機率理論 實驗結果 實驗結果 機率 不確定的測度 樣本點 多重步驟實驗 組合 排列 元素 下雨機率90％ 樣本空間 事件 步驟 指派 辨識 計算 指派 乃是 一種 是一個 計數 法則 不確定的測度 樣本點 多重步驟實驗 組合 排列 亦即 元素 例如 集合成 下雨機率90％ 樣本空間 事件 發生 組合成 機率

機率(probability) 基本要求 BACK 條件機率 練習題 古典法 相對次數法 主觀法 獨立事件 相依事件 練習題 決定 方法 A發生之機率稱為 條件機率 練習題 古典法 相對次數法 主觀法 公式 應用 基本要求 獨立事件 相依事件 公式 公式 BACK 練習題

Experimental Outcomes Head, tail Defective, nondefective Experiment: A process that generates well-defined outcomes. Several examples of experiments and their associated outcomes follow. Experiment Toss a coin Select a part for inspection Conduct a sales call Roll a die Play a football game Experimental Outcomes Head, tail Defective, nondefective Purchase, no purchase 1,2,3,4,5,6 Win, lose, tie BACK

The occurrence of the event is 教材 P.141 Figure 4.1 Probability as a numerical measure of the likelihood of an event occurring Increasing likelihood of occurrence .5 1.0 Probability: The occurrence of the event is just as it is unlikely. BACK

S= (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) BACK 教材 P.142 The experiment of tossing two coins can be thought of as a two- step experiment in which step 1 is the tossing of the first coin and step 2 is the tossing of the second coin. If we use H to donate a head and T to donate a tail, (H,H) indicates the experimental outcome with a head on the first coin and a head on the second coin. Continuing this notation, we can describe the sample space (S) for this coin-tossing experiment as follows: S= (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) BACK

Figure 4.2 Tree diagram for the experiment of tossing two coins experimental outcome (sample point) Step 1 First coin Step 2 Second coin (H,H) Head Head (H,T) Tail Head (T,H) Tail BACK (T,T) Tail

Figure 4.3 Tree diagram for the KP&L project Experimental outcome (sample point) Step 1 design Step 2 construction Total project completion time 6 mo. (2,6) 8 months 7 mo. (2,6) 8 months 2 mo. 8 mo. (2,6) 8 months 6 mo. (2,6) 8 months 3 mo. 7 mo. (2,6) 8 months 8 months 8 mo. (2,6) 6 mo. (2,6) 8 months 4 mo. Tail 7 mo. (2,6) 8 months (2,6) 8 months 8 mo.

Number of days outcome occurred Number waiting 教材 P.147 A clerk recorded the number of patients waiting for service at 9:00 on 20 successive days, and obtained the following results. A.M. Number of days outcome occurred 2 5 6 4 3 20 Number waiting 1 2 3 4 BACK Total

Table 4.2 Completion results for 40 KP&L projects Completion time (months) Number of past projects having these completion times Satge 2 Construction 6 7 8 Sample point Satge 1 Design 2 3 4 (2,6) (2,7) (2,8) (3,6) (3,7) (3,8) (4,6) (4,7) (4,8) 6 2 4 8 40 Total BACK

教材 P.149 Table 4.3 Probability assignments for the KP&L project based on the relative frequency method project completion time probability of sample point sample point (2,6) (2,7) (2,8) (3,6) (3,7) (3,8) (4,6) (4,7) (4,8) 8 months 9 months 10 months 11 months 12 months P(2,6)=6/40=.15 P(2,7)=6/40=.15 P(2,8)=2/40=.05 P(3,6)=4/40=.10 P(3,7)=8/40=.20 P(3,8)=2/40=.05 P(4,6)=2/40=.05 P(4,7)=4/40=.10 P(4,8)=6/40=.15 Total 1.00 BACK

Figure 4.4 complement of event A is shaded Sample space S Event A C Complement of event A BACK

Figure 4.5 Union of events A and B is shaded 教材 P.157 Sample space S Event A Event B BACK

Figure 4.6 Intersection of events A and B is shaded 教材 P.157 Sample space S Event A Event B BACK

Figure 4.7 Mutually exclusive events 教材 P.159 Sample space S Event A Event B BACK

4.4 Conditional Probability Situation: promotion status of male and female officers of a major Metropolitan police force in the eastern United State The police force consists of 1200 officers, 960 men and 240 women. Over the past two years, 324 officers on the police force received promotions. The specific breakdown of promotions for male and female officers is shown in Table 4.4.

