因數 vs 倍數 國立臺南大學數學教育系 謝 堅

※討論因數與倍數： ◎「2」是「0.1」的倍數嗎？ ◎「4」是「2」的倍數(2倍)嗎? 「2」是「4」的倍數(0.5倍)嗎？

◎如果「4」是「2」的倍數， 而且「2」也是「4」的倍數， 因數就不會存在。 ◎我是你老爸，你也是我老爸，就 不會有兒子存在。

兩個數量之間的(倍數)關係： 整數的因數與倍數： ◎倍數有兩種意義： 例如0.2的5倍是1，2是4的0.5倍， 這種倍數關係是比值的概念。 整數的因數與倍數： 例如：12、24、60都是6的倍數。

◎討論兩個數的倍數關係時： ◎0.2公斤是0.5公斤的0.4倍。 這兩個數可以是分數、整數或小數 這兩個數也可以有分數倍、整數倍 或小數倍的關係。 ◎0.2公斤是0.5公斤的0.4倍。

◎5倍是比值的概念： ◎5倍是等價類： 甲是乙的5倍： 當基準量乙為1時，比較量甲是5 10是2的5倍，7是1.4的5倍， 2是2/5的5倍，2.5是0.5的5倍。

◎何謂因數？何謂倍數？ ◎為什麼要發明因數與倍數？ 幫助教師引入因數與倍數的意義 ◎學會因、倍數有那些幫助？ 幫助教師評量因數與倍數問題。

◎數學上因、倍數的定義： ◎為什麼要規定ａ≠0？ ａ是b的因數(b是a的倍數)  ａ，b都是整數。 ａ≠0。 存在一個整數q，使得 b＝a×q。 ◎為什麼要規定ａ≠0？

「2」是「0.1」的20倍。 「2」不是「0.1」的倍數。 ◎b＝a×q，a、b、q都要是整數， ◎教師應該區分倍數及幾倍兩種不 同的意義。

◎何謂整除？ 整除是否為數學上的專有名詞？ ※2是否整除0.1？ 0.3是否整除0.1？

◎探討整除的語意(國文問題)： a÷b 的商數是整數(餘數為0)， 稱a整除b。 ◎探討整除的意義(數學問題) 為什麼要引入整除？

◎整除不是數學上的專有名詞 ◎64年版國小數學課本透過整除引 　入因數的意義(為什麼)？ ◎國小學童無法理解數學上因數與 　倍數的定義。

◎教師不應該只記憶數學上的定義 ◎6可以整除2，因為6÷2＝3，其中 ◎2不可以整除0.1，因為0.1不是整 ，教師應該知道數學上為何要如 此定義的來龍去脈。 ◎6可以整除2，因為6÷2＝3，其中　　　　 6、2、3都是整數。 ◎2不可以整除0.1，因為0.1不是整 數。

◎「0」是不是偶數？ ◎何謂奇數？何謂偶數？ 「0.2」是不是偶數？ 「3.0」是不是偶數？ 數學上為何要區分奇數及偶數？ 　數學上為何要區分奇數及偶數？ 　數學上如何給奇、偶數下定義?

◎國小低年級： ◎0個花片不必數，因此在國小中低 一堆花片：2個一數可以數完，花 片是偶數個，2個一數不可以數完 ，剩下1個，花片是奇數個。 年級，不討論0是否為偶數。

◎國中(國小高年級)： 　2的倍數就是偶數，不是2的倍數 　的整數就是奇數。 ◎0是不是2的倍數？ 　0.2及3.0是不是2的倍數？

◎b＝a×q，a、b、q都是整數，b是 ◎如果3.0不是概數的記法： a的倍數。 0＝2×0(a＝2、b＝0、q＝0) 所以0是2的倍數。 　所以0是2的倍數。 ◎如果3.0不是概數的記法： 　3.0(30/10)和3(3/1)是等值分數

