第一章

第六章 常用分配 第一章

本章綜覽 介紹統計分析中常用的特殊分配，並討論其的性質。 離散分配: 二項分配(binomial distribution) 超幾何分配 (hypergeometric distribution) 波氏分配 (Poisson distribution) 連續分配: 指數分配 (exponential distribution) 常態分配 (normal distribution) 卡方分配 (2 distribution) t 分配 (t distribution) F 分配 (F distribution)

二項分配 白奴里試驗 (Bernoulli experiment)：一個只有兩種出象的隨機試驗。 二項試驗 (binomial experiment) ：一個由 n 個相互獨立且相同的白奴里試驗所組成的隨機試驗。 令 Yi =1 或 0，為對應於這些白奴里試驗的白奴里隨機變數。二項隨機變數即為互相獨立的白奴里隨機變數 Yi 的加總。 例如：投擲相同硬幣 n 次會出現人頭的次數 X ，X 就是具有二項分配的隨機變數。

二項分配 二項隨機變數的機率函數為 當 X 為二項隨機變數且其參數為 n 和 p 時，一般表示為 X~B(n,p)。

二項分配 Excel 函數名稱：BINOMDIST 計算結果：機率與累積機率 . 二項隨機變數的性質：若 X~B(n1,p) 與 Y~B(n2,p) 互相獨立，則 X+Y 仍是二項隨機變數，且 X+Y~B(n1+n2,p)

超幾何分配 假設一個母體中具有特定屬性的物件 (例如黑球) 有 M 個，不具此屬性的物件 (例如白球) 有 N 個。若從此母體中以抽出不放回的方式抽取 n 個樣本，則抽到具有此屬性物件總數為超幾何隨機變數，其分配為超幾何分配。 當抽到具有此屬性的物件 (成功) 時，令白奴里隨機變數 Yi =1，否則令 Yi =0。超幾何隨機變數即為這些相依的白奴里隨機變數的加總:

超幾何分配 超幾何隨機變數的機率函數值為 超幾何隨機變數通常又表示為 X~ HG (M,N,n)。 a 的範圍為 其中 M,N,n 均為參數，M 為具有特殊屬性的物件數， N 為 其他物件數，n 為白奴里隨機試驗的次數。 超幾何隨機變數通常又表示為 X~ HG (M,N,n)。 Excel 函數名稱：HYPGEOMDIST 計算結果：機率

超幾何分配 . 在 M+N 很大時，可將二項分配 (參數 n 與 p =M/(M+N)) 視為超幾何分配的一種逼近 (approximation)。

波氏分配 波氏隨機變數即為特定時段內某事件的發生次數，其分配為波氏分配。 波氏試驗有幾個重要假設： 例如：洗車場的老闆想要知道會有多少車輛在一小時內進入他的洗車場。 波氏試驗有幾個重要假設： 事件發生次數在任兩個不重疊的時段是相互獨立的。 在某一極小時段內，事件只發生一次的機率與該時 段的長度呈某一比例關係。 在某一極小時段內，事件發生次數超過一次的機率值 (相對於相 同時段內只發生一次的機率) 非常小，所以可被忽略。

波氏分配 波氏機率函數為 其中 λ 為大於 0 的參數。 波氏分配隨機變數一般表示為 X~Poisson (λ) 若 X~Poisson (λ), 則 E(X) = var(X)= λ 波氏分配的參數 λ 又可以被解釋為單位時段內某事件的預期發生次數。 波氏分配的均數與變異數相同。

波氏分配 Excel 函數名稱：POISSON 計算結果：機率與累積機率 若兩個互相獨立的波式隨機變數 X 與 Y ，其參 . 即當 n 夠大而 p 夠小時，波氏機率函數即可作為二項機率函數的逼近。

指數分配 指數分配: 描述兩次事件發生之間的等待時間。 令 X 為某一事件 A 前後兩次發生的間隔時間，則對某一時間 t >0, 其中 {X > t} 表示事件 A 前後兩次發生的時間超過 t。 令 Y 代表波氏隨機變數，則 X >t 時，波氏變數 Y 在時段 t 中間為 0， 即 P({X > t})= P({在時段 t 中間 Y=0})=e-λ

指數分配 對波氏隨機變數，其參數 λ 表示時段 t 之內事件 A 發生次數的期望值 (「平均」次數) 。故 t/ λ =β 可以解釋為時段 t 內事件 A 發生的「平均」間隔時間，則 指數分配的機率密度函數:

