混沌理论及应用 龙敏 Email:scultm@sohu.com Tel:13973129143

一、混沌的基本概念及特征 混沌的概念：混沌（chaos）又称浑沌，人们通常用它来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟的状态，在这个意义上它与无序的概念是相同的。

1．确定性  在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，是指方程(常微分方程、差分方程、时滞微分方程)是非随机的，不含任何随机项。系统的未来(或过去)状态只与初始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内因决定的，与外在因素无关。这是至关重要的一条限制，所以我们现在讲的混沌也叫“确定性混沌”。正因为确定性的系统出现了复杂行为，也叫内随机性，人们才兴奋起来，才一往倾心地钻研混沌。当然，从长远的观点来看，人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。然而，目前由于公众对混沌还有相当的误解，所以我们严格区分是否为确定性至关重要，还不能笼统地从现象的层次把一大堆似是而非的东西都称为混沌。总之，混沌概念的狭义化总比泛化好些。现在我们考虑的混沌主要是一种时间演化行为，不直接涉及空间分布变化，所以暂不考虑偏微分方程。

例： Lorenz系统 Logistic 映射

L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)， 2．非线性  产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。也就是说，非线性是产生混沌的必要条件。从功能上看，非线性是通过线性来定义的，设G1和G2是任意两个(向量)函数，a和b是任意两个常数，若算子乙满足如下叠加原理: L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)， 则称L是线性算子，否则L是非线性算子。包含非线性算子的系统称为非线性系统。应当注意的是线性与非线性也不是绝对分明的。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度不同有关。现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线性是不可避免的。

3．对初始条件的敏感依赖性  1963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的“蝴蝶效应”。被冷落了12年之后，1975年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的“奇怪吸引子”上。这里所谓“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。

 真实球 虚拟球

今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！

后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0. 506127省略为0 后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。

逻辑斯蒂映射的形式为

Example : f(xn+1)=4xn(1-xn) brown: x0=0.6 green: x0=0.6001

Example : f(xn+1)=4xn(1-xn) brown: x0=0.37 green: x0=0.3701

Example : f(xn+1)=4xn(1-xn) i) 系统的变化看似毫无规则，但实际上是有迹可寻的。 ii)系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的分别（就例如0.6和0.6001仅仅相差六千分之一）， 在一段时间的演化后可带来南辕北辙的结果。

典型连续混沌系统——Chen系统

典型连续混沌系统——Lorenz系统

典型连续混沌系统——RÖssler系统

典型连续混沌系统——Chua系统

典型离散混沌映射

典型离散混沌映射

4．非周期性  在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函数f(x)，若能找到一个最小正数t满足关系f(x+t)=f(x)，则称f(x)是周期函数，t为其周期；否则f(x)就是非周期的, 非周期性意味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。这样，向着奇怪吸引子演化的系统，从来不以同样的状态重新经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是“不可预见的创新”的发生器。应当注意的是“非周期性”这个概念比“混沌’’要广、要大的多。比如，准周期是非周期的，但不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。混沌运动要求有“混合”的性质，即“对初始条件的敏感依赖性”。但这并不能因此说混沌运动就是杂乱而无用的，相反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周期排列或对称形状。

但是，混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之间存在着“自相似性”或“不尽相似”。在观察手段的分辨率不高时，只能看到某一个层次的结构；提高分辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺度上的结构。

5．分叉  分叉(bifurcation)是有序演化理论的基本概念，这是混沌出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为(稳定行为)可能发生定性的突然改变，即原来的稳定定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分叉。发生分叉现象的关节点叫做分叉点，在分叉点系统演化发生质的变化。动态系统演化中的分叉现象充分说明了量变引起质变的规律。分叉又是一种阈值行为，只要系统的非线性作用强到一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是产生混沌的系统，总可以观察到分叉序列。 

以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。

6.分形 分形性是指奇怪吸引子的结构具有自相似性和不可微性。它不是传统欧几里得几何中描述的直线、平面等整形几何形状所具有的可微性，而是分维的“分形”物，具有结构自相似性和不可微性(不连续性)。目前所发现的奇怪吸引子，如马蹄铁吸引子、洛伦兹吸引子、埃农(Michel Henon)吸引子、若斯勒(Otto ROssler)吸引子等都具有分形性。所以分形并非纯数学抽象的产物，而是对普遍存在的复杂几何形态的科学概括。自然界中分形体无处不在，如起伏蜿蜒的山脉、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸线等等。它与混沌的内随机性、对初始条件的敏感依赖性有本质联系。所以我们说： “混沌本质上是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的对初始条件具有极度敏感依赖性的回复性的非周期性行为状态”。

