數學素養

什麼是數學素養？

什麼是數學素養？OECD派 PISA定義的數學素養： 個人能在多樣不同的情境之下，將情境 問題轉化成數學問題、使用數學及詮釋 數學的能力。這素養包括了數學推理及 使用應用數學概念、程序、事實、工具 來解釋、描述及預測現象。

了解 VS 見解 了解：對一件事情的明白。 見解：經批判、反思後進一步提出個人的看法。 不是知道多少數學， 而是能夠拿知道的數學處理資訊！

數學素養的展現（PISA) 數學力 真實世界 數學世界 形成模式 情境脈絡裡的問題 數學問題 確認答案 使用數學 詮釋答案 情境脈絡裡的答案 數學解答 情境與數學間的溝通 問題數學化 使用及轉換表徵 推理及論述 發展策略 使用符號、形式及術語與運算 使用數學輔助工具 數學力

數學素養的展現 數學問題 數學答案 情境答案 情境問題

思考及推理 論證 溝通 建模 擬題及解題 表徵 運用符號 運算 使用工具 情境問題解決內蘊的數學力

如果沒有數學素養?

【PISA題8】M179：搶劫 你認為這位主播對於上圖的解釋是否合理？ 請寫出一個理由來支持你的答案。

這樣寫可以得到滿分 代號 21： 不，不合理。指出我們看到的只是整個圖表的其中一小部分。 • 不合理，因為他只用了圖表上方的小部分。如果看到全圖由0到520的情況，便 知道上升的幅度不是那麼大。 代號 22： 不，不合理。用比率或百分比的數字作論據，論點正確。 • 不，不合理。與總數500比較，10不是一個巨幅的增加。 • 不，不合理。計算百分比，約只有2%的增加。 • 不，多了8宗搶劫案，即上升了1.5%。我認為那不是很多！ • 不，今年只多了8或9宗，與507宗比較，那不是很大的數字。 代號 23： 要有趨勢的數據資料才可作出判斷。 • 我們不能說增加是否巨幅。若1997年的搶劫案數目與1998年的相同，那麼我們 可以說1999年有巨幅增加。 • 有多「巨幅」，我們無從得知。因為至少需要有兩個改變，才可判別哪個大， 哪個小。

這樣寫可以得到部份分數 代號 11： 不，不合理，但欠缺詳細解釋。 • 只有討論搶劫案的實際增加數字，但沒有將它與總數比較。 • 不合理。搶劫案數目大約增加了10宗。用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目 增加的真實情況不正確。 • 不，因為8或9不是一個大數目。 • 有點不合理。由508 至515 是有增加，但不是巨幅的增加。 代號 12： 不，不合理。方法正確但有輕微計算錯誤。 • 方法和結論皆正確，但計算出來的百分比是0.03%。

這樣寫可以得到0分 代號 01： 不。表示不合理，但沒有提供解釋、沒有充分解釋或解釋不正確。 • 不，我不同意。 • 主播不應用「巨幅」這個字眼。 • 不，這是不合理的。主播（記者）經常喜歡誇大。 代號 02： 是。基於圖表的形狀，因而指出搶劫案數字雙倍增加。 • 是，圖形的高度雙倍增加。 • 是，搶劫案數字差不多雙倍增加。 代號 03： 是。沒有提供解釋，或提供代號02以外的解釋。 • 對我來說，搶劫增加1宗就算是巨幅增加了。 代號 99：沒有作答

學生常犯的錯誤 主觀的陳述自己對問題的看法，忘記或忽略使用 題目中圖表提供的資訊。 是，現在科技越來越發達。 是，因為這幾年來經濟不景氣，有人為了生活做出做壞的打 算，所以才會搶劫。 合理，因為每一年的治安越來越亂了!。   只注意到題目中的部分資訊，未能掌握所有（或 關鍵）的資訊。 當然合理，圖表上升那麼多怎麼不合理呢！ 因為犯罪的長條圖，是越長條，數量越多。 是，因為圖表表達得很清楚，1999比1998確實多很多。 否，並沒有巨幅上升。 13

作答建議 利用圖形或表格的資料為依據進行推論、獲得結果， 是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一。 這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或 『請根據表格中的數據』字句，提示學生應以圖表 的資料做為作答的依據。作答時 不要以主觀的意識來回答問題，請務必使用圖、表中的 資訊。 運用數學概念、觀點回答，且精準掌握該問題之核心概 念。 注意圖形(x軸、y軸) 或表格(公里／小時或公尺／秒)中 所使用的單位，才不會遺漏資訊。 14

教室裡的 數學素養

已知一長方形的周長為22， 且長與寬的平方和等於49， 則此長方形的面積為多少？ 假設 長是a ， 寬是b 已知 a+b=11 a2+b2=49 由此可推得 (a+b) 2=112 a2+2ab+b2=121 49+2ab=121 2ab=72 ab=36 答：長方形面積為36

伊凱斯頓礦泉水公司 6×8=48瓶

可以不一樣方式裝嗎？ 8+7+8+7+8+7=45瓶

成功了嗎？ 6+5+6+5+6+5+6+5+6=50瓶

【PISA題】M148：大陸面積 利用地圖的比例尺，估算出南極洲的面積。 寫出你的作法並解釋你是如何估計的。 (若利用作圖能幫助你估計的話，可直接畫在地圖上。)

這樣寫可以得到滿分 面積在12,000,000平方公里 到 18,000,000平方公里之間 都算是正解!

