression * Expression and Declaration= constIisE of Ldentifier * Expression ｜varIcolonT of Ldentifier* Typerdenoter and Typedenoter= bool' ｜int'

将域的各等式也转成ML的datatype定义: type Location = int; datatype Value= truthvalue of bool ｜integer of int; type Stroeable = Value; datatype Bindable = value of Value ｜ variable of Location; 再写出具体函数定义: fun execute (skip) env sto = sto ｜execute (IbceomesE(I，E)) env sto = let val val' = evaluate E env sto in let val variable loc = find (env，I) in update (sto，loc，val') end ｜ execute (letDinC (D，C)) env sto = let val (env'，sto') = elaborate D env sto in execute C (overlay (env'，env)) sto'

｜ execute (CsemicolonC (C1，C2)) env sto = execute C2 env (execate C1 env sto) ｜ execute (if E then C else C (E，C1，C2)) env sto = if valuate E env sto = truthvalue true then execute C1 env sto else execute C2 env sto ｜ execute (whileEdoC (E，C))= let fun executewhile env sto = if evaluate E env sto = truthvalue true then executewhile env (execute C env sto ) else sto in executewhile end and evaluate (num N) env sto = integer (valuation N) ｜evaluate (false') env sto = truthvalue false ｜evaluate (true') env sto = truthvalue true ｜evaluate (ide I) env sto = coerce (sto，find (env，I ))

｜evaluate (EplusE( E1，E2 )) env sto = let val integer int1 = evaluate E1 env sto in let val integer int2 = evaluate E2 env sto in integer (sum ( int1，int2 ) ) end ｜... and elaborate (constIisE ( I，E )) env sto= let val val'=evaluate E env sto in (bind (I，value val’)，sto) ｜elaborate (varIcolonT( I，T )) env sto= let val (sto'，loc)=allocate sto in ( bind ( I，variable loc )，sto') valuation (N) = integer (stringtoint N)

以上按IMP 抽象语法套写语义函数execute, evaluate，elaborate. 还要把辅助函数改写为ML: fun coerce ( sto，value val')= val' ｜coerce ( sto，vatiable loc ) = fetch ( sto，loc ) 设置初始条件运行ML程序 有了以上定义，即可运行抽象语法树的ML解释器，例如: val env0=...; //初始环境 val sto0=...; //初始存储 val prog=...; //一条IMP命令的抽象语法树 execute prog env0 sto0;