※最小的偶數是那一個數字？ (1) 0 (2) 2 (3) 不存在 (4) 0.2

◎答案與討論範圍有關： 自然數：最小的偶數是2。 全數：最小的偶數是0。 整數：最小的偶數不存在。

◎針對一個整數12： 整數的因數與倍數： 2可以乘法性的組成12，所以2就 是12的因數。 12可以乘法性的組成24，所以24 就是12的倍數。

◎因數問題是指定一個正整數，詢 ◎以1，2，3，4，6，12為單位量， 問以哪些正整數為單位，可以整 數倍合成這個指定的正整數。 都可以整數倍的合成12，它們都 是12的因數。

可以分成多少袋? 每一袋可以有幾個蘋果? ※12個蘋果想要分裝成幾袋，讓每 ◎2袋、2個蘋果，何者是因數概念? 一袋的蘋果一樣多，可以有那些 分法? 可以分成多少袋? 每一袋可以有幾個蘋果? ◎2袋、2個蘋果，何者是因數概念?

◎以2(個蘋果)為單位量，可以整數 ◎以5 (個蘋果)為單位量，不可以 倍合成12(個蘋果)，所以2是12的 因數。 整數倍地合成12 (個蘋果) ，所 以5不是12的因數。

◎2(個蘋果)可以乘法性組成12(2的 ◎有那些能力後，學童可以理解2是 6倍是12)，因此2是12的因數，此 時6(袋)也是12的因數嗎？ 12的因數，6也一定是12的因數?

◎倍數問題是指定一個正整數做為單 ◎以12為單位量，可以乘法性地合成 位量，詢問以此正整數為單位量可 以整數倍地生成哪些正整數。 24、36，所以24、36都是12的倍數 ，同時12也是24和36的因數。

◎如何引入因數與倍數的意義? 國小階段如何引入? 國中階段如何引入? 高中階段如何引入?

◎國小階段： 分別引入因數與倍數的意義，再 幫助學童發現兩者間的關係。 ◎高中階段： 同的意義，a是b的因數，也可以 說b是a的倍數。 只定義一次，將因、倍數視為相 同的意義，a是b的因數，也可以 說b是a的倍數。 ◎國中階段： 如何引入因、倍數定義較恰當？

◎何謂因數？何謂質因數？ 人們有了因數概念後，為什麼還 要引入質因數(質數)？ ◎何謂質數？ 引入質數有那些好處？

◎為什麼1不是質數？ ◎討論因數時不排除1，為何討論質 　因數時要排除1？ ◎引入質數前後，對因數與倍數的 　看法有何不同？

◎可以由加法性結構來討論二個數 　的關係，也可以由乘法性結構來 　討論二個數的關係。 ◎加法性結構：6比2大4。 　乘法性結構：6是2的3倍。

※甲＝50；乙＝60。 ◎有那些表徵甲，乙二個數關係的 　方式？

甲比乙少10，乙比甲多10。 乙＝0，甲＝－10 ※甲＝50；乙＝60。 ◎加法性關係(差異量關係)： 甲和乙相差10(絕對值概念) 　甲和乙相差10(絕對值概念) 乙＝0，甲＝－10 甲＝0，乙＝＋10(整數概念)

※甲＝50；乙＝60。 ◎乘法性關係(倍數關係)： 甲是乙的5/6倍，乙是甲的6/5倍 乙＝1，甲＝5/6 甲＝1，乙＝6/5

◎可以由加法性結構來討論一個數 的組成方式，也可以由乘法性結 構來討論一個數的組成方式。

42是由42個1組成的。 42是由40和2組成的。 42是由4個10和2個1組成的。 ◎由加法性結構討論一個數的組成 ◎國小中、 低年級的學童，比較習 慣由加法性結構來探討一個數的 組成關係。

12是由2個6合成的。 12是由2×2×3合成的(質因數關係) ◎由乘法性結構討論一個數的組成 12是由3個4合成的。 12是由12個1合成的(因數關係) 12是由2×2×3合成的(質因數關係)

