04 第四章 應用幾何 4-1 概說 4-2 認識尺度符號 4-3 等分線段、圓弧與角 4-4 垂直線與平行線 4-5 多邊形 04 第四章 應用幾何 4-1 概說 4-2 認識尺度符號 4-3 等分線段、圓弧與角 4-4 垂直線與平行線 4-5 多邊形 4-6 相切與切線 4-7 圖形比例 4-8 圓錐曲線

4-1 概說 觀察日常生活中所見諸物體，其形狀皆由一種或數種幾何形體所構成。工程圖所表現的都是物體之形態，它們亦均為幾何圖形所構成。因此在工程圖中，常須應用幾何原理和幾何構圖來解決問題，故幾何圖形的作圖，在製圖中占極重要之地位。 4-2 認識尺度符號 一張工程圖除了幾何形狀之構成以表達物體形狀外，還必須加註尺度大小，而在標註尺度時 ，常必須由符號與數字併用。 1

4-3 等分線段、圓弧與角 一、等分直線或圓弧 二、等分角度 已知線段AB或圓弧AB，求作等分線段或圓弧。 【作法】 或圓弧）的一半長為半徑畫弧相交於D、E兩點。 2、以三角板連接D、E兩點與線段AB或圓弧AB交於C點。 3、C點即為平分直線或圓弧之中點。 二、等分角度 已知∠BAC，求作∠BAC之分角線 。 【作法】 1、以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧交夾角的兩邊於E 及F。 2、再以E、F各為圓心，大於線段EF的一半長為半徑畫弧 相交於D。 3、連接AD即為所求。 2

4-4 垂直線與平行線 三、任意等分線段 一、過直線外一點P，畫該直線的平行線 已知線段AB，求作三等分線段AB 。 【作法】 1、從已知直線A端引一任意角的直線AC。 2、用分規或直尺在AC直線上定出三個任意等長間距之分 隔點1、2、3。 3、將最後分隔點3與B端連接。 4、通過其他分隔點1、2，畫與3-B線段平行之線即得。 4-4 垂直線與平行線 一、過直線外一點P，畫該直線的平行線 已知線段AB及P點，求作一線段通過P點並平行線段AB。 【作法】 1、將三角板之任一邊與已知線AB對齊。 2、用丁字尺置於三角板下，按住丁字尺保持不動。 3、移動三角板至此邊正好過P點，沿此邊畫直線CD，即 與已知線AB平行。 3

4-5 多邊形 二、過直線外一點P，畫該線的垂直線 一、畫等邊三角形 已知線段AB及P點，求作一線段通過P點並垂直於線段AB。 【作法】 2、用丁字尺靠緊三角板之斜邊，並按住丁字尺。 3、移動三角板，至另一腰正好過P點，沿此腰畫線。 4-5 多邊形 以三條或三條以上直線所圍成之平面，即稱為多邊形（ polygon ）。此等直線稱為多邊形之邊，兩邊相交所夾稱為角。當多邊形其邊其角均相等者，即為正多邊形（r- egular polygon）。正多邊形每一內角 。 n為正多邊形之邊數，正多邊形之外角和為360ﾟ。 一、畫等邊三角形 已知邊長線段AB，求作一等邊三角形 。 【作法】 1、各以線段AB之兩端為圓心，線段AB長為半徑畫弧相交 於C。 2、連接AC、BC即得。 4

二、畫正四邊形 （一）已知外接圓，求作正四邊形 。 【作法】 1、過圓心O畫水平及垂直兩直徑AB、CD。 2、連接A、B、C、D各點即得。 （二）已知內切圓，求作正四邊形 。 【作法】 1、用45˚三角板配合丁字尺畫四條圓之切線即得。 5

三、畫正五邊形 （一）已知外接圓，求作正五邊形 。 【作法】 1、過圓心O作兩條互相垂直之直徑。 2、求半徑OD之中點C。 3、以C為圓心，CA長為半徑畫弧交於E。 4、以A為圓心，AE長為半徑畫弧交O圓周於B。 5、畫直線AB，即為所求正五邊形之一邊，以邊長分圓周 為五等分，連結各等分點即得。 （二）已知一邊長AB，求作正五邊形。 【作法】 1、平分已知邊AB得中點C。 2、以B為圓心，BA長為半徑畫弧與B點垂線相交於D。 3、以C為圓心，CD長為半徑畫弧與AB延長交於E。 4、以A為圓心，AE長為半徑畫弧與AF弧及AB垂直平分線 GC分別相交於F及G點。 5、連結BF、FG即為正五角形之兩邊。 6、以A、G各為圓心，正五邊形之一邊長為半徑畫弧相交 於H，連結GH、HA即得。 6

