2-3 數學歸納法 歸納法 歸納臆測 數學歸納法
2-3 數學歸納法 歸納法 歸納法是人類認識自然、研究自然的一種古老方法。 1.自然現象 向上扔一塊石子，石子會掉下來；扔一個球，球也會掉下來；跳高選手用力往上一躍，不管跳得多高，仍會掉下來；牛頓在果樹下沉思，看到蘋果掉落地面…，由種種物體落地的經驗可以歸納出： 任何物體往上拋擲，都會落下地面。 後來才瞭解這是物體受地心引力的作用。 2-3 數學歸納法 01
2除外，4＝2＋2 ； 6＝3＋3； 8＝3＋5 ； 10＝3＋7＝5＋5 12＝5＋7 ； 14＝3＋11＝7＋7 16＝5＋11 … 歸納法 2.偶數拆解成兩個質數和 2除外，4＝2＋2 ； 6＝3＋3； 8＝3＋5 ； 10＝3＋7＝5＋5 12＝5＋7 ； 14＝3＋11＝7＋7 16＝5＋11 … 由此歸納出： 哥德巴赫猜想 任何大於2的偶數，都是兩個質數的和。 2-3 數學歸納法 02
歸納法 解： 2-3 數學歸納法 03
歸納法 3.費瑪猜想 法國數學家費瑪( P. de Fermat 1601～ 1665 )曾考慮下面的數列 Fn＝( 2 )2 ＋1。 當n＝1，2，3，4時，前四項分別為 F1＝5，F2＝17，F3＝257，F4＝65537 都是質數，因而歸納出下面的猜想： ＜Fn＞的各項都是質數。 n 大約過了一百餘年，瑞士數學家尤拉 ( L. Euler 1707～1783 )才發現第五項 a5＝232＋1＝4294967297＝641×6700417 可被641整除，所以a5不是質數。 2-3 數學歸納法 04
歸納法 2-3 數學歸納法 05
歸納法 解： 2-3 數學歸納法 06
歸納推理得出的“結論”不一定正確！仍須加以“驗證”。 歸納法 歸納推理得出的“結論”不一定正確！仍須加以“驗證”。 2-3 數學歸納法 07
歸納臆測 歸納臆測能提供“發現”真理的契機 歸納法是人類探索宇宙常用的一種方法。透過觀察(記錄、比對)歸納出結論，並在這個結論上進一步提出概括性的敘述，形成“臆測”(或稱猜想)，這種歸納臆測的方法往往提供發現真理的契機，故 觀察 → 歸納 → 臆測 → 驗證 始終是人類發現問題、解決問題的一個重要過程。 2-3 數學歸納法 08
歸納臆測 解： 2-3 數學歸納法 09
歸納臆測 2-3 數學歸納法 10
歸納臆測 解： 2-3 數學歸納法 11
歸納臆測 解： 2-3 數學歸納法 12
數學歸納法 數學歸納法是透過 觀察 → 歸納 → 臆測 → 證明 等步驟來處理涉及無限多正整數n之問題的一種有效的方法。 數學歸納法的內涵 觀察 → 歸納 → 臆測 → 證明 等步驟來處理涉及無限多正整數n之問題的一種有效的方法。 數學歸納法的內涵 先從簡單的事例中歸納出規律來，再去證明規律的一般性。 2-3 數學歸納法 13
數學歸納法 解： 2-3 數學歸納法 14
(2) 假設P (k)成立，在這個基礎上去推導出 P (k＋1)也成立。 通過(1)，(2)兩個步驟，就得出P (n)對全體自然數n都成立。 數學歸納法 用數學歸納法證明問題的關鍵步驟 上面的證法，有兩個最關鍵的步驟： (1) 驗算n＝1時，P (1)成立。 (2) 假設P (k)成立，在這個基礎上去推導出 P (k＋1)也成立。 通過(1)，(2)兩個步驟，就得出P (n)對全體自然數n都成立。 第(2)步驟：假設P (k)成立，去推導P (k＋1)成立像不像骨牌效應？請讀者細細去體悟利用“P (k)成立去推倒P (k＋1)亦成立”來處理無限的神妙。 2-3 數學歸納法 15
這裡必須強調一下，數學歸納法中證明的兩個步驟： (1) 驗算n＝n0時，P (n0)成立。 (2) 假設P (k)成立，去推導P (k＋1)也成立( k n0 )。 缺一不可！步驟(1)稱為起始步驟，步驟(2)稱為遞推步驟，而(2)中的假設P (k)成立稱為歸納假設。 2-3 數學歸納法 16
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 17
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 18
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 19
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 20
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 21
數學歸納法 證明： 2-3 數學歸納法 22
數學歸納法 解： 2-3 數學歸納法 23