第二节 极限 一、数列极限 定义：

正确理解数列极限 ① 的任意给定性。 是任意给定的正数，它是任意的， 但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出 由于 的任意性，所以定义中的不等式 可以改为 （M为任意正整数）； 等等。 ② N的相应存在性。N依赖于 ，通常记作 但N并不是 唯一的， 只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数 关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。 ③ 定义中“当 时有 ”是指下标大于N的无穷多项 都落在数 的 邻域内，即 也就是说 在邻域 以外的只有数列的有限项，因此改变或增减 数列的有限项不影响数列的收敛性。

…. …. .. …....… . … .

有关数列收敛的性质 定理1（极限的唯一性） 矛盾！命题得证。

定理2 （收敛数列的有界性） 无界数列必发散. 注: 有界数列不一定收敛. 如数列：

子数列的概念: 子数列的表示：

收敛数列与其子数列的关系: 定理3 注:其逆反定理用于 证明数列的发散 证:

数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的 问题： 1. 若 2对于某一正数  如果存在正整数N 使得当nN时 有| a|  是否有 a (n ) 3如果数列 收敛 那么数列 一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛? 4 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的 收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 5 如何判断数列 1 1 1 1       是发散的？

例1 注:① 发散数列也可能有收敛的子数列． ② 证明数列发散时，可采用下列两种方法： I ) 找两个极限不相等的子数列； II) 找一个发散的子数列。

例2 证明数列 设 极限不存在。 证 设 当 时， 即 当 时， 即 极限不存在。 所以

（06年考研题 数学三） 例3 求 解： =1 例4 已知 求 解： （k=1,2,3,…)

求 解： 从而

。 二、函数极限 在自变量的某个变化过程中， 若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限。 函数极限的描述性定义。 函数的自变量的变化过程可分为两种情况： （1）自变量 无限接近有限值 表示为 （2）自变量 的绝对值 无限增大， x y O A 。

函数极限的ε-δ定义: 注1: 注2: 注3:

几何解释： x y O A 。 f(x)局部有界。 此式表明 f(x)在 内既有上界， 又有下界，即:

2. 极限的局部保号性 定理1:

定理1’: 定理2: 由定理1 问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？

3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：

左、右极限的ε-δ定义: 左极限： 右极限： 极限存在的充要条件： 定理3： 注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。

4. 时函数 的极限 ----描述性定义。 函数极限ε—X定义：

单边极限的定义:

定理: 证 （必要性） 则 即 ①当 ②当 即 （充分性） 则 取 则只要 恒有

6. 数列极限与函数极限之间的关系 （1） 数列是以正整数集为定义域的函数，即 因此数列的极限 可以看成是函数 当 自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。 若 存在，必有 存在。 反之，若 不存在， 一定不存在。 （2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。 （3）收敛数列的有界性是整体概念，即若 存在，则对 而对于函数 存在，则只能推得函数在 的某个 邻域有界，即

例1. 讨论函数 当 时，函数 的极限的情况。 1 -1 因为： 而当 从 的右边逼近于 时，函数值在-1与1之间振荡，即 不存在。 由定理3知：

例2. 解： 例3. 证明 不存在。 取 及 证 设 当 时， 而 不存在。

注：极限不存在的几种典型例子 ①趋于 如： ② 振荡，如： ③左、右极限不相等， 单侧极限不相等，如： 所以， 不存在。

问题

三、无穷小与无穷大 无穷小的概念: 如: 注：① 无穷小是以 0 为极限的函数. 无穷小的唯一常数． 同样可以定义: 如: 注：① 无穷小是以 0 为极限的函数. 无穷小的唯一常数． ②绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量. ０是作为 ③说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。 如：函数 但当 时， 的极限为1.

注意： 函数极限与无穷小之间的关系: 定理1 无穷大 1. 在某个过程中，变量f（x）为无穷大时，f ( x ) 的极 限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即: 2.

3. 说一个函数为无穷大，必须与自变量的变化过程相联系。 4. 无穷大必是无界变量；但无界变量不一定是无穷大。 无穷大与无穷小的关系: 定理2:

无穷小的性质: 定理1 有限个无穷小之和是无穷小。 注意：无穷多个无穷小之和不一定是无穷小。

定理2: 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小. 推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 分析：

四、极限的运算法则 定理 可推广到 多个函数

无穷小的倒数是无穷大

有理分式的极限： 有理分式: (1)分母的极限不为零:

(2) 分母极限为零，分子极限不为零的有理分式函数极限。 解 由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷大）， 故： (3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子） 解

附：多项式除法 消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法

(4）两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限

解：

则 若 注： （2）若 则