M =event an officer is a man W=event an officer is a woman 教材 P.162 M =event an officer is a man W=event an officer is a woman A = event an officer is promoted A =event an officer is not promoted c

P(M∩A)=288/1200=.24=Probability that a randomly selected officer is a man and is promoted P(M∩A )=672/1200=.56=Probability that a randomly selected officer is a man and is not promoted P(W∩A)=36/1200=.03=Probability that a randomly selected officer is a woman and is promoted P(W∩A)=204/1200=.17=Probability that a randomly selected officer is a woman and is not promoted c

Table 4.4 promotion status of police officers over the past two years Men Women Totals Promoted 288 36 324 Not promoted 672 204 876 Totals 960 240 1200

Table 4.5 Joint probability table for promotions Joint probabilities appear in body of the table. Men (M) Women (W) Totals Promoted (A) .24 .03 .27 c Not promoted (A ) .56 .17 .73 Totals .80 .20 1.00 Marginal probabilities appear in margins of the table. BACK

Figure 4.8 Conditional probability P( A | B) =P(A∩B) / P( B) Event A∩B Event A Event B BACK

P(S ∩ D) =P(D) P(S | D)=.84(.75)=.63 84% of the households in a particular neighborhood subscribes to the daily edition of the paper Let D denote the event that a household subscribes to the daily edition, P(D)=.84. The probability that a household that already holds a daily subscription also subscribes to the Sunday edition( event S) is .75. P(S | D) =.75 P(S ∩ D) =P(D) P(S | D)=.84(.75)=.63 BACK

Figure 4.9 Probability revision using Bayes’ theorem Prior Probabilities New Information Application Of Bayes’ theorem Posterior Probabilities

Table 4.6 Historical quality levels of two suppliers percentage good parts 98 95 percentage bad parts 2 5 Supplier 1 Supplier 2

Figure 4.10 Tree diagram for two-supplier example Step 1 supplier Step 2 condition Experimental outcome (A1,G) G A1 (A1,B) B (A2,G) G A2 BACK B (A2,B) Note: Step 1 shows that the part comes from one of two suppliers, and Step 2 shows whether the part is good or bad.

Figure 4.11 Probability tree for two-supplier example Step 1 supplier Step 2 condition Probability of outcome P(G|A1) .98 P(A1∩G)=P(A1)P(G|A1)=.6370 P(A1) .65 P(A1∩B)= P(A1) P(B|A1)=.0130 P(B|A1) .02 P(G|A2) .95 P(A2) .35 P(A2∩G)= P(A2) P(G|A2)=.3325 P(B|A2) .05 P(A2∩B)= P(A2) P(B|A2)=.0175 BACK

教材 P.173 Table 4.7 Tabular approach to Bayes’ theorem calculations for the two-supplier problem (1) Events Ai A1 A2 (2) Prior Probabilities P(Ai) .65 .35 1.00 (3) Conditional Probabilities P(B|Ai) .02 .05 (4) Joint Probabilities P(Ai∩B) .0130 .0175 .0305 (5) Posterior Probabilities P(Ai|B) .0130/.305=.4262 .0175/.305=.5738 P(B)= 1.0000 BACK

實驗結果 BACK 多重步驟實驗 組合 排列 台灣樂透彩 擲兩個硬幣（2*2） 表4.1 練習題 圖4.2 樹狀圖 計數 法則 差異在抽取順序 排列 n!是否考慮 公式 公式 K 公式 個步驟 如 應用 如 台灣樂透彩 擲兩個硬幣（2*2） 表4.1 呈現 方式 BACK 如 練習題 圖4.2 樹狀圖