◎因數關係： ◎12＝1×12＝ 2×6 ◎1、2、3、4、6、12都可以乘法性 只討論一個數和12的乘法性關係 ＝3×4 ＝ 4×3 　只討論一個數和12的乘法性關係 ◎12＝1×12＝ 2×6 　 ＝3×4 ＝ 4×3 　＝6×12＝12×1 ◎1、2、3、4、6、12都可以乘法性 　的組成12，它們都是組成12的元 　素，也就是12的因數。

◎ 4＝2×2 ◎4、6、12還可以由其它的元素組 6＝2×3 12＝2×2×3 成，所以4、6、12只是乘法性組 　 6＝2×3 　12＝2×2×3 ◎4、6、12還可以由其它的元素組 成，所以4、6、12只是乘法性組 成12的元素，不是乘法性組成12 的基本元素。

◎2和3不可以由其它的元素組成， ◎乘法性組成整數的元素，數學上 2和3是乘法性組成12的基本元素 ，也就是12的質因數。 稱之為因數。乘法性組成整數的 基本元素，數學上稱之為質數。

◎質因數(質數)關係： ◎12＝2×2×3 透過質因數分解算式討論一個數 和12的乘法性關係 1；2、3；2×2、2×3；2×2×3 　透過質因數分解算式討論一個數 和12的乘法性關係 ◎12＝2×2×3 1；2、3；2×2、2×3；2×2×3 都是組成12的元素(因數)

◎當學童能掌握由乘法性組成元素 ◎因數是組成一個整數的元素， (因數)來討論一個整數的意義 時，可以開始引入乘法性組成 基本元素(質數)的概念。 ◎因數是組成一個整數的元素， 質數是組成一個整數的基本元素

◎為什麼1是任意整數的乘法性組成 元素(因數)，但是1不是乘法性組 成的基本元素(質數)? ◎為什麼要將1排除在質數之外?

◎如果將1當做乘法性的基本元素 (質數)，會讓組成同一個整數的 基本元素方式不唯一，對找出二 個整數共同的基本元素沒有幫助 ，因此將１排除在質數之外。 ◎12＝3×2×2 ＝3×2×2×1 ＝3×2×2×1×1×1

◎何謂合數？何謂質數？ 質數：組成一個整數的基本元素。 合數：由兩個以上質數乘法性組 　　　成的整數。

◎高年級開始學習因數與倍數，以 及比與比值，希望學童能由乘法 性結構來探討整數之間的關係。 ◎暫行綱要國小階段只討論兩個數 之間的關係，也就是說，只討論 那些因數可以乘法性的組成12， 12可以乘法性的組成那些倍數。

◎暫行綱要在國中階段才開始討論那 ◎正綱在國小階段就引入質數。 些基本元素（質數概念）可以乘法 性的組成一個數，更方便的探討整 數之間的關係，讓解題更有效率。 ◎正綱在國小階段就引入質數。

◎請區分下列名詞的意義： ◎因數分解 vs 質因數分解 ◎樹狀圖 vs 短除法 ◎因數 vs 質因數 ◎質因數分解法　vs 短除法

◎因數分解 vs 質因數分解 ◎因數分解尋找一個整數的乘法性 ◎12＝3×4 12＝2×2×3 組成元素，質因數分解是找一個 整數的乘法性組成基本元素。 ◎12＝3×4　　　　12＝2×2×3 　 ＝2×6 1不是質因數 　 ＝1×12 1是12的因數

◎利用質因數分解，就能夠透過乘 法性的基本元素(質數)來判斷兩 個整數是否相等，或透過兩個整 數間基本元素的關係，更有效率 的找出(最大)公因數或(最小)公 倍數。

透過樹狀圖或短除法引入因數分 透過樹狀圖或短除法引入質因數 ◎樹狀圖 vs 短除法 ※以48為例： 討論對象是因(質)數分解 解，何者比較恰當？ 透過樹狀圖或短除法引入質因數 分解，何者比較恰當？

◎當學童尚未掌握基本元素(質數) 概念時，透過嘗試錯誤的方式進 行因數分解，樹狀圖是比較適用 的解題工具。

◎當學童掌握基本元素(質數)概念 ◎質因數分解的表示法為唯一，是 時，透過短除法，可以有效率的 (由小至大)進行質因數分解。 透過短除法進行質因數分解的先 備經驗。