這樣寫可以得到部份分數 畫一個長方形或多邊形或圓形估計，方法正確但答案不正確或不完整。 • 畫一個長方形，長乘以寬，但答案過大或過小（例如18,200,000）。 • 畫一個長方形，長乘以寬，但位數不正確（例如4,000 × 3,500 =140,000）。 • 畫一個長方形，然後長乘以寬，但忘記利用比例尺轉為平方公里 （例如12公分 × 15公分= 180）。 • 畫一個長方形，說明面積是4,000公里 × 3,500公里。沒有進一步的計算。

【PISA題】大陸面積 【PISA題】大陸面積 請畫出比例尺？ 算出的實際面積一樣嗎？

圓周率π π ≒3.14 π ≒3.1415926 π ≒3.14159265358979323846 直徑10000公里的圓，求圓周。 若用π ≒3.1415926， 會出現多少誤差？ 10000 π－10000×3.1415926 = 10000 × (π－3.1415926) ＜ 10000× 0.0000001 =0.001 (公里) =1 (公尺) 半徑：約2285公里。 面積： 2285 × 2285 × π = 5221225 π 答案怎麼寫？

【PISA題9】M145：骰子(改編題) 問題 ： (a)與(d)兩棵骰子相接觸，請算出這兩接觸面之點數和。 _____________________________________________________________ 問題 1：骰子 M145Q01 在這張相片中你可以看見六個骰子，分別被標記(a)到(f)。所有骰子都有個規則：每兩個相對的面之點數和都是七。 問題 ： (a)與(d)兩棵骰子相接觸，請算出這兩接觸面之點數和。

規則與取消規則 六面的骰子都有個規則：每兩個相對的面之點數和都是七。 1.在這個規則下，能做出幾種不同的骰子？ 2.若是拿掉這個規則，此時能做出幾種不同的骰子？

披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的圓形披薩。 小披薩的直徑是30 公分，售價為30元。 大披薩的直徑是40 公分，售價為40元。 【PISA題】M154：披薩 披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的圓形披薩。 小披薩的直徑是30 公分，售價為30元。 大披薩的直徑是40 公分，售價為40元。 對顧客而言，那個披薩比較划算？寫出你的理由。

用一個12吋的披薩去換 兩個同口味的6吋的披薩， 划不划算？ (1吋=2.54公分) 用一個12吋的披薩去換 兩個同口味的6吋的披薩， 划不划算？ (1吋=2.54公分)

假設 12吋的披薩可以分成12片 6吋的披薩可以分成6片， 而且每一片都一樣大。 這樣寫有沒有素養? 假設 12吋的披薩可以分成12片 6吋的披薩可以分成6片， 而且每一片都一樣大。 這樣，兩個小披薩有6X2=12片 大披薩也是12片 所以這兩種選擇一樣划算。

這樣寫有沒有素養? 不論選哪一種，假設都是花了120元 由 120÷12=10 可得：12吋的披薩每吋10元。 由 120÷2=60 ，60÷6=10 可得：6吋的披薩每吋10元。 所以兩種一樣划算。

如果這是一個六吋披薩， 你覺得12吋披薩有多大？

你想到什麼？ 你看到什麼？

如果你是披薩店老闆， 6吋的小披薩定價為100元， 請問同口味的 12吋大披薩你要訂價多少錢？ 請你說明數學上的理由。 如果由我來出素養題 如果你是披薩店老闆， 6吋的小披薩定價為100元， 請問同口味的 12吋大披薩你要訂價多少錢？ 請你說明數學上的理由。

電腦螢幕的選購 小威因為電腦螢幕故障，於是決定到3C賣場購買一台新的，小威告訴店員說他想買一台20吋的螢幕(螢幕的尺吋是指其對角線的長度) 小威 : 「我想買一台20吋的電腦螢幕。」 店員 : 「請問你想買『傳統螢幕型』還是『寬螢幕型』的呢? 」 小威 : 「這兩種有什麼不同呢?」 店員: 「『傳統螢幕型』其畫面的長寬比為4:3；而『寬螢幕型』其畫 面的長寬比為16:10。」 小威 : 「我想買螢幕畫面的面積比較大的，應該買哪一種呢? 」 店員 : 「我想你應該買『寬螢幕型』的吧，它既然叫寬螢幕，當然面積 比較寬大囉。」 你認同店員的說法嗎?請說明你的理由。