古典法 適用試驗結果同等出現 機率等於 該事件包含樣本除以所有樣本點數 如骰子出現機率 BACK

相對次數法 適用重複實驗 估計發生次數比例 範例 表4.2 表4.3 BACK

主觀法 無相對次數資料 適用 實驗結果不等出現 可用資料 運用 經驗 BACK 直覺

條件機率 決策分析 運用了 常用在 新資訊 機率 主觀 先驗機率 貝氏定理 導出 加入 運用 事後機率 估計 公式 BACK

事件(event) 圖4.4 表4.3 圖4.7 192頁 BACK 事件機率 相依事件 互斥事件 事件的餘集 10個月內完成機率 練習題 事件中各樣本點 事件A和B共同出現 的樣本點集合稱為 事件A或B或兩者皆 有的樣本點集合稱為 兩事件無共同樣本點 出現機率的總和稱為 稱為 不包含事件之 事件機率 稱為 樣本點所成集合 必是 相依事件 互斥事件 事件的餘集 機率 表示 如 10個月內完成機率 公式 機率關係 亦可 表示 如 參考 圖4.4 如 表4.3 圖4.7 例子 192頁 練習題 BACK

輪盤是一種普遍的賭場遊戲。假設你在拉斯維加斯或亞特蘭 大玩這○遊戲，輪盤上有三十六個數字，1至36，加上數字 0及數字00(雙重0)。賭一個數字，你贏的機率是多少? BACK

為了經濟現代化，東歐國家推行一百項新的電腦及電信發展 計劃。美國電腦巨人IBM及AT&T分別與這些國家簽約：IBM 有四十個是電信，二十個是電腦方面的計劃。已知某項隨機選 出的計劃是屬於電信方面的計劃，則該計劃與IBM簽約的機率 是多少? 一百項計劃 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 電信：T 電腦：C

某家顧問公司投標兩項工作，分別來自兩家大型跨國公司。 該公司經理估計標得Ａ公司工作（事件Ａ）的機率是0.45， 同時如果公司取得A公司的工作，那麼B公司願意與他們簽約 的機率是0.90。請問該公司同時標得兩項工作的機率是多少?

某大型廣告公司21%的經理人屬於高薪階段，且該公司40%的 經理人是女性，6.4%的經理人既是女性又屬於高薪階級。最近 經理人之間討論著是否有任何薪水不公的證據。假設情況滿足 某些統計考量(以後會加以介紹)，前面所提的各項比例，是否 支持薪水不公? BACK

看到某些商品電視廣告的機率是0.04，而看到同一項商品看板 廣告的機率是0.06。假設這兩個事件「觀看電視廣告」及「觀 看看板廣告」彼此獨立。(甲)同時目到看到電視廣告及看板廣告 的機率是多少?(乙)至少看到一種廣告的機率是多少? BACK

閱讀以下的文章。三個發展國家的懷孕女人中(假設是隨機樣本) ，至少有一個死亡的機率是多少? 貧窮國家婦女面臨嚴重健康威脅 在工業開發國家，女人因生育而死已的機率是1.687 分之1。但在未開發國家中，該數值為51分之1。世界銀 行也表示，每年有七百萬新生兒在出生後一週內，因母親 的健康問題而死亡。世界銀行與聯合國正展開減少產婦疾 病與死亡的計劃。 BACK

市調公司想訪問符合某些條件的顧客使用某項產品的意見。 已知該區域有10%的民眾使用該項產品，因此這群人有資格 接受訪問。公司從這個區域隨機選出十位民眾。十個人裡頭 至少有一個有資個訪問的機率是多少?

某所大學的行政人員與教員開了一次會，共同討論許多重要 的議題。共有八人應邀與會，有兩位是教員，且兩位同時缺 席。假設有兩位應邀者缺席，剛好兩位都是教員的機率是多 少?

分析師相信如果經濟好轉，明年股市上揚的機率是0.75，但如 果經濟沒有好轉，股市上提的機率是0.30。分析師並相信明年 經濟好轉的機率是0.80。那麼明年股市上揚的機率是多少?

考慮某種疾病的檢驗方法，這項檢驗有兩件事是確定的： 1.若某人真的得病，此項檢驗結果顯示得病的機率是0.92。 2.若某人不是真的得病，此項檢驗結果誤以為得病的機率是 0.04。 假設此疾病是一種罕見的疾病，且已知整個母體的感染率只有0.1 %(0.001)。假如從母體中隨機選出一位民眾接受檢驗，且得知結 果是「受到感染」，請問這位民眾得病的後驗機率(得知檢驗結果 後，該民眾確實得病的機率)是多少?