习题 一、概率论 1.已知随机事件A，B，C满足 在下列三种情况下，计算 （1）A，B，C相互独立 （2）A，B独立，A，C互不相容
（1）A、B、C独立时
（2）A，B独立，A，C互斥
（3）A B，A，C独立
2.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币（两面均 为国徽,在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次 都得到国徽,问这只硬币是正品的概率为多少？
3.设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
4.设随机变量X的概率分布的密度函数为
1.设随机变量X和Y独立同分布,则X+Y与X-Y必然 （A）不独立 （B）相关系数为0 （C）独立 （D）相关系数不为0 二、数理统计 1.设随机变量X和Y独立同分布,则X+Y与X-Y必然 （A）不独立 （B）相关系数为0 （C）独立 （D）相关系数不为0 解：E(X-Y)=EX-EY=0 E(X-Y)(X+Y)=EX2-EY2=DX+(EX)2-DY-(EY)2=0 Cov(X-Y,X+Y)=E(X-Y) ·(X+Y)-E(X-Y) ·E(X+Y)=0 结论：当X,Y独立同分布时,X-Y，X+Y也相互独立 .选(C)
2.已知X1,X2,…,X32是从正态总体N(0,σ2)抽取的样本,证明：
由若X与Y是两个相互独立的随机变量，则f(X) 与g(Y)也相互独立，其中f(X)与g(Y)是两个函数 由书上P94(1)得
3.已知X1,X2,…,Xn 是来自正态总体N(μ,σ2)的 样本,求P{X1≤a}的最大似然估计量（a已知） 而μ和σ的最大似然估计量分别为 （未知参数的函数的似然估计量是参数的最大似然估计的函数）
4.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的一个 样本，试证：对任一固定的实数a， 的无偏估计，其中 是N(0,1)的分布函数。
5.从正态总体N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本， 为样本修正方差，μ和σ2均未知。
6.已知X,Y相互独立,X～N(20,3),Y～N(20,5),分别从X,Y中取n1=10,n2=25的样本,求
7.设N(μ,σ2)， μ、σ2均为未知参数，设X1,X2,…,Xn 为来自总体的样本，求关于μ的置信度为 的置信 为来自总体的样本，求关于μ的置信度为 的置信 区间的长度L的平方的期望. 则μ的置信度为 的置信区间为
8.设X1,X2,…,Xn+1是来自正态总体N(μ,σ2)的样本
9.设总体X的概率密度为