【PISA題】M402：網路通訊 馬克和漢斯不能在他們各自的 當地時間上午9：00到下午4：30之間聊天， 因為他們必須去學校。 且當地時間下午11：00 到上午7：00他們也不會聊天， 因為他們在睡覺。 何時是他們能夠聊天的好時間？ 請在下表寫下他們的當地時間。 地點 時間 雪梨 柏林 解題的過程中，素養在哪裡？ 1. 用12小時制表示比較好，還是用24小時制表示比較好？ 2. 第一步的抉擇：留下可以的時間，還是刪除不行的時間？

多想一下：表徵的選擇重要嗎？ 格林威治 柏林 雪梨 午夜12點 上午1點 上午10點 16.5 柏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 雪

24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 雪梨 柏林 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 各 國 時 間 雪梨 柏林 格林威治時間 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

【PISA題】M402：網路通訊 你被要求設計出一套新的硬幣。所有硬幣都是圓形， 且顏色都是銀色，但是有不同的直徑。   研究者發現了一個理想的硬幣系統，其符合以下要求： • 硬幣直徑不可小於15 毫米，且不可大於 45 毫米 • 每個硬幣的下一個硬幣的直徑必須比它大至少30%。 • 鑄造的機械只能生產出直徑為整數的硬幣 (如：可以製造17毫米，但無法製造17.3毫米)。 問題 1：硬幣 請你設計出一套符合上面條件的新硬幣系統。 從一枚15毫米的硬幣開始，而且在你這套系統裡盡可能包含所有的硬幣大小，則這套系統裡的硬幣直徑分別為多少？

【PISA題】M465：水箱 問題 1：水箱 水箱的形狀和尺寸如右圖所示。 一開始水箱是空的，然後以每秒一公升的速度注水。 下列哪個圖顯示水箱注水時， 隨著時間的水面高度變化的情形？

你可以想像每一個圖所表現出的水箱形狀嗎？

不同的縱軸會出現什麼樣不一樣的結果？ 高 度 上升速度 體積 時間 時間 時間

【PISA題】M525：減少二氧化碳 (CO2) 濃度 兩個人從上圖產生不同的結論。 根據這個問題提出兩種「正確」答案，並且解釋你如何得到這些答案。

思考： 什麼時候會想看絕對增加量？ 什麼時候會想看相對增加量？ 【PISA題6】M525：減少二氧化碳 (CO2) 濃度 答案兼具數學的推論： 最大的絕對增加、最大的相對增加， 及列出美國和澳洲。 就增加多少百萬噸來說，美國的增加幅度最大， 就增加多少百分比來說，澳洲的增加幅度最大。 思考： 什麼時候會想看絕對增加量？ 什麼時候會想看相對增加量？

【PISA題】M215：剎車 如果要停止一輛移動中的車子，所需要的距離大約是下列的總和：

我會想問： 1.速度變兩倍，停車距離也變兩倍嗎？ 根據這張統計圖要回答這個問題很不方便。

【台灣題4】手續費 我會想問： 1.最上面的「買入與賣出」，請問是站在銀行的立場，還是站在顧客民眾的立場？ 2.在匯率中， 大於1代表什麼意思？小於1代表什麼意思？

差不了多少錢嗎 ？ 幣別 現金匯率 買入 賣出 美金 (USD) 29.51000 30.05200 港幣 (HKD) 3.70900 3.88700  英鎊 (GBP) 44.05000 45.96000  澳幣 (AUD) 30.91000 31.63000  加拿大幣(CAD) 29.06000 29.81000  新加坡幣(SGD) 23.57000 24.39000  瑞士法郎(CHF) 30.73000 31.73000  日圓 (JPY) 0.31260 0.32200  南非幣 (ZAR) -  瑞典幣 (SEK) 4.14000 4.74000  紐元 (NZD) 24.77000 25.52000  泰幣 (THB) 0.91000 1.05880  菲國比索(PHP) 0.67880 0.81750  印尼幣 (IDR) 0.00265 0.00351  歐元 (EUR) 37.61000 38.66000  韓元 (KRW) 0.02496 0.02883  越南盾 (VND) 0.00122 0.00153  馬來幣 (MYR) 8.21800 10.34500  人民幣 (CNY) 4.71300 4.91500 幣別 現鈔 銀行買入 銀行賣出 美金(USD) 29.6520 30.0620 日圓(JPY) 0.3149 0.3239 英鎊(GBP) --- 瑞士法郎(CHF) 澳幣(AUD) 港幣(HKD) 3.7850 3.9082 新加坡幣(SGD) 加拿大幣(CAD) 歐元(EUR) 37.6709 38.8019 南非幣(ZAR) 瑞典幣(SEK) 紐西蘭幣(NZD) 泰國銖(THB) 人民幣(CNY) 4.6988 4.9138