◎如何求兩個數的(最大)公因數或 ◎國小階段(因數概念)： (最小)公倍數？ 利用乘法性組成元素的概念，透 過嘗試錯誤，找出所有的因數或 部份範圍內的倍數，再透過比較 大小活動得到答案。

◎國中階段(質數概念)： 利用乘法性組成基本元素(質數) 的概念，將這些整數質因數分 解，透過找出共同組成這些整數 的基本元素(最大公因數) ，或組 成這些整數的最少基本元素(最小 公倍數)得到答案。

◎最大公因數： ◎國小階段(因數概念)： ◎公因數是：1、2、3、6； 以(18，24)＝？為例： 找出所有的公因數，再透過比大 小找出最大的公因數： ◎公因數是：1、2、3、6； 6最大，所以最大公因數是6。

◎國中階段(質數概念)： ◎18＝2×3×3 透過質因數分解，尋找組成這些 整數共同的基本元素。 24＝2×2×2×3 2×3是組成18和24的共同基本元素 所以2×3是18和24的最大公因數。

◎因數概念(國小階段)的短除法： (嘗試錯誤法) 6)18 24 3 4 ◎可以提出共同的因數

◎質因數概念(國中階段)的短除法 ◎只可以提出共同的質因數，但是 (質因數分解法) 2)18 24 6)18 24 3)9 12  3 4 2)18 24 6)18 24 3)9 12  3 4 3 4 ◎只可以提出共同的質因數，但是 可以將二次提質因數的過程，摘 要的使用一個算式記下來。

不理會國小階段的舊經驗，直接 以國小階段的舊經驗為基礎，引 ◎如何連絡這兩種解題策略： 教質因數分解法求最大公因數。 　入質因數分解法，並幫助學童發 　現利用質因數分解法求最大公因 數比較有效率。

※甲＝2×3×5，甲的因數有那些? ◎國小學生會先求出甲＝30，再透 ◎要求學生看著質因數分解的算式 過嘗試錯誤找出30的因數。 　過嘗試錯誤找出30的因數。 ◎要求學生看著質因數分解的算式 　，直接寫出甲的因數。

◎1是甲的因數。 ◎2、3、5是甲的因數。 ◎2×3、2×5、3×5是甲的因數。 ◎2×3×5是甲的因數。 甲＝2×3×5，可以整除2、3、5 ◎2×3、2×5、3×5是甲的因數。 2×3×5可以整除2×3、2×5、3×5 ◎2×3×5是甲的因數。

◎18＝2×3×3 ◎有足夠解題經驗，就會發現最大 24＝2×2×2×3 分別找出18和24所有因數(連乘積 的記法)，發現2×3是最大公因數 ◎有足夠解題經驗，就會發現最大 公因數是兩數共同質因數的乘積

◎成人常使用質因數分解法或短除 法解決求最大公因數或最小公倍 數的問題，這兩種解題的方式有 那些相同處，有那些不同處？

◎直接教短除法求最大公因數： ◎國小學童知道2、3都是兩數的公 ◎國、高中的學生能理解嗎? 2）18 24 3）9 12 3 4 2）18 24 3）9 12 3 4 ◎國小學童知道2、3都是兩數的公 　因數，但無法理解為什麼「2×3」 　會是最大公因數？ ◎國、高中的學生能理解嗎?