四、畫正六邊形 （一）已知外接圓，求作正六邊形。 【作法】 1、用圓規量取圓半徑長，順次將圓周六等分。 2、連結各等分點即得。 （二）已知一邊長，求作正六邊形。 【作法】 1、由已知邊長AO為半徑畫一正圓。 2、以A為圓心，半徑長不變畫弧交圓周於B、F兩點。 3、同樣再以D為圓心，畫弧交圓周於C、E兩點。 4、連結AB、BC、CD、DE、EF、FA即得。 7

五、畫任意正多邊形（近似法） （三）已知內切圓，求作正六邊形。 【作法】 1、用丁字尺畫圓之上下兩條水平線。 2、置30˚×60˚三角板之短腰於丁字尺上，移動三角板之斜 邊作圓的切線AF、CD、BC、EF即得。 五、畫任意正多邊形（近似法） （一）已知外接圓，求作任意正多邊形。 【作法】 1、畫已知圓直徑AB。 2、將直徑AB七等分（隨要作幾邊形，就作幾等分）。 3、各以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓弧相交於P、R兩 點。 4、連結P2、P4、P6並延長之，交於圓上C、D、E各點。 5、連結R2、R4、R6並延長之，交於圓上H、G、F各點。 6、順次連結各點即得。 8

（二）已知一邊長，求作任意正多邊形。 【作法】 1、由已知邊長畫一等邊三角形AOB。 2、等分AO或BO為六等分。 3、以O點為圓心，依次移轉 1、2、3… 各點至AB之垂直 平分線上，得D、E、F…各點。 4、點D為正七邊形之外接圓中心，點E為正八邊形外接圓 中心，…。 5、以各外接圓中心至A或B點之距離為半徑畫外接圓。 6、取AB長等分圓弧後，連接各等分點即可畫出正多邊形 。 4-6 相切與切線 當一圓弧與一直線相切，其切點（T）必位於經圓弧中心且垂直該直線之線上。兩圓相切，其切點（T）必位於兩圓心之連心線上或其延長線上；若兩圓為外切則其連心線長等於兩圓之半徑和；若兩圓為內切則其連心線長等於兩圓之半徑差。 9

一、畫直線與圓相切 （一）自圓上一點，求作一切線。 【作法】 1、以三角板緊沿著丁字尺，使三角板之直角邊連結圓心 及 P 點。 畫線即得。 （二）自圓外一點，求作一切線。 【作法】 1、以三角板緊沿丁字尺，使其直角邊過P點且與圓相切。 2、按住丁字尺，移動三角板，使另一直角邊通過圓心與 圓相交得切點T。 3、連接PT即得。 10

（三）已知兩圓，求作其公切線。 【作法】 1、置三角板的一直角邊與兩圓相切。 2、用丁字尺與三角板的斜邊相靠。 3、按住丁字尺，移動三角板，使三角板之直角邊通過圓 心O1與O2，沿此直角邊作直線與圓周相交得切點 T 及T’。 4、連結T、T’兩切點即得公切線。 內公切線 外公切線 11

二、畫圓弧切於直線 （一）已知圓弧半徑R，線段AB及線段外一點P，求作以 半徑R畫一圓弧過P點並與線段AB相切。 【作法】 1、在AB線上適當位置取圓心，以已知圓弧半徑R作一圓 弧。 2、作圓弧之切線DE，且平行直線AB。 3、以已知點P為圓心，已知半徑R畫弧，交切線DE於C。 4、由C作直線AB的垂線交AB於T，T點即為切點。 5、以C為圓心，R為半徑，畫圓弧TP即得。 （二）已知圓弧半徑R，及成直角的兩直線，求作以半徑 R，畫一圓弧與成直角的兩直線相切。 【作法】 1、以兩直線之交點O為圓心，已知半徑R畫圓弧交兩直線 於T、T’， T、T’兩點即為切點。 2、各以T、T’為圓心，已知半徑R畫圓弧，相交於C。 3、以C為圓心，已知半徑R畫圓弧即得。 12

