第一章 半导体中的电子状态 本章主要讨论: 定性介绍能带理论，利用Schrodinger方程 和Kroning-Penney模型近似推导关于半导体 中电子的状态和能带特点。 阐述本征半导体的导电机构，引入了空穴的概念。 最后简单介绍几种半导体材料的能带结构。 重点和难点： 半导体硅、锗的晶体结构（金刚石结构）及其特点 半导体的闪锌矿结构及其特点 本征半导体及其导电结构、空穴

§1.1 半导体的晶格结构和结合性质 晶体结构 化学键 Si，Ge 金刚石型 共价键 GaAs 闪锌矿型 混合键 (共价键 + 离子键） 晶体结构 化学键 Si，Ge 金刚石型 共价键 GaAs 闪锌矿型 混合键 (共价键 + 离子键） 能带结构决定材料的性质

1.1.1 金刚石型结构和共价键 现代电子学中，重要的半导体材料：硅 和 锗，它们的最外层电子（价电子）都是四个，它们组合成晶体靠共价键结合。 Ge Si

硅和锗的共价键结构 共价键共 用电子对 +4 +4表示除去价电子后的原子 形成共价键后，每个原子的最外层电子是八个，构成稳定结构。

+4 共价键有很强的结合力，使原子规则排列，形成晶体。 共价键中的两个电子被紧紧束缚在共价键中，称为束缚电子，常温下束缚电子很难脱离共价键成为自由电子，因此本征半导体中的自由电子很少，所以本征半导体的导电能力很弱。

在硅和锗晶体中，原子按四角形系统组成晶体点阵，每个原子都处在正四面体的中心，而四个其它原子位于四面体的顶点，每个原子与其相临的原子之间形成共价键，共用一对价电子。 硅和锗的晶体结构

可看成是两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线互相位移了1/4的空间对角线长度套构而成的 将许多正四面体累积起来就得到金刚石结构 金刚石型结构的晶胞 可看成是两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线互相位移了1/4的空间对角线长度套构而成的

硅、锗基本物理参数 晶格常数 原子密度 共价半径 硅：5.43089埃 锗：5.65754nm埃 硅：5.00×1022/cm-3 数量级

1.1.2 闪锌矿型结构和混合键 材料： Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体材料以及部分 Ⅱ-Ⅵ族化合物 如 GaAs, InP, AlAs ····· 化学键：共价键具有一定的极性（两类原子的 电负性不同） 共价键+离子键 晶胞特点：两类原子各自组成面心立方晶格， 沿空间对角线方向彼此位移1/4空 间对角线长度套构而成

闪锌矿型结构的晶胞

1.1.3纤锌矿型结构 材料：ZnS, ZnSe，CdS 相同点： 以正四面体结构为基础构成 区别： 与闪锌矿型结构相比 具有六方对称性，而非立方对称性 共价键的离子性更强

纤锌矿型结构晶胞图 属于纤锌矿型结构的晶体有：BeO、ZnO、AIN等

1.2 半导体中的电子状态和能带 1.2.1 原子的能级和晶体的能带 重点： 电子的共有化运动 原子能级分裂以及能带的形成 导带、价带与禁带

一、电子的共有化运动 孤立原子：1s, 2s, 2p,3s, 3p, · · · 等电子壳层 晶体：不同原子的内外各电子壳层出现交叠，电子可由一个原子转移到相邻的原子，因此，电子可以在整个晶体中运动，称为电子的共有化运动

二、原子能级分裂以及能带的形成

内层原子受到的束缚强，共有化运动弱， 能级分裂小，能带窄；外层原子受束缚弱， 分裂的每一个能带称为允带 允带之间无能级称为禁带 内层原子受到的束缚强，共有化运动弱， 能级分裂小，能带窄；外层原子受束缚弱， 共有化运动强，能级分裂明显，能带宽。

以金刚石结构单晶硅材料为例 能级sp3杂化后，硅原子最外层有四个能量状态；若晶体中有N个原子，能级分裂后形成两个能带，各包含2N个状态。

2学时

半导体（硅、锗）能带的特点： 存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带 低温下，价带填满电子，导带全空，升温或光照下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。 导带与价带间的能隙（Energy gap）称为禁带（forbidden band）.禁带宽度取决于晶体种类、晶体结构及温度。 当原子数很大时，导带、价带内能级密度很大，可以认为能级准连续

