第二章 经典密码学 加密通信的模型 Oscar x x y Alice 加密机 解密机 Bob k 安全信道 密钥源

密码学的目的：Alice和Bob两个人在不安全的信道上进行通信，而破译者Oscar不能理解他们通信的内容。 定义: (密码体制）它是一个五元组（P,C,K,E,D)满足条件： （1）P是可能明文的有限集；（明文空间） （2）C是可能密文的有限集；（密文空间） （3）K是一切可能密钥构成的有限集；（密钥空间） *（4）任意 ,有一个加密算法 和相应的解密算法 ，使得 和 分别为加密解密函 数，满足 。 注：1*.Alice要将明文Ｘ在不安全信道上发给Bob，设X=x1 x2… xn , 其中 , Alice用加密算法ek作yi=ek(xi) 1≤ i≤ n 结果的密文是 Y=y1y2….yn ,在信道上发送， Bob收到后解密：xi=dk(yi) 得到明文X=x1 x2… xn .。

2*.加密函数ek必须是单射函数，就是一对一的函数。 3*.若P=C，则ek为一个置换。 4*.好的密钥算法是唯密钥而保密的。 5*.若Alice和Bob在一次通信中使用相同的密钥，那么这个加密体制为对称的，否则称为非对称的。

1.移位密码体制 设P=C=K=Z/(26),对 ,定义 同时dk(y)=y-k (mod 26) 注1*：26个英文字母与模26剩余类集合{0,….,25}建立一一对应： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2*.当k=3时，为Caesar密码： 若明文：meet me after the toga party 密文：PHHW PH DIWHO WKH WRJD SDUWB 实际算法为： 有 同时有，d3(y)=y-3 (mod 26)

3*.一个密码体制要是实际可用必须满足的特性 每一个加密函数ek和每一个解密函数dk都能有效地计算。 破译者取得密文后，将不能在有效的时间内破解出密钥k或明文x。 一个密码体制是安全的必要条件穷举密钥搜索将是不可行的，即密钥空间将是非常大的。

2.替换密码体制 设P=C=Z/(26)，K是由26个符号0，1,..,25的所有可能置换组成。任意 ，定义 d π(y)=-1(y)=x, π-1是π的逆置换。 注： 1*. 置换π的表示： 2*密钥空间K很大，|K|=26! ≈ 4×1026，破译者穷举搜索是不行的，然而，可由统计的方式破译它。 3*移位密码体制是替换密码体制的一个特例，它仅含26个置换做为密钥空间

3.仿射密码体制 替换密码的另一个特例就是仿射密码。 加密函数取形式为 要求唯一解的充要条件是gcd( a,26)=1 该体制描述为： 设P=C=Z/(26) 对 定义 ek(x)=ax+b (mod 26)和dk(y)=a-1(y-b)(mod 26)

例子，设k＝（7，3），注意到7-1(mod 26)=15,加密函数是ek(x)=7x+3,相应的解密函数是dk(y)=15(y-3)=15y-19 , 易见 dk(ek(x)=dk(7x+3)=15(7x+3)-19 =x+45-19 =x (mod 26) 若加密明文：hot ，首先转换字母h,o,t成为数字7,14,19, 然后加密： 解密：

4.维吉尼亚密码 (Vigenere) 设m为一固定的正整数，定义P=C=K=(Z/(26))m,对一个密钥K＝（ k1,k2,…,km),定义 ek(x1,x2,…,xm)=(x1+k1,x2+k2,…,xm+km)=y dk(y1,y2,…,ym)= (x1-k1,x2-k2,…,xm-km) =x 这里的所有的运算都是在（mod 26)中进行的。 注：维吉尼亚密码是多表替换体制，分析起来更困难。密钥空间大，如当m=5时，密钥空间所含密钥的数量是>1.1×107

5.Hill密码体制 设ｍ为某个固定的正整数，P=C=(Z/(26))m, K={Z/(26)上的m×m可逆矩阵} 对每一个 ,定义ek(x)=xK (mod 26) 和 dk(y)=yK-1 (mod 26) 注：明文与密文都是 m元的向量（x1, x2 …, xm );(y1, y2,…,ym)，Z/(26)为同余类环。在这个环上的可逆矩阵Amxm,是指行列式detAmxm的值∈ Z*/(26),它为Z/(26)中全体可逆元的集合。Z*/(26)= {a ∈Z/(26)|(a,26)=1}， Z*/(26)={1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25} 例子：当 m=2时，明文元素x=(x1,x2),密文元素y=(y1,y2) (y1,y2)=(x1,x2) K

事实上yi为x1,x2的线性组合，y1=11x1+3x2;y2=8x1+7x2，一般，将取m×m的矩阵K作为我们的密钥：有 y=(y1, y2,…, ym,)=(x1, x2,…, xm) 换言之，y=xK;且有x=yK-1 若K= ,可得K-1 = 若对明文july加密，它分成2个元素（j,u),(l,y),分别对应于（9,20）,（11,24）,有

（9,20） ＝（99＋60,72＋140）＝（3,4） 且 （11,24 ） ＝(121＋72,88＋168) ＝（11,22） 于是对 july加密的结果为DELW。 为了解密，Bob计算 因此，得到了正确的明文“july”

6.置换密码体制 设m为固定的正整数，P=C=(Z/(26))m, K是由{1,2,..,m}的所有置换构成，对一个密钥π∈K，定义 e π(x1, x2,.., xm)=(xπ(1),,..,xπ(m)) 和 d π(y1, y2,.., ym)=(yπ(1),,..,yπ(m)) 这里π－1为π的逆置换。 注：这里的加密与解密仅仅用了置换，无代数运算。 例子： 设m=6, 取密钥 而

若给定的明文是：cryptography 首先找分成6个字母长的 明文组：crypto|graphy 求得的密文是：YTCOPRAHGYPR 注：事实上，置换密码是Hill密码的特例。给定一个集合{1,2,..,m}的置换矩阵 (置换矩阵是每一行和每一列刚好在一个“1”，而其余元素为“0”的矩阵。)

对上面例子决定的置换π 对应：

密码分析 假设破译者Oscar是在已知密码体制的前提下来破译Bob使用的密钥。这个假设称为Kerckhoff原则。最常见的破解类型如下： 1.唯密文攻击：Oscar具有密文串y. 2.已知明文攻击: Oscar具有明文串x和相应的密文y. 3.选择明文攻击：Oscar可获得对加密机的暂时访问，因此他能选择明文串x并构造出相应的密文串y。 4.选择密文攻击:Oscar可暂时接近密码机,可选择密文串y，并构造出相应的明文x. 5.这一切的目的在于破译出密钥