12.3 应用举例 1.某工厂有一笔企业留成利润，要决 定如何使用。 供选择方案： 作奖金，集体福利设 施，引入设备技术 建立如下层次分析模型：

12.3 应用举例 目标层： 准则层C： 方案层P： 合理使用留成利润 A 改善职工 生活条件C3 提高技术 水平C2 调动职工 积极性C1 12.3 应用举例 目标层： 准则层C： 方案层P： 合理使用留成利润 A 改善职工 生活条件C3 提高技术 水平C2 调动职工 积极性C1 引进设备技术P3 福利P2 奖金P1

12.3 应用举例 A-C判断矩阵: A C1 C2 C3 w(2) λmax=3.038 ，归一化特征向量w(2) 12.3 应用举例 A-C判断矩阵: A C1 C2 C3 w(2) C1 1 1/5 1/3 0.105 C2 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.258 λmax=3.038 ，归一化特征向量w(2) C.I.=0.019 ， C.R.=0.03276<0.1 满意的一致性

12.3 应用举例 C1-P: C1 P1 P2 U1(3) P1 1 1/3 0.25 P2 3 1 0.75 λmax=2 C.I.=0

12.3 应用举例 C2-P: λmax=2 C.I.=0 C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 12.3 应用举例 C2-P: C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833 λmax=2 C.I.=0

12.3 应用举例 C3-P: C3 P1 P3 U3(3) λmax=2 C.I.=0 P1 1 2 0.667 12.3 应用举例 C3-P: C3 P1 P3 U3(3) P1 1 2 0.667 P2 1/2 1 0.333 λmax=2 C.I.=0

12.3 应用举例 0.25 0 0.667 得到P3优于P2又优于P1，从分配上可以 用53.1%来引进新设备、新技术； 12.3 应用举例 0.25 0 0.667 U(3)= 0.75 0.167 0.333 0 0.833 0 w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T 得到P3优于P2又优于P1，从分配上可以 用53.1%来引进新设备、新技术； 用19.8%来发奖金； 用27.1%来改善福利。

12.3 应用举例 2.层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用： ⑴问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测； ⑵当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时；

12.3 应用举例 ⑶各变量不独立，有内部相关性时； ⑷目标与约束、约束与约束之间紧密联系时； ⑸多目标问题；

12.3 应用举例 在用AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式： ⑴当模型中涉及不可计量的量时，用AHP法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数）； ⑵直接采用AHP模型。 AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其他方面的一些问题。下面举一个解决优化问题的例子。

12.3 应用举例 例 食品最佳搭配问题 假设某人有3种食品可供选择：肉、面包、蔬菜它们所含营养成分及单价如下表所示： 12.3 应用举例 例 食品最佳搭配问题 假设某人有3种食品可供选择：肉、面包、蔬菜它们所含营养成分及单价如下表所示： 食品 维生素A 维生素B2 / 热量 / 单价/ 搭配量 （国际 （mg/g） （kcal/g） （元/g） 单价/g） 肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 x1 面包 0 0.0006 2.76 0.0012 x2 蔬菜 25.0 0.002 0.25 0.0014 x3

12.3 应用举例 该人体重55kg，每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2：1.6338 mg 热量：2050 kcal 问题：应如何搭配食品？（自然的想法 是：使在保证营养的情况下支出最小）

12.3 应用举例 z*<1.67 容易建立如下线性规划模型： min z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3 12.3 应用举例 容易建立如下线性规划模型： min z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3 s.t. 0.3527 x1+25.0 x3≥7500 0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x3≥1.6338 2.86 x1+2.76 x2+0.25 x3≥2050 x1，x2，x3≥0 利用单纯形法可得解 x*=(0, 689.44, 612.67)T z*<1.67 ⑴

12.3 应用举例 即不吃肉，面包689.44g，蔬菜612.67g，每日支出1.67元。显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑此人对食品的偏好。我们可根据偏好加约束: x1≥140, x2≤450, x3不限 得到线性规划解： x*=(245.44, 450.00 424.19)T z*=2.48元 ⑵

12.3 应用举例 其次，在这里各营养成分被看成同样重 要，起决定因素的是支出。但实际上， 营养价值与支出都需要考虑，只是地位 （权重）不同。这样无法建立目标函数。 下面用层次分析法来处理问题： 层次结构：

12.3 应用举例 每日需求 R 营养 N 支出 C 维生素 A 维生素 B2 热量 Q 肉 me 面包 br 蔬菜 ve

12.3 应用举例 对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是 R N C w(2) λmax=2 C.I.=0 12.3 应用举例 对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是 R N C w(2) N 1 3 0.75 C 1/3 1 0.25 λmax=2 C.I.=0

12.3 应用举例 λmax=3 C.I.=0 N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4 12.3 应用举例 N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4 Q 1/2 1/2 1 0.2 λmax=3 C.I.=0

12.3 应用举例 0.4 0 最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。 12.3 应用举例 0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.75 0.2 0 0.25 =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T 0 1 最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。 由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一： ( 181.818，833.333，714.286 )T 于是得到

12.3 应用举例 A B2 Q C(价格) 合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T 12.3 应用举例 A B2 Q C(价格) me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057 U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 ve 0.9861 0.4255 0.0426 0.4310 合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T

12.3 应用举例 设 x1=0.24k, x2=0.23k, x3=0.53k 则 Min z= 0.002338k s.t. 13.3346k ≥7500 (2) 0.0017k ≥1.6338 1.4537k ≥2050 k ≥ 0 解得 k = 1412.20 ⑴变为

12.3 应用举例 x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.41g z=3.30元 满足式⑵ 此时各营养成分含量如下： 维生素A：18804.52国际单位 维生素B2：2.400mg 热量Q：2050.01kcal 若认为总支出太大，可适当降低第二层中 营养的权重 。

12.3 应用举例 若改为 R N C w(2) N 1 1 0.5 C 1 1 0.5 λmax=2 C.I.=0

12.3 应用举例 其余不变： 0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.5 = (0.2,0.2,0.1, 0.5)T 0.2 0 0.5 0 1 w(4) =U(4)w(3 =(0.193, 0.314, 0.493) T

12.3 应用举例 类似上面可解得：设 x1=0.193k, x2=0.314k, x3=0.493k Min z=0.0021285k 则 s.t. 12.3931k≥7500 0.0016k≥1.6338 1.54187k≥2050 0.193k≥140, 0.314k≤450, k≥0 式⑴、式⑵ 变为

12.3 应用举例 得解 k=1329.56 于是 x1=256.61g， x2=419.48g， x3=655.47g， z=2.83元 即每日肉256.61g，面包419.48g，蔬 菜655.47g，总支出2.83元。

12.3 应用举例 各营养成分含量如下： 维生素A：16479.33国际单位 维生素B2：2.100mg 热量 Q：2050.01kcal

12.3 应用举例 下图为日支出对于营养权重变化的灵敏度曲线。它们基本上位于线性规划⑴、⑵的可行解目标值(支出为1.67~3.80元)范围内。 支出/元 3.80 15 10 1.67 5 0.25 0.5 0.75 1