能带产生的原因： 定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用（电子共有化运动），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。

能带（energy band）包括允带和禁带。 允带（allowed band）：允许电子能量存 在的能量范围。 禁带（forbidden band）：不允许电子存 允带又分为空带、满带、导带、价带。 空带（empty band）：不被电子占据的允带。 满带（filled band）：允带中的能量状态（能 级）均被电子占据。 导带（conduction band）：电子未占满的允带 （有部分电子。） 价带（valence band）:被价电子占据的允带 （低温下通常被价电子占满）。

共价键理论 共价键理论主要有三点： 晶体的化学键是共价键，如 Si，Ge。 共价键上的电子处于束缚态，不能参与导电。 处于束缚态的价电子从外界得到能量， 有可能挣脱束缚成为自由电子，参与导电。

能带理论与共价键理论的对应关系 能带理论 共价键理论 价带中电子 共价键上的电子 导带中电子 挣脱共价键的电子 能带理论 共价键理论 价带中电子 共价键上的电子 导带中电子 挣脱共价键的电子 禁带宽度 脱离共价键所需的最小能量 定量理论 定性理论

1.2.2 半导体中电子的状态和能带 重点 E(k)～k关系 波函数：描述微观粒子（如电子）的运动 薛定谔方程：揭示粒子运动的基本规律

（1）自由电子的E与k关系 一维恒定势场的自由电子，遵守薛定谔方程： V=0时， 方程解为： 其中，Ψ(x)为自由电子波函数，k为波矢。上式代表一个沿x方向传播的平面波。 由粒子性和德布罗意关系p=hk, E=hv，可得

自由电子的E与k成抛物线关系

（2）晶体中电子的E与k关系 1. 晶体中薛定谔方程及其解的形式 晶体中的势场是一个与晶格同周期的周期性函数 布洛赫定理指出此方程具有下列形式的解： Uk(x)随x作周期性变化

自由电子： 即自由电子在空间作等几率运动，自由运动 而晶体中电子 说明晶体中电子的出现的几率是周期性变化的，不同的k说明了不同的共有化运动。

2. 布里渊区与能带 求解 可得到晶体中电子的E(k)-k关系

虚线：自由电子的E(k)-k关系

布里渊区特征： 形成一系列相间的允带和禁带，其中 第一布里渊区： -1/2a < k < 1/2a （1）k=n/2a(n=±1，±2···)时，能量不连续， 形成一系列相间的允带和禁带，其中 第一布里渊区： -1/2a < k < 1/2a 第二布里渊区： -1/a < k < -1/2a，（2）E(k)=E(k+n/a), E(k)是k的周期性函数， 周期为k； （3）禁带出现在k=n/2a处； （4）每一个布里渊区对应一个能带

E(k)-k的对应意义： 1）每一个k对应一个能量状态(能级） 2）每个能带有N个能级，而每个能级可以容纳自旋方向相反的两个电子，因此，每个能带可以容纳2N个电子。

1.2.3 导体、半导体、绝缘体的能带 能带理论认为：电子能够导电是因为在外力作用下电子的能量状态发生了变化 1.2.3 导体、半导体、绝缘体的能带 能带理论认为：电子能够导电是因为在外力作用下电子的能量状态发生了变化 满带：存在外电场E时，满带中所有电子均以dk/dt=-qE/h逆电场方向运动 ，但A和a点状态完全相同， 满带电子不参与导电。

半满带：在外电场作用下，电子吸收能量跃迁到未被电子占据的能级上，能量改变，能参与导电

价带电子导电等效为带正电的准粒子，即空穴导电 半导体的能带 空穴：带正电荷的准粒子 价带电子导电等效为带正电的准粒子，即空穴导电

Eg(禁带宽度): 脱离共价键所需的最低能量 Ev(价带顶)：是价带电子的最高能量 Ec(导带底)：导带电子的最低能量 本征激发：温度一定时，价带电子激发成为导带电子的过程 ∴ Eg=EC-EV

