第四节 线性方程组解的结构 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理: 第四节 线性方程组解的结构 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理: (1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n时有无穷多解;

一、齐次线性方程组的解 设有齐次线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax = 0.

若x1=11, x2=21, ···, xn=n1为方程组Ax = 0的解, 则 (1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是Ax = 0的解. 证明: 因为 A1 = 0, A2 = 0, 所以 A(1 + 2) = A1 + A2 = 0, 故 x =1 + 2也是Ax = 0的解.

(2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是 所以 A(k1) = kA1 = k 0 = 0, 故 x = k1也是Ax = 0的解. 　　这两个性质表明, Ax = 0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次方程组 Ax = 0 的解空间.

二、基础解系及其求法 称向量组1, 2, ···, t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果 (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, ···, t 线性表出. 如果向量组1, 2, ···, t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + ··· + ktt 其中k1, k2, ···, kt为任意常数.

　　设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为: 即有方程组 (1)

现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量): 分别代入方程组(1)依次得: 从而求得原方程组的 n–r个解:

···, 依据以上的讨论，还可推得 定理1: 当 n元齐次线性方程组 Amnx = 0的系数矩阵的秩R(A)=r时, 解集S的秩为 n–r .

当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量, 为0维向量空间). 当R(A)=r < n时, 方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系1, 2, ···, n-r . 因此由最大无关组的性质可知，方程组Ax=0的任何n–r个线性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的.

例1: 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解: 对系数矩阵A作初等行变换, 变为行最简矩阵, 有 得

即得基础解系: 并由此得通解:

例2: 设AmnBnl = Oml , 证明R(A)+R(B) n. 证明: 设B =(b1, b2, ···, bl ), 则 AB = A(b1, b2, ···, bl ) = (0, 0, ···, 0 ) = Oml , 即 Abi = 0 ( i =1, 2, ···, l), 也就是说, B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量. 由齐次线性方程组解的 性质知: 方程组Ax=0的解向量组的秩为n–R(A), 因此, R(B)=R(b1, b2,··· ,bl ) n–R(A). 故 R(A)+R(B) n.

三、非齐次线性方程组的解 (1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解. 证明: 因为 A1=b, A2=b, 所以 A(1–2) = A1–A2 = b – b = 0. 故, x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解. (2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解. 证明: 因为 A=b, A=0, 所以 A(+) = A +A = 0 + b = b. 故, x=+ 为方程组 Ax=b 的解.

非齐次线性方程组Ax=b的通解为: x = k11 + k22 + ··· + kn-rn-r +*. 其中 k11+k22+···+kn-rn-r 为对应齐次线性方程组Ax=0的通解, *为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解. 例4: 求解方程组 解: 对增广矩阵B施行初等行变换:

可见R(A)=R(B)=2, 故方程组有解, 并有 取 x2 = x4 = 0, 则x1 = x3 = 即得方程组的一个解

在对应的齐次线性方程组 中, 取 即得对应的齐次线性方程组的基础解系为: 于是所求通解为:

第五节 向量空间 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 说明 第五节 向量空间 一、向量空间的概念 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 说明 1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 .

. , 3 是一个向量空间 维向量的全体 R 例1

例2 判别下列集合是否为向量空间. 解

例3 判别下列集合是否为向量空间. 解

维向量，集合 为两个已知的 设 n b a , 例4 试判断集合是否为向量空间.

一般地， 为 { } . , 2 1 V R b x a s m =  + 试证： 记 等价， 与向量组 设向量组 l L 例5

定义2 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 那末，向量组 就称为向量 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 三、向量空间的基与维数 定义2 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间．

说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为

设矩阵 例6