◎質因數分解法求最大公因數： 　 18＝ 2×3×3 24＝2×2×2×3 ◎短除法求最大公因數： 2）18 24 3）9 12 3 4

◎學童應該先學會質因數分解法， ◎短除法是使用質因數分解法求最 ◎如果學童不會判斷2、3、5等數的 還是先學會短除法? ◎學童應該先學會質因數分解法，　 還是先學會短除法? ◎短除法是使用質因數分解法求最 大公因數時的摘要記錄。 ◎如果學童不會判斷2、3、5等數的 倍數，短除法無用武之地。

◎求最大公因數時，為何短除法比 　質因數分解法方便？

◎何謂輾轉相除法？ ◎它可以解決那些問題？ ◎國小階段適合引入嗎？ 　　ａ÷ｂ＝ｑ....ｒ 　 (a，b)＝(b，r)

◎(12、20)＝(12、20－12) ○○○○○○○○○○ ○○○○○○ ◎假設甲是12和20的公因數，甲一 定是(20－12)的公因數。

◎(12、20)＝(12、20－12) (12、8)＝(12－8、8) (4、8)＝4 　　　 12 20 　　　　　 1 8 12 1 　　　　 　 4 8 　　　　　 8 2　 　　　　　 0

◎用短除法求〔15，20，30〕時， ◎用短除法求〔21，20，30〕時， 可以先提公因數10嗎？ 可以先提質因數7嗎？ 你怎麼知道做法是正確的？

利用整數倍關係，找出部份範圍 先依序求出某一個整數的倍數， ※〔15，20，30〕=？ ◎國小階段(因數概念)： 的公倍數，再透過比較活動，找 出最小公倍數。 先依序求出某一個整數的倍數， 並判斷是否為其它整數的倍數。

◎國中階段(質數概念)： 　透過質因數分解，尋找最少可以 　組成這些數的乘法性基本元素。 ◎15＝3×5 　20＝ 5×2×2 30＝3×5×2 最小公倍數是3×5×2×2。

◎短除法: 3）15 20 30 5）5 20 10 2）1 4 2 1 2 1 最小公倍數是3×5×2×2。

◎質因數分解法與短除法的關係： ◎學童應該先學會質因數分解法， ◎國小學童能理解短除法意義嗎？ 短除法，只是使用質因數分解法 求最小公倍數的摘要記錄。 ◎學童應該先學會質因數分解法， 還是先學會短除法? ◎國小學童能理解短除法意義嗎？

※用短除法求〔15，20，30〕時， ◎因為短除法是使用質因數分解法 可以先提公因數10嗎？ 解題的記錄，因此使用短除法求 最小公倍數時，概念上只能提 質因數。

◎ 2）20 30 10）20 30 5）10 15  2 3 2 3 ◎可以將二次提質因數的過程，摘 要的使用一個算式記下來。

◎先提公因數10時，為什麼答案會 ◎ 10）15 20 30 變成300(正確答案60的5倍)？ 3）15 2 3 5 2 1 3）15 2 3 5 2 1 最小公倍數：10×3×5×2＝300

◎ 10）15 20 30 3）15 2 3 5 2 1 最小公倍數：10×3×5×2＝300 ◎提10是提2再提5，15漏提了5。

◎ 10）15 20 30 　3) 3 2 3 　　 1 2 1 最小公倍數：10×3×2＝60 ◎你接受這種算法嗎？

※用短除法求〔21，20，30〕時， 可以先提公因數10嗎？ 可以先提質因數7嗎？ ◎你怎麼知道做法是正確的？

◎ 10）21 20 30 3）21 2 3 7 2 1 最小公倍數：10×3×7×2＝420 ◎21沒有2和5的質因數。

◎甲＝2×3×5 ◎先提2最有效率，先提7沒有效率。 ◎請區分「不能」與「沒有效率」。 乙＝2×3 ×7 丙＝2×3×5 乙＝2×3 ×7 丙＝2×3×5 丁＝2× ×7×11 ◎先提2最有效率，先提7沒有效率。 ◎請區分「不能」與「沒有效率」。

◎「能」與「不能」是概念問題， 　必需澄清其意義。 ◎當學童理解各種解題策略意義之 　後，才能判斷「有效率」與「沒有效率」，並選擇有效率的策略。

※ 〔18，24〕＝？ ◎國小階段(因數概念)基本策略： ◎18的倍數：18、36、54、72； 找出某個範圍內的公倍數，再透 過比較活動找出最小的公倍數 ◎18的倍數：18、36、54、72； 24的倍數：24、48、72、96； 所以最大公因數是72。