绝缘体、半导体和导体能带示意图 导带 价带 禁带 半满带 绝缘体 半导体 导体

金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是部分占满的，所以金属是良好的导电体 半导体和绝缘体的能带类似，即下面是已被价电子占满的满带（其下面还有为内层电子占满的若干满带），亦称价带，中间为禁带，上面是空带。 半导体中导带的电子和价带的空穴参与导电，这是与金属导体的最大差别。 绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大的能量，在通常温度下，能激发到导带中的电子很少，所以导电性很差。

绝缘体、半导体和导体区别 绝缘体：禁带宽度很大，激发电子需要很大 能量，通常温度下，很少电子能够被 激发到导带 半导体：电子、空穴参与导电 两种载流子使半导体表现出许多奇异 的特性，用来制造形形色色的器件 导体：电子参与导电

1.电子能带结构由它们所在的势场决定，与组成晶体的原子结构与晶体结构（ ），与晶体中原子数目的多少（ ）。 A.有关 B.无关 2.处于低能级的内壳层电子共有化运动( ) ，所以能级分裂( ) ，能带较( )；处于高能级的外壳层电子共有化运动( ) ，能级分裂( ) ，因而能带较宽。 弱，强，大，小，窄,宽

1.3 半导体中电子的运动 有效质量 1.3.1 半导体中E(k)与k的关系 半导体中，起作用的是接近于能带底部或能带顶部的电子。 1.3 半导体中电子的运动 有效质量 1.3.1 半导体中E(k)与k的关系 半导体中，起作用的是接近于能带底部或能带顶部的电子。 将E(k)在k=0附近按泰勒级数展开 K值很小，所以(dE/dk)k=0=0 EC:导带极小值

对确定的半导体，(d2E/dk2)k=0是定值，令 得到 mn*: 能带底电子的有效质量 E（k）＞Ec mn*＞0 与自由电子的E(k)-k关系相似

同理，设价带极大值EV 令 可得 mn*: 价带顶电子有效质量 而价带顶附近 E(k)<EV , mn*<0

mn*：可利用回旋共振实验测出 ∴ 导带底和价带顶附近E(k)与k的关系能够确定

1.3.2 半导体中电子的平均速度 电子的运动可以看成波包的运动，波包的群速即电子运动的平均速度。 讨论： 导带底： mn*＞0，K为“+”时，V也为正值 价带顶： mn*<0， K为“+”时，V为负值

1.3.3 半导体中电子的加速度 在外力作用下，半导体中电子的加速度为：

1.3.4 有效质量的意义 F为外力 F=mn*a 电子所受真实合力为：外力+原子核势场和其它电子势场力 而根据

有效质量的特点 (1)有效质量的正负与位置有关。 能带顶部附近，有效质量为负；能带顶部附近，有效质量为正。 (2)有效质量的大小由共有化运动的强弱有关。 能带越窄，二次微商越小，有效质量越大（内层电子的有效质量大）；能带越宽，二次微商越大；有效质量越小（外层电子的有效质量小）。

（3）有效质量与惯性质量不同，存在类比关系 （4）有效质量概括了半导体内部势场的作用， 使得在解决半导体中电子在外力作用下的 运动规律时，可以不涉及到半导体内部势 场的作用。 （5）可以直接由实验测定，因而可以很方便地 解决电子的运动规律.

1.E~k曲线表示了两种可能导带结构，说明其中 哪一种对应电子有效质量较大。为什么？

2.电子的有效质量变为∞的物理意义是什么? 从能量的角度讨论. 电子能量的变化 从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量变为∞. 此时电子的加速度 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.