指數分配 指數分配一般表示為 X~Exp(β)。 若 X~Exp(β), 則 E(X)= β, var(X)= β2 Excel 函數名稱：EXPONDIST 計算結果：機率與累積機率

常態分配 在統計學中，最常被用到的連續分配就是常態分配，又稱為高斯分配 (Gaussian distribution)。 常態分配隨機變數的機率密度函數為 常態隨機變數一般表為 X~N (μ,σ2)。 常態隨機變數的行為可完全由其均數及變異數描述。

常態分配 若 X~N (μ,σ2) , 則 E(X)= μ, var(X)= σ2. 常態機率密度函數為鐘型 (bell shaped)，且對稱於均數。 常態隨機變數的變異數越大，其分配的形式越分散。 常態隨機變數的均數、中位數、與眾數均相同。 常態隨機變數的所有動差都存在。其所有奇數動差皆為 0, 而其所有的偶數動差皆可由第一和第二階動差表示。

常態分配 均數為 0 ，且變異數為 1 的常態隨機變數又稱作標準常態隨機變數 (standard normal random variable)。通常以希臘字母 與其大寫字母 分別表示標準常態隨機變數的機率密度函數與累積分配函數。 Excel 函數名稱：NORMSDIST 計算結果：累積機率 Excel 函數名稱：NORMSINN 計算結果：臨界值

常態分配 若 Z~N (0,1)，其累積分配函數 若 X~N (μ,σ2)，其累積分配函值 , 其中 a’=(a – μ)/ σ， 為標準常態累積分配函數。 對兩個常態隨機變數而言，它們之間為獨立的充份必要條件為其共變異數是 0。

常態分配 .若 Xi ~ N (μi,σi2), i=1,…,n, 且 Xi 之間互相獨立，則對任意非 0 的實數 a1,…,an, a1X1+…+anXn ~ N (a1 μ1+….+anμn, a12 σ12+….+ an2 σn2) n 個互相獨立的常態隨機變數的線性組合仍呈常態分配。

卡方分配 自由度為 1 的卡方隨機變數為標準常態隨機變數的平方: 若 Z~N (0,1)，則 Z2 ~ 2 (1) 。 隨機變數 X 若具有自由度 (degree of freedom) 為 n 的卡方分配，通常表示為 X ~ 2 (n)。 當 Z1,….Zn 為 n 個互相獨立的標準常態隨機變數，則隨機變數 X=Z12+…..+Zn2 ~ 2 (n)。此處自由度表示此變數可由幾個標準常態隨機變數的平方構成。 若 X ~ 2 (n) 與 Y ~ 2 (m) 之間互相獨立，則 X+Y ~ 2 (n+m) 。

卡方分配 2 (n) 隨機變數的均數為其自由度 n，變異數為 2n 。 自由度增加，卡方分配越接近對稱型態。 Excel 函數名稱: CHIDIST 計算結果：累積機率 Excel 函數名稱: CHIINN 計算結果：臨界值

t 分配 當隨機變數 Z ~ N (0,1) 與 Y ~ 2 (n) 為互相獨立的隨機變數， 則 自由度為 n 的 t 分配一般表示為 t (n) 。 t (n) 分配的特點是其動差的存在與否與其自由度有關。 例如： t (1) 分配並無有限均數，該分配又稱為柯西分配 (Cauchy distribution)；只有當 n >1 時，t (n) 才會有均數。 t (2) 分配變異數不存在；只有當 n >2 時，t (n) 才有有限變異數 n/(n – 2)。

t 分配 當 n 趨近於無窮大時，t (n) 的變異數趨近於 1 ，分配趨近於標準常態分配。 Excel 函數名稱: TDIST 計算結果：累積機率 Excel 函數名稱: TINN 計算結果：臨界值

F 分配 當隨機變數 Z ~ 2 (m) 與 Y ~ 2 (n) 為互相獨立的隨機變數，則 其中 m 和 n 分別為分子和分母的自由度。 若 X ~ F (m,n) 時，則 1/ X ~ F (n,m) F 分配的動差是否存在取決於分母的自由度。當 n >2 時， F (m,n) 才會有均數 n/(n – 2)；而當 n > 4 時，F (m,n) 才有變異數 。

F 分配 t (n)2 與 F (1,n)為相同的分配。 Excel 函數名稱: FDIST 計算結果：累積機率 Excel 函數名稱: FINN 計算結果：臨界值