三、畫圓弧切於直線及圓弧 （三）已知圓弧半徑R，及成銳角或鈍角的兩直線，求作 以半徑R，畫一圓弧與成銳角或鈍角的兩直線相切 。 【作法】 圓弧。 2、作兩圓弧之切線且平行於兩直線，相交於C。 3、由C點作兩已知直線的垂線，得切點T、T’。 4、以C為圓心，用已知半徑 R在兩切點間畫出所需的圓 弧。 三、畫圓弧切於直線及圓弧 已知圓弧半徑R，及線段AB和圓弧CD，求作以半徑R，畫 一圓弧與線段AB和圓弧CD相切。 【作法】 1、在AB直線上適當位置取圓心，以已知半徑R畫圓弧， 並作切線且平行AB直線。 2、以圓弧CD之圓心O為圓心，(R1＋R)或(R1－R)的長 為半徑畫圓弧交切線於P。（(R1＋R)為外側相切， (R1－R)為內側相切） 3、由P作直線AB之垂線得切點T，連結PO得切點T’。 4、以P為圓心，已知半徑R畫圓弧相切即得。 13

四、畫圓弧切於兩圓弧 已知圓弧半徑R，及圓弧O1和圓弧O2，求作以半徑R畫一 圓弧與兩已知圓弧相切。 【作法】 1、各以O1、O2為圓心，如為外側相切，以(R＋R1)、 (R＋R2)的長為半徑，畫二圓弧相交於S。如為內側 相切則以(R－R1)、 (R－R2)為半徑畫圓弧相交。 2、連結SO1得切點T，連結SO2得切點T’。 3、以S為圓心，半徑R長畫圓弧相切即得。 14

4-7 圖形比例 一、圖形的放大或縮小 （一）對角線法 。 【作法】 1、於原圖形編號。 2、以A點為基準畫水平與垂直兩座標軸，並連結AC對角 線延長。 3 、於對角線決定放大（或縮小）之比例點C'。 4 、由決定比例之C‘點畫C’B‘平行CB，畫C’D‘平行 CD， 而得放大（或縮小）圖形。 （二）放射線法 。 【作法】 1、於原圖形編號，並以方盒形框圍於原圖形。 2、利用前述之對角線法，決定要放大（或縮小）之比例 大小。 3、點A與2、3連接並延長至放大之方盒形框，得 2'、3‘ 點。 4、點1水平投射到BC得1‘點，然後由點A與1’連線並延長 至C'B'得1"點，再由1"點水平投射至AD'得1"'點。 5、點4垂直投射到CD得4‘點，然後由點A與4’連線並延長 至C'D'得4"點，再由4"點垂直投射到AB'得4"'點。 6、得5“‘之作法如同得點4一樣，然後將放大盒形框上之 1“‘、2’、3‘、4”’、5“‘分別連接，即為放大的圖形。 縮小時亦同作法。 15 9

二、圖形之遷移 （一）三角法：已知多邊形及新底邊之位置A’B’，求作多 邊形遷移至新位置。 。 【作法】 邊形遷移至新位置。 。 【作法】 1、設多邊形各角點均為一以AB為底邊之三角形頂點。 2、以新底邊A’B’之兩端為圓心，AC與BC為半徑畫弧相 交於C’。 3、同法求其餘新頂點位置，然後連結各頂點即得。 16

4-8 圓錐曲線 用一割面截割一直立圓錐，其切割後之截面所形成之曲線，稱為圓錐曲線。 （二）方盒法或支距法：已知多邊形及新底邊之位置A’B’ ，求作多邊形遷移至新位置。 【作法】 1、將多邊形圍在一矩形中。 2、於新底邊上作同一大小之矩形。 3、將原來多邊形之頂點是在所作矩形邊上的，移量到新 底邊上所作之矩形邊上。 4、不在矩形邊上的，以直角坐標法定出頂點位置。 5、連結新頂點的位置即得。 4-8 圓錐曲線 用一割面截割一直立圓錐，其切割後之截面所形成之曲線，稱為圓錐曲線。 17

一動點繞一定點保持一定距離運動，則此動點之軌跡，謂之圓。不在一直線上的三點才可作一圓。 四種圓錐曲線 割面切割直立 圓錐之狀況 圖 示 截面所形 成之曲線 割面垂直於軸 正圓 割面與軸之夾角大於軸與素線之夾角 橢圓 割面與軸之夾角小於軸與素線之夾角或割面與軸平行 雙曲線 割面與軸之夾角等於軸與素線之夾角或割面平行素線 拋物線 一、圓 一動點繞一定點保持一定距離運動，則此動點之軌跡，謂之圓。不在一直線上的三點才可作一圓。 18