应用题 已知一维晶体的电子能带可写为 式中，a为晶格常数。试求： （1）能带的宽度； （2）电子的波矢k状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

解答：由E(k)关系得： 令 ，得： 所以 （1） （2）

当 时，代入式（2）得 对应E(k)的极小值。 当 时，代入式（2）得 对应E(k)极大值

根据上述结果，求得Emin和Emax即可求得能带宽度。 因为 将 代入得

将 代入得 故：能带宽度 （2）

（3）

1.4 半导体的导电机理 导电条件：有外加电压、有载流子 载流子：晶体中荷载电流（或传导电流）的粒子 载流子产生途径：升温、光照等等 导电机构：电子导电、空穴导电 本征(intrinsic)半导体：不含任何杂质的半导体

空穴的概念 在牛顿第二定律(a=F/mn*)中要求有效质量为 正值，但价带顶电子的有效质量为负值。为了 解决这一问题，引入空穴的概念。 价带中不被电子占据的空状态 价带顶附近空穴有效质量 >0 数值上与该处的电子有效质量相同，即 mp*＝－mn* ，空穴带电荷＋q（共价键上少 一个电子，破坏局部电中性，显正电）。 空穴的能量坐标与电子的相反，分布服从能 量最小原理。

载流子、自由电子和空穴 在绝对0度（T=0K）和没有外界激发时,价电子完全被共价键束缚着，本征半导体中没有可以运动的带电粒子（即载流子），它的导电能力为 0，相当于绝缘体。 在常温下，由于热激发，使一些价电子获得足够的能量而脱离共价键的束缚，成为自由电子，同时共价键上留下一个空位，称为空穴。

绝对温度为零时 共价键共 用电子对 +4 +4表示除去价电子后的原子

热激发后 +4 空穴 自由电子 束缚电子

两种情况下的能带图

如何理解空穴导电？ 设价带有电子跃迁到导带。设电子电流密度为J，则 J＝价带（k状态空出）电子总电流 设想以一个电子填充到空的k状态， k状态电子电流＝（-q）v（k） v(k): k状态电子的运动速度

填入这个电子后，价带又被填满，总电流应为零，即 J＋（-q）v（k）＝0 J＝（＋q）v（k） 这就是说，当价带k状态空出时，价带电子的总电流，就如同一个正电荷的粒子以k状态电子速度v（k）运动时所产生的电流。

引入空穴的意义 （1）空穴具有正的有效质量 （2）空穴具有正电荷+q，价带导电I=(+q)v(ke) （3）空穴的速度与导带电子方向相反。 把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来。 半导体中有电子和空穴两种载流子，而金属中只有电子一种载流子 （1）空穴具有正的有效质量 （2）空穴具有正电荷+q，价带导电I=(+q)v(ke) （3）空穴的速度与导带电子方向相反。 （4） 价带中缺少一个电子，就失 去了这个电子能量Ee(ke),相当于在全满价带 中加入一个空穴，其能量为Eh(kh)，使价带减 少Ee(ke)的能量 (5) 价带中缺少一个电子，空出ke状态， 相当于在价带中加入一个空穴设其状态为kh表 示，加入一个kh相当于加入一个-ke状态到价带。

1 在一个电子能带图中，较高能量状态中的电子具有较大的能量；而对于空穴的能量是由上到下（ ）。 A.递减； B.递增；C.不变 2 与半导体相比较，绝缘体的价带电子激发到导带所需的能量（ ） A. 比半导体的大 B. 比半导体的小 C. 与半导体的相等

1.5 回旋共振 1.5.1 k空间等能面 实验目的：测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方法推出半导体的能带结构 k空间等能面为k空间能量相同的各k值点所构成的曲面

设k空间的三个基矢为 ,则波矢表示为 简单情况下

当E(k)为确定值时，(kx,ky,kz)构成一个封闭的曲面 是一个半径为 的球面。在这个面上能值相等

更一般的情况下 1）对于各向异性的晶体，E(k)与k的关系沿不同k 方向不一定相同,不同k方向,电子有效质量不同 2）能带极值不一定位于k＝0处 设极值点出现在 处， 令 分别表示沿 三个方向的导带底的电子有效质量（对空穴也一样）

上式代表的是一个椭球等能面，等能面上的一个波矢k代表一个电子状态，对应一个能量E(k) 其中

1.5.2 回旋共振 1.晶体中电子在磁场作用下运动 半导体样品置于均匀恒定磁场 运动轨迹为螺旋线，圆周半径为r，回旋频率为

2.回旋共振实验 实验目的 测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方法推出半导体的能带结构 实验原理 固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现象。磁感应强度约为零点几T