美金(USD)對新台幣現金匯率 更新日期:2013-04-09 11:47 銀行 銀行買入價 銀行賣出價 台灣銀行 29.655 30.197 台灣中小企銀 29.8 30.2 遠東銀行 29.804 30.204 臺灣郵政 29.6 30.205 彰化商業銀行 29.805 台新銀行 29.806 30.206 中國信託銀行 花旗（台灣）銀行 29.753 30.258 上海商業儲蓄銀行 29.76 30.26 各 家 銀 行 匯 率 比 較 如果你需要買美金，在台灣銀行購買(匯率:30.197)會比較便宜。 如果你要換回台幣，在台新銀行換回(匯率:29.806)會比較划算。

【台灣題】速食店的薯條 各國政府近年開始重視人民飲食健康，陸續要求速食餐飲業者標示營養資料，台灣衛生單位也在2010年6月起輔導速食業者執行熱量標示。 下表為知名速食餐廳薯條熱量彙整表：     大薯單價45元，中薯單價35元，小薯25元 食品價格及熱量資料來源：http://www.mcdonalds.com.tw/ 問題 1： 速食店套餐的中薯加10元可變大薯，但網友踢爆，中薯一包69根，大薯一包84根，多了15根竟要價10元，網友認為每根薯條的單價竟是中薯比大薯便宜，速食店有欺瞞消費者嫌疑！試以數學觀點論述你是否同意網友的爆料及看法？ 問題 2： 根據熱量表，你能否判斷大薯、中薯、小薯哪一種比較便宜？為什麼？

【PISA題】M552：搖滾音樂會 問題 1：搖滾音樂會 M552Q01 搖滾音樂會預留了長100 公尺寬50 公尺大小的長方形場地作為觀眾席。音樂會的票全部賣光，而且場地擠滿了歌迷。 下列哪一個數最有可能是出席音樂會的人數？ A 2000 B 5000 C 20000 D 50000 E 100000

估測距離

學生在這之中學到了什麼？ 用不一樣的角度來看問題！

等差級數的和 求 的和。

思考及推理 論證 溝通 建模 擬題及解題 表徵 運用符號 運算 使用工具 填鴨式教學法的成效

等差級數的和 求 的和。

高級填鴨式教學法的成效 思考及推理 論證 溝通 建模 擬題及解題 表徵 運用符號 運算 使用工具 ——對PR85以上的學生而言

高級填鴨式教學法的成效 思考及推理 論證 溝通 建模 擬題及解題 表徵 運用符號 運算 使用工具 ——對中等程度的學生而言

學生有沒有機會從操作中進行推論 一. 43+45+47+49+51+53+55+57 二. 1+2+3+4+5+6+7

思考及推理 論證 溝通 建模 擬題及解題 表徵 運用符號 運算 使用工具 讓學生有機會主動想問題

210 =？ 410 =？ 220 =？

蘋果logo 網路上有一個很有趣的講法，討論影響世界深遠的三顆蘋果： 第一顆，伊甸園中夏娃偷吃的蘋果。 第二顆，蘋果樹下打到牛頓的蘋果。 第三顆，賈伯斯咬了一口的蘋果。   賈柏斯是蘋果電腦的創辦元老之一，畢生追求完美的設計。 右圖即是蘋果電腦象徵著質感與品味的標誌。 問題一： 下列兩個標誌中，有一個是蘋果電腦正版的標誌、有一個是山寨版的標誌。如果你現在有直尺與圓規，請問是能夠區分誰是正版的圖形？並請說明你的理由。 問題二： 下列兩個標誌中，圖三是蘋果電腦的標誌。請問你是否能使用直尺與圓規這兩個工具在圖四上畫出蘋果標誌的缺口？如果不行，請說明理由；如果可以，請在圖四上作圖。

我們想做什麼、而數學在其中又扮演了什麼？ 如何看問題、如何想問題？ 我們想做什麼、而數學在其中又扮演了什麼？ VS 「太快得到什麼是絕對正確的東西。」 「在沒得到時，太想(很快地)得到絕對正確的東西。」 「把絕對正確的東西當成知識的一切。」

數學帶給學生什麼感覺？ 學生常常在要去感覺數學之前， 就被龐大且無可反駁的現成見解擋住一切， 然後只能懷抱冷漠， 用低層次的感情去理解數字與符號交織出的冰冷世界。

「什麼才是學生真正的收穫？」 如果學生在上數學課時並不是在學習思考， 而是在努力去得到一段標準的思考程序， 並用來寫出正確答案。 那麼，有個重要的問題值得我們一再去想： 「什麼才是學生真正的收穫？」