已知不在一直線上的三點A、B、C，求作一圓。 【作法】 1、先連接A-B，B-C得二直線。 2、分別求得A-B，B-C二線段的垂直平分線。 3、A-B，B-C二線段之垂直平分線相交點O，即為所要求 的圓心。 4、以O為圓心，O-A（或O-B，O-C）為半徑畫圓即得 。 二、橢圓 設一動點P與二定點（焦點）E及F間之距離的和為一常數，且恆等於其長軸AB，此動點P的軌跡，謂之橢圓。橢圓之焦點，是以短軸之一端為圓心，長軸之 1/2 為半徑，畫弧與長軸相交之點即是。 19

（一）同心圓法：已知橢圓之長軸AB及短軸CD，求作一 橢圓。 【作法】 1、分別以AB及CD為直徑作同心圓。 2、將兩同心圓等分。 3、於等分線與小圓交點處畫水平線，與大圓交點處畫垂 直線，由水平線與垂直線相交，得各交點。 4、以曲線板連接各交點即得橢圓。 （二）四圓心近似法：已知橢圓之長軸AB及短軸DE，求 作一橢圓。 【作法】 1、連結AE，以O為圓心，OA長為半徑畫圓弧交OE之延 長線於F。 2、以E為圓心，EF長為半徑畫圓弧交AE於G。 3、作AG直線之垂直平分線，則此平分線與軸相交得C1 及C2點。 4、用分規取OC1之相同距離得點 C3，取 OC2之相同距 離得點C4。 5、則C1、C2、C3、C4即為畫橢圓之四個圓心。 6、將C1、C2、C3、C4四個圓心互相連接。 7、分別以C1、C2、C3、C4為圓心，至A、E、B及D為 半徑畫圓弧。 8、4 個圓弧可在C1、C2、C3、C4互相連線上相接切， 而成一近似橢圓。 20

一動點在平面上移動，此動點與二定點（焦點）距離之差恆為常數，此動點所移動之軌跡為一對雙曲線。 （三）等角橢圓法：已知一60˚菱形，求作一橢圓。 【作法】 1、作菱形各邊的中垂線，兩兩相交得交點為圓心。 2、自交點至各邊中點的距離為半徑分別作圓弧，合成橢 圓。 三、雙曲線 一動點在平面上移動，此動點與二定點（焦點）距離之差恆為常數，此動點所移動之軌跡為一對雙曲線。 21

（一）焦點法：已知兩焦點F1、F2及貫軸AB（定差）， 求作雙曲線。 【作法】 1、作貫軸AB之垂直平分線。 2、以F1為圓心，任意大於線段AB之長為半徑（R）畫弧 ，再以F2為圓心，（）之長為半徑畫弧，而與前弧相 交得C、D兩點。 3、以相同的方法再求諸多點，用曲線板連接即得。 （二）等軸法：已知雙曲線之兩漸近線OA、OB及雙曲線 上一點P，求作雙曲線 【作法】 1、過P點畫FG線平行OA線，畫DE線平行OB線。 2、由O點畫數條傾斜線（於此設畫三條）與DE線相交得 1、2、3各點，與FG線相交得1’、2’、3’各點。 3、由1、2、3各點畫與OA線之平行線，1’、2’、3’各點畫 與OB線之平行線。 4、對應數字平行線之相交點，即為雙曲線上之點。（如 點3之平利線與點3’之平行線相交於點3”） 5、連接諸多點即得雙曲線。 22

焦點）之距離，恆等於動點至一直線（準線）之垂直距離，此動點移動之軌跡即為拋物線。 四、拋物線 一動點在一平面上運動，此動點與一定點（ 焦點）之距離，恆等於動點至一直線（準線）之垂直距離，此動點移動之軌跡即為拋物線。 （一）焦點法：已知一焦點F及一準線AB，求作一拋物線 。 【作法】 1、過F點作AB線之垂線（拋物線之軸線）交於O。 2、平分OF線得中點C，即為拋物線頂點。 3、於拋物線之軸線（OF）取任意距離（如D、E、G…） 並畫線平行於AB準線。 4、以F為圓心，量取各平行線至AB準線之距離為半徑R， 畫弧與對應平行線相交之點，即為拋物線上的點。 （如取D平行線至AB線為半徑，畫弧時即與D平行線 相交得點） 5、以相同方法，求得諸多點，以曲線板連接即得。 23

（二）包絡線法：已知X軸與Y軸，求作拋物線。 【作法】 1、在X軸及Y軸上作相同之等分與編號（X軸編號由左向 右，Y軸由上往下）。 2、以相同號碼點連接。 3、用曲線板畫曲線與各線段相切即得拋物線。 24