◎國小階段較有效率的策略： ◎18的倍數：18、36、54、72； ◎學童自己會發現找大數(24)的倍 先找出某一個數的倍數，再判斷 是否為另一個數的倍數： ◎18的倍數：18、36、54、72； 18、36、54不是24的倍數；72是 24的倍數，72是最小公倍數。 ◎學童自己會發現找大數(24)的倍 數比較有效率。

◎國中階段(質數概念)： ◎18＝ 2×3×3 ◎為什麼最小公倍數是(2×3)×2×2×3? 質因數分解法求最小公倍數: ◎18＝ 2×3×3 24＝2×2×2×3 最小公倍數(2×3)×2×2×3 ◎為什麼最小公倍數是(2×3)×2×2×3?

※18＝ 2×3×3 ◎(2×2×2×3)×2是18的倍數嗎? 24＝2×2×2×3 (以24為基準數) ※18＝ 2×3×3 24＝2×2×2×3 (以24為基準數) ◎(2×2×2×3)×2是18的倍數嗎? (2×2×2×3)×3是18的倍數嗎? (2×2×2×3)×3是18的倍數，所以是 兩數的最小公倍數。

※75＝3×5 ×5 ◎(3×5×2)×2是75和20的倍數嗎? 20＝ 5×2×2 30＝3×5×2 ※75＝3×5 ×5 20＝ 5×2×2 30＝3×5×2 ◎(3×5×2)×2是75和20的倍數嗎? (3×5×2)×5是75和20的倍數嗎? (3×5×2)×2×5是75和20的倍數嗎?

※有一些蘋果，3個一數，5個一數 ※有一些蘋果，平分成3堆可以分 ◎為什麼這兩個問題都可以透過求 數，都可以數完，最少有多少個 蘋果？ 完，平分成5堆也可以分完，請問 最少有多少個蘋果？ ◎為什麼這兩個問題都可以透過求 最小公倍數的方式得到答案？

◎☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ◎三個一數可以數完。 平分成三堆，剛好分完。 意義是否相同？

☉ ☉ ☉  每堆第1個 ☉ ☉ ☉  每堆第2個 ☉ ☉ ☉  每堆第3個 ☉ ☉ ☉  每堆第n個 第 第 第　　(合起來都是3個) 一 二 三 堆 堆 堆

※a，b是整數，試找出： ◎a×b=(a,b)×[a,b]。 ※a，b，c是整數，試找出a×b×c， a×b，(a,b)，[a,b]的關係?

◎何謂兩數互質? a，b兩數互質  (a,b)=1 ◎何謂三數互質? a，b，c三數互質  (a,b,c)=1 上述定義合理嗎?

◎ (2,3)＝(3,5)＝(2,5)＝1 ◎數學上沒有三數互質的定義。  2，3，5兩兩互質。 (2,3,6)＝1 ◎ (2,3)＝(3,5)＝(2,5)＝1  2，3，5兩兩互質。 (2,3,6)＝1  2，3，6三數沒有共同的質 　　因數。 ◎數學上沒有三數互質的定義。

◎(a,b)＝(b,c)＝(c,a)=1時 (a,b,c)＝1 [a,b,c]＝a×b×c (a,b,c) ×[a,b,c]＝a×b×c

◎a＝a×d，b＝b×d，c＝c×d (a,b,c)＝d [a,b,c]＝a×b×c×d (a，b)＝(b，c)＝(c，a)＝1 (a,b,c)＝d [a,b,c]＝a×b×c×d 　(a,b,c) × (a,b,c)× [a,b,c]　 ＝ａ×ｂ×ｃ

◎ａ＝a×d,b＝b×d,c＝c×d (a,b,c)＝d [a,b,c]＝(a×b×c×d)/(p×q×r) (a,b)＝p (b,c)＝q (c,a)＝r (a,b,c)＝d [a,b,c]＝(a×b×c×d)/(p×q×r) (a,b,c) ×(a,b,c) ×[a,b,c] ×p×q×r ＝ａ×ｂ×ｃ