5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分 5.7 反三角函數：積分 5.8 雙曲函數

5.4 指數函數：微分與積分 自然指數函數的定義 自然對數函數 f (x) = ln x 的反函數 f –1(x) 稱為自然指數 函數，以記號 ex 表示： f –1(x) = ex 也就是 y = ex 若且唯若 x = ln y 自然對數函數和自然指數函數互為反函數的關係可以總 結如下。 P.243 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.19 自然對數函數的反函數是自然指數函數。 P.243 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 1 解指數方程式 解 7 = ex + 1。 解 將上式左右兩邊同時取自然對數，就可以把指數的 形式改換成對數的形式。 例 1 解指數方程式 解 7 = ex + 1。 解 將上式左右兩邊同時取自然對數，就可以把指數的 形式改換成對數的形式。 7 = ex + 1 原式 ln 7 = ln(ex + 1) 兩邊取自然對數 ln 7 = x + 1 使用反函數性質 –1 + ln 7 = x 解 x 0.946 ≈ x 按計算機 將 x 值代回驗算。 P.244 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 2 解指數方程式 解 ln(2x – 3) = 5。 解 上式兩邊代入指數函數，可以將左邊的對數消去， 右邊得到 e5。 例 2 解指數方程式 解 ln(2x – 3) = 5。 解 上式兩邊代入指數函數，可以將左邊的對數消去， 右邊得到 e5。 ln(2x – 3) = 5 原式 eln(2x – 3) = e5 兩邊取指數 2x – 3 = e5 使用反函數性質 x = ½(e5 + 3) 解 x x ≈ 75.707 按計算機 P.244 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

定理5.10 指數函數的運算規則 證明 性質 1 的證明如下 ln(eaeb) = ln(ea) + ln(eb) = a + b 定理5.10 指數函數的運算規則 證明 性質 1 的證明如下 ln(eaeb) = ln(ea) + ln(eb) = a + b = ln(ea + b) 由於自然對數函數是一對一，所以 eaeb = ea + b P.244 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.20 自然指數函數在整個實數線上遞增，圖形凹口向上。 圖5.20 自然指數函數在整個實數線上遞增，圖形凹口向上。 P.244 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

自然指數函數的性質 1. 函數 f (x) = ex 的定義域是 (–∞,∞)，值域是 (0,∞)。 4. P.245 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

定理5.11 自然指數函數的導函數 證明 關於性質 1，利用 ln ex = x，對兩邊同時微分。 ln ex = x 定理5.11 自然指數函數的導函數 證明 關於性質 1，利用 ln ex = x，對兩邊同時微分。 ln ex = x 至於性質2，是連鎖規則的應用。 自然對數函數的定義 兩邊同時對 x 微分 P.245 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 3 指數函數的微分 a. b. P.245 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 4 求相對極值 求 f (x) = xex 的相對極值。 解 f 的導函數是 f’(x) = x(ex) + ex(1) 例 4 求相對極值 求 f (x) = xex 的相對極值。 解 f 的導函數是 f’(x) = x(ex) + ex(1) = ex(x + 1) 由於 ex 絕不為 0，導數只在 x = –1 時為 0，又由一階導 數檢定，可確定此點是一個相對極小，如圖5.21 所示。 又因 f '(x) = ex(x + 1) 對所有的 x 都有意義，因此並無其 他的臨界點。 P.245 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.21 f 的導數在 x = –1 的左邊是負，右邊是正。 P.246 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 5 標準常態機率密度函數 求證標準常態機率密度函數 在 x = ±1 有反曲點。 解 先求二階導數為 0 的點。 例 5 標準常態機率密度函數 求證標準常態機率密度函數 在 x = ±1 有反曲點。 解　先求二階導數為 0 的點。 在 x = ±1 時，f ''(x) = 0。注意到在 1 的左邊 f '' 恆正， 在 –1 和 1 之間 f '' 恆負，而在 1 的右邊 f '' 恆正。因此 推得 x = ± 1 確是反曲點（見圖5.22）。 P.246 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.22 常態機率密度函數的鐘形曲線。 P.246 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 6 股票交易 紐約證券交易所從 1990 到 2005 年的股票交易量 y（百 萬單位）與時間 t 的關係如下： 例 6 股票交易 紐約證券交易所從 1990 到 2005 年的股票交易量 y（百 萬單位）與時間 t 的關係如下： 式中 t 代表年，t = 0 對應 1990 年。請問在 2000 年交易 量的改變率是多少？ 解　求 y 對 t 的微分 將 t = 10 代入，所求近似值即為 2000 年的改變率，約 是一年 37,941百萬股。如圖5.23 所示。 P.246 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.23 P.246 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

定理5.12 指數函數的積分規則 P.247 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 7 指數函數的積分 求 。 解 令 u = 3x + 1，則 du = 3 dx。 P.247 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 8 指數函數的積分 求 。 解 令 u = –x2，則 du = –2x dx 或 x dx = –du/2。 P.247 例 8 指數函數的積分 求 。 解 令 u = –x2，則 du = –2x dx 或 x dx = –du/2。 P.247 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 9 指數函數的積分 a. b. P.248 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

例 10 求以指數函數為界區域的面積 計算下列各定積分。 a. b. c. 解 a. b. c. P.248 例 10 求以指數函數為界區域的面積 計算下列各定積分。 a. b. c. 解 a. b. c. P.248 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

圖5.24 P.248 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數