分形(fractal)－混沌世界的秩序 结构：由不断的图形迭代而成 利用简单的规则让系统复杂； 从复杂不可解的系统中找到简单美妙的秩序。

分形(fractal)－混沌世界的秩序 古典欧式几何：重视实际可测的量值 例如：长度、深度、厚度 分形：无法单纯用整数维度来描述

分形(fractal)－混沌世界的秩序 七十年代的数学家畢諾特‧曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)提出一个问题： 毛线团的维度是多少？ Answer：看你的观点而异

分形(fractal)－混沌世界的秩序 毛线的维度＝? 远距离來看，线团凝聚成点，维度为零； 再近一点，看出来毛线团点据球形的空间，维度扩展成三； 再走近一些，看出毛线团是由一根根毛线所构成，他的维度为一， And then ? 数据结果视观测者与其对象而改变。 这种概念也正是这个世纪物理学的中心思想。

分形几何的基本思想

欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体： 一维空间：线段，有长度，没有宽度； 二维空间：平行四边形，有周长、面积； 三维空间：球，表面积、体积； 自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：人有高度、山有海拔高度等。

有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？

英国的海岸线地图

当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。

得到的结论是：海岸线的长度是多少：决定与尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零； 而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。 海岸线什么有界？（长度、面积、体积显然无界）。

Koch 曲线

天空中的云朵 植物的叶子

自然界中的分形 山 星 云

星 云

二、混沌在通信中的应用

混沌同步 混沌系统的同步是指一个系统的混沌轨道收敛于另一个混沌系统的轨道，它们之间步调一致。

“好的混合变换通常是两个简单的非可交换运算的乘积。比如Hopf已经证明，如做馅皮的生面团可以通过下面的一系列操作进行混合：面团首先被揉搓成一个扁面皮，然后将它折叠，再搓揉，再折叠，如此往复。一个混合变换中的函数应该是复杂的，它的所有变量都应敏感，对任何一个变量来说，一个很小的变化都应引起输出的显著不同。” ——Shannon

混沌与密码学的关系 ●混沌与流密码学 流密码的核心 混沌 随机 密钥流 产生器 产生 不可预测 的混沌序列

混沌与密码学的关系 ●混沌与分组密码学 分组密码 混沌 混淆和扩散 对密钥敏感 增加信源的熵 对明文敏感 反复压缩和拉伸的混沌变换 混沌对初始条件和参数的敏感 增加信源的熵 混沌具有遍历性的性质 对明文敏感 混沌具有拓扑传递性

——混沌与密码学的关系 ●混沌与公钥密码学 公钥密码 混沌 已知部分结构重构出全部高维混沌系统； 单向函数 未知部分参数同步两个超混沌系统或时空混沌系统； ……

3.混沌掩盖

混沌掩盖

4.混沌开关

混沌开关

5.混沌调制

混沌调制

混沌在图像加密中的应用 加密后图像 原图像

混沌在图像加密中的应用 正确解密图像 错误解密图像

信息伪装：

作业

一、函数迭代 给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的

点都远离它，则它是排斥点。 例如，0 与 1 是 的不动点。0 是 吸引点，1是排斥点。 如果 则点集 形成一个 k 循环。 称为 k 周期点。k称为周期。

类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如 1 是 的预周期点。 迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代

当初值 时， 迭代序列收敛，否则 发散。

二、二次函数的迭代 对二次函数 做迭代: 迭代的几何直观图

练习 1 对几组不同的参数值 （如 )以及不同的初值 ，观察迭代是否收敛。 练习 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。

练习 3 找出一个参数 使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？ 练习 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗？ 对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证）

练习 5 如果某个值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 练习 6 根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些值对应吸引的不动点？哪些值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。

不动点的计算 从　　 得到 及

故当 0<a<1时，０为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1<a<3, ０为排斥点，(a-1)/ a为吸引点。 吸引的不动点与排斥的不动点 定理　设 是 的不动点，如果在 附近有 ，则 是 的吸引的不动点；否则， 是 的排斥的不动点。　 由于 故当 0<a<1时，０为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1<a<3, ０为排斥点，(a-1)/ a为吸引点。

2 周期点 得

三、Feigenbaum图 将区间（0, 4] 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 将区间（0, 4] 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。

练习 7 观察Feigenbaum图。 （1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？ （2） 从某一点 开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？ （3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？ （4）上述分支过程是否一直进行下去？

是否存在极限分支点 ? （5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？ 练习 8 在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3 的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？

四、混沌的特性 对初值的敏感性 练习 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？

非随机性 仍然考虑迭代 练习 10 从不同的初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？

五、其它函数的迭代 锯齿函数 练习 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。

帐篷函数 练习 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏感？ 找出帐篷函数的周期点。

其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数 的迭代行为相比较。

六、听一听混沌 练习 13 选取初值 （如 ），由迭代 产生迭代序列 ，根据 的大小 确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序 列。