等能面的形状与有效质量密切相关 球形等能面 有效质量各向同性，即只有一个有效质量 椭球等能面 有效质量各向异性， 在不同的波矢方向对应不同的有效质量

等能面为球面 半导体样品置于均匀恒定磁场中， 回旋频率为 以电磁波通过半导体样品，交变电场频率等于回旋频率时，发生共振吸收 测出频率和电磁感应强度便可得到mn*

等能面为椭球（有效质量各向异性） 电子受力 电子运动方程

电子做周期性运动，取试解 代入前式得

要使 有异于零的解， 系数行列式必须为零，即： 回旋频率为 式中

为能观测出明显的共振吸收峰，就要求样品纯度要高，而且实验一般在低温下进行，交变电磁场的频率在微波甚至在红外光的范围。实验中常是固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现象。磁感应强度约为零点几T。 当交变电磁场频率ω与ωc相同时， 就得到共振吸收

1.6 Si导带结构的回旋共振结果 1)若B沿[111]方向，只有一个吸收峰 2)若B沿[110]方向，有2个吸收峰 3)若B沿[100]方向，有2个吸收峰 4)若B沿任意方向，有3吸收峰

根据以上结果,可以假设: 1)导带最小值不在k空间原点,在[100]方向上,即是沿[100]方向的旋转椭球面 2)根据硅晶体立方对称性的要求, 也必有同样的能量在 方向上 3)如图l-22所示,共有六个旋转椭球等 能面,电子主要分布在这些极值附近

设 是第S个极值所对应的波矢，S＝1、2、…、6，极值处能级为Ec，则

设k3轴沿[001]方向，k1,k2轴位于(001)面内，互相垂直，这时沿k1,k2轴有效质量相同 设 , ,则等能量方程为 以沿[001]方向的旋转椭球为例： 设k3轴沿[001]方向，k1,k2轴位于(001)面内，互相垂直，这时沿k1,k2轴有效质量相同 设 , ,则等能量方程为

选取k1使磁感应强度B位于k1轴和k3轴所组成的平面内，且同k3轴交 角，B的方向余弦 分别为：

由上讨论可得如下结果： (1)磁感应沿[111]方向，则与上述六个<100＞方向的夹角均给出 ，因而 (2)磁感应沿[110]方向，这时磁感应与 的夹角 , 与 的夹角

(3)磁感应沿[100]方向，与 方向 的夹角 ，与 方向的夹角 (4)磁感应沿任意方向时，磁感应与 有三个值,所以可以得到三个吸收峰

Si、Ge、GaAs的能带结构 1.12eV 1.43eV 0.67eV

硅和锗的价带结构的回旋共振结果： 由四个能带所组成，在价带顶附近有三个能带，其能带特点为： 价带顶位于k=0处 价带是简并的，价带顶附近，三度简并， 如计入自旋能带6度简并 由于自旋－轨道耦合作用，能带分裂两组

GaAs具有多能谷 硅、锗、砷化镓禁带宽度是随温度变化的，具有负温度系数 硅：α=4.73×10-4eV/K β=636K

两个基本概念 直接带隙半导体材料：导带最小值(导带底)和满带最大值相应于相同的波矢k0 间接带隙半导体材料：导带最小值(导带底)和满带最大值在k空间中不同位置 Si, Ge: 间接带隙半导体 GaAs：直接带隙半导体

1.10 宽禁带半导体材料 Eg≥2.3eV 宽禁带半导体材料 常见宽禁带半导体材料： SiC, AlN, GaN，金刚石等 性质：禁带宽、热导率高、介电常数低、电子漂移饱和速度高 用途：制作高温、高频、高功率、抗辐照电子器件。还可制作蓝光、绿光、紫外光的发光器件和光探测器件

Ge, Si， GaAs的晶体结构分别是什么？ 并描 述其特点。 2.描述晶体中电子的共有化运动。 晶体形成能带的原因是什么？ 3.半导体的导电机构是什么？ 4.什么是本征激发？ 5.什么是禁带宽度？ 6.描述空穴的概念。 7.有效质量的意义是什么？ 8.描述直接能隙半导体和间接能隙半导体。 Ge,Si和GaAs分别属于那种半导体？ 6学时