第三节 实对称矩阵的对角化 一、方阵对角化的条件 二、实对称矩阵的对角化 三、小结与思考 2019/4/6

一、方阵对角化的条件 性质 单位阵、数量阵的相似阵只有其自己。 即 定理5.3（方阵A相似于对角阵 的条件） 2019/4/6 一、方阵对角化的条件 注意：此时还是一般方阵。 性质 单位阵、数量阵的相似阵只有其自己。 即 定理5.3（方阵A相似于对角阵 的条件） n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 注 任意非数量矩阵A不可能与数量阵、单 位阵相似,但可以考虑是否会与较简单的对角 阵相似。 2019/4/6

证明 2019/4/6

定理5.3说明若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化；且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值。 2019/4/6 注 定理5.3说明若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化；且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值。 推论 若A有n个互异的特征值，A可对角化。 2019/4/6

矩阵A关于k重特征值 的无关向量最多有k个 定理5.4 矩阵A关于k重特征值 的无关向量最多有k个 注 定理5.4说明矩阵A的单特征根对应一个 无关特征向量;A的k重特征根对应的无关特征 向量不会超过k个。 2019/4/6

定理 5.5 若 是n阶矩阵A的 个互异特 征值， 为 关于 的无关特征 向量则 线性无关。 得到可对角化的充分条件。总结充分条件。 2019/4/6 定理 5.5 若 是n阶矩阵A的 个互异特 征值， 为 关于 的无关特征 向量则 线性无关。 得到可对角化的充分条件。总结充分条件。 （证明略） 2019/4/6

2019/4/6 将 对角化． 例 解 A的全部特征值为 对应的特征向量为 因为有两个不同值，故A可对角化。 2019/4/6

2019/4/6 令 则 对角阵的主对角线元素是特征值4，2。 2019/4/6

2019/4/6 将方阵 对角化。 例 的特征值为 解 A关于 的特征向量为 2019/4/6

2019/4/6 A关于 的特征向量为 A关于特征值的线性无关特征向量恰好有三个，故A可对角化。 2019/4/6

令 则 2019/4/6

2019/4/6 判断方阵 是否可对角化。 例 解 的特征值为 2019/4/6

A关于特征值的线性无关特征向量只有两个，故不能对角化。 的特征向量为 A关于 的特征向量为 A关于特征值的线性无关特征向量只有两个，故不能对角化。 2019/4/6

2019/4/6 例 （2）求Ｐ使 设 (1)求 和 。 2019/4/6

解 （1） 2019/4/6

A,B共同的特征值-1，2，-2。A的对应于-1，2，-2的特征值向量为 2019/4/6 （2）由（1）知， A,B共同的特征值-1，2，-2。A的对应于-1，2，-2的特征值向量为 2019/4/6

则 使得 2019/4/6

2019/4/6 例 求 。 设 的特征值为 对应的 特征向量分别为 2019/4/6

解 设 则 且有 2019/4/6

2019/4/6 2019/4/6

二、实对称矩阵的对角化 定理5.6 实对称矩阵的特征值都是实数。 推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量。 定理5.7 2019/4/6 二、实对称矩阵的对角化 定理5.6 实对称矩阵的特征值都是实数。 推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量。 定理5.7 若 是实对称矩阵A的k重特征值,则对应的线性无关的特征向量恰好有k个. 推论 实对称矩阵必可对角化。 2019/4/6

若A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T，使得 2019/4/6 定理5.8 实对称矩阵A的对应于互异特征值的特征 向量必正交。 定理5.9 若A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T，使得 其中 为A的特征值。 2019/4/6

2019/4/6 用正交矩阵将实对称矩阵A对角化。 例 2019/4/6

2019/4/6 解 A的特征多项式为 故A的特征值为 2019/4/6

2019/4/6 对于 基础解系 2019/4/6

2019/4/6 对于 基础解系 2019/4/6

2019/4/6 对于 基础解系 2019/4/6

2019/4/6 特征向量 分别属于不同的特征值 故 正交。 将其单元化 ，得 2019/4/6

2019/4/6 令 则 2019/4/6

此处正交矩阵T不唯一；若不考虑主对角线元素顺序，则对角化后的对角阵是唯一的。 2019/4/6 注 此处正交矩阵T不唯一；若不考虑主对角线元素顺序，则对角化后的对角阵是唯一的。 2019/4/6

三、小结与思考 1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 1.　对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化． 2019/4/6

思考题 2019/4/6

思考题解答 2019/4/6