第三章 静定结构受力分析

容易产生的错误认识： “静定结构内力分析无非就是 选取隔离体，建立平衡方程， 以前早就学过了，没有新东西”

本章的要求： 运用基本原理熟练、准确地解决 各种静定结构的内力计算问题。 切忌：浅尝辄止

1. 静定结构的概念 从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。根据多余约束 n ，几何不变体系又分为：     有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；     无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。

从求解内力和反力的方法也可以认为： 静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。            静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。 超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。

2. 学习指导 本章所学内容的基础是以前所学的“隔离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。

§3-1 梁的内力计算回顾 1、截面的内力分量及其正负号规定 在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN 、剪力FQ和弯矩M(图3-1)。 轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。 剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。

弯矩----截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。 图3-1作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。

图3-1

2、截面法 梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述： 1. 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。 1. 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。 2. 代替----用相应内力代替该截面的应力之和。 3. 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。

利用截面法可得出以下结论： 1. 轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 2. 剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 3. 弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。

画隔离体受力图时，要注意一下几点： （1）隔离体与其周围的约束要全部截断，而以相应的约束力代替。 （2）约束力要符合约束的性质。 截断链杆（两端为铰的杆，杆上无荷载作用)时，在街面上加轴力。截断受弯杆件时，在截面上加轴力、剪力和弯矩。去掉滚轴支座、铰支座、固定支座时分别加一个、两个、三个支座反力和反力偶。

A A C B

（3）隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施加给周围的力。 （4）不要遗漏力。受力图上的力有荷载、支座反力、截断处的约束力。 （5）未知力一般假定为正号方向，数值是代数值。已知力按实际方向画，数值是绝对值。

3、荷载和内力之间的微分关系 FP

FN+d FN FN FQ+dFQ FQ M M+dM dx q

小结： 1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度，但正负号相反。 2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。 3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。 4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载的集度 ，但正负号相反。

一般 为斜 直线 水平线 抛物 线( 下凸) 有 极 值 为 零 处 有尖 角(向 下） 有突 变(突 变值= FP) 如 变 号 无变化 有突变 （突变 值=M） 剪力图 弯矩图 梁上 情况 无外力 均布力作用 (q向下) 集中力作用 处(FP向下) 集中力 偶M作 用处 铰处 无 影 响 为零 斜直 )

1.无荷载分布段(q=0),Q图 为水平线,M图为斜直线. M图 Q图 Pl 自由端无外力偶 则无弯矩.

2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. Q=0的截面为抛 物线的顶点. M图 Q图

3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同. M图 Q图

4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶 值; Q图无变化. M图 Q图

应熟记常用单跨梁的弯矩图 FP a FP l a b A B A B l q ql2 2

B A F l a b Fab B A q l ql2 8

m B A a b l

三、分段叠加法作弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。 只有线性变形体才适用叠加原理。 q A B = + MA MB

注意: 是竖标相加,不是 图形的简单拼合.

练习: l l

现在讨论分段叠加法的做法，见下图。 直杆段受力 两者 任一截面 内力相同 吗？ 简支梁受力

做任意直杆段弯矩图的问题，就归结为作相应简支梁弯矩图的问题。

A B D C FP q m B A C FP D q m MC MD B A C FP D q m MC MD

在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的问题。 FP q m C D A B MC MD 基线 在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的问题。

步骤： 1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。 控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。 2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。

6.分段叠加法作弯矩图 l/2 C l/2 l/2

练习: 分段叠加法作弯矩图

例3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。 A F D C 8kN 4kN/m 16kN.m B E FyA=17kN FyF=7kN 1m 4m 解： 1）求支座反力

2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。 已知 MA＝0， MF＝0。 1m A C 8kN 17kN MC FQCA 取右图AC段为隔离体： 取右图DF段为隔离体： 2m D F 16kN.m MD 7kN FQDF

3) 作M图 将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。 M图（kN·m） C D A F 17 26 30 23 7 B E 4) 作FQ图 C D A F 17 9 7 FQ图（kN） B E

例3-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。 130kN 40kN A F D 160kN 40kN/m 80kN·m B E 310kN 1m 2m 4m C 解： 1）求支座反力

2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。 已知 MA＝0 ， MF＝0。 1m A C 80kN·m 130kN Mc FQCA 取右图AC段为隔离体： A C 160kN 80kN·m 1m 2m D MD 130kN FQDC 取右图AD段为隔离体：

对悬臂段EF：

3) 作M、FQ图 将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。 M图（kN·m） 340 F A D C B E 130 210 280 140 160 190 A F D C E 130 30 120 40 FQ 图（kN） B

小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。

练习: l l

6.分段叠加法作弯矩图 l/2 C l/2 l/2

练习: 分段叠加法作弯矩图

§2-1 静定梁受力分析 一.单跨梁 二.多跨静定梁 1.单跨梁支反力 2.截面法求指定截面内力 3.作内力图的基本方法 4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系 5.叠加法作弯矩图 6.分段叠加法作弯矩图 二.多跨静定梁

二.多跨静定梁 基本部分--能独立 承载的部分。 1.多跨静定梁的组成 附属部分--不能独 立承载的部分。 基、附关系层叠图

练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图

二.多跨静定梁 1.多跨静定梁的组成 2.多跨静定梁的内力计算 拆成单个杆计算,先算附属部分,后算基本部分.

ql l 2l 4l 例: 作内力图 ql ql ql

ql l 2l 4l 例: 作内力图 ql ql ql 内力计算的关键在于: 正确区分基本部分和附 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算.

二.多跨静定梁 1.多跨静定梁的组成 2.多跨静定梁的内力计算 3.多跨静定梁的受力特点 为何采用 多跨静定梁这 种结构型式? 简支梁(两个并列) 多跨静定梁 连续梁

例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置. C D x 解:

从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力. x 与简支梁相比:弯矩较小而且均匀. 从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.

练习: 利用微分关系等作弯矩图 l/2 P

练习: 利用微分关系等作弯矩图 l/2 P 2M

练习: 利用微分关系等作弯矩图 l/2 P 2M

练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图 l/2 P l/2

作业 3-5 3-6