第7章 线性离散系统的分析与校正 1

提纲 7-1 基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7-1 基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7-6 离散系统的动态性能分析 7-7 离散系统的数字校正 2

7-7 离散系统的数字校正 数字化设计方法: 无稳态误差最少拍设计(F(z)等于1) 有限时间响应的离散系统 当脉冲传递函数所有极点都分布在原点时，此时的系统具有一个很特别的响应，即在有限时间结束过渡过程，达到稳态 其单位脉冲响应 即在单位脉冲作用下，该系统的瞬态响应能在 nT 内结束，即 n 拍可结束过渡过程, 这个特点是连续系统所不具备的

7-7 离散系统的数字校正 D(z) G(z) - D(z) Gp(s) Y(s) E(z) E(s) R(s) T H0(s) U(z) R(z) Y(z) - E(z)

7-7 离散系统的数字校正 无稳态误差最少拍系统 离散系统的误差信号Z变换式： 　 最少拍(dead-beat)系统的含义是设计D(z)，使得当k>N，e(k)0且N最少 即： Dead beat 设计目标： 　（1）对典型输入信号的稳态偏差为零（在采样时刻上）； 　（2）对典型输入信号的过渡过程最短（一个T称为一拍）； 　（3）控制器是物理可实现的。

7-7 离散系统的数字校正 设典型输入信号： 则其z变换表达式为 式中m=i+1，且A(z)为不含（1- z-1) 因子的z-1多项式 典型输入r(t) Z[r(t)] r(t)=1(t) r(t)=t r(t)=t2/2 t^2/2叫单位抛物线函数 能否用A(z^{-1})而不用A(z)？解释一下，可用，就像G(s)和G(z)那样 A(z) 则其z变换表达式为 式中m=i+1，且A(z)为不含（1- z-1) 因子的z-1多项式

7-7 离散系统的数字校正 无稳态误差最少拍系统的设计分析步骤（根据性能指标要求）： （1）对典型输入信号的稳态偏差为零 根据终值定理 Dead beat control 为使系统的稳态误差为零，可令 F(z)为z-1的多项式（不含1- z-1因子） （2）对典型输入信号的过渡过程最短 ，F(z)项数越少(N越小)，响应速度越快。不妨取F(z)=1 下面分别分析不同典型输入下的系统设计

误差为0 最小拍 7-7 离散系统的数字校正 1）当典型输入为阶跃 由前，控制器： 设计的系统在一拍后即已经无偏差。

误差为0 最小拍 7-7 离散系统的数字校正 2）当典型输入为斜坡 由前，控制器： 设计的系统在2拍后即已经无偏差。

误差为0 最小拍 7-7 离散系统的数字校正 3）当典型输入为抛物线 由前，控制器： 设计的系统在3拍后即已经无偏差。

7-7 离散系统的数字校正 下图绘制的曲线分别是单位阶跃、单位斜坡、抛物线输入时，其输出响应为无稳态误差的最少拍系统。 r=1(t) r=t y*(t) T 2T 3T t T 2T 3T (a) 单位阶跃输入 (b) 斜坡输入 (c) 抛物线输入

7-7 离散系统的数字校正 无稳态误差最少拍系统设计结果如下表所示 典型输入 闭环脉冲传递函数 数字控制器D(z) 最少拍（T） 1T t   1T t 2T t 2 3T

7-7 离散系统的数字校正 例 7-4-1 已知离散控制系统结构如图所示。采样周期T=1秒。设计一数字控制器D(z)使系统对单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍响应系统。并绘制 R(s) X(s) Y(z) Y(s) 最少拍响应系统示意图 要说明一下e_2，x 解：1)求开环传递函数G(s)

7-7 离散系统的数字校正 解：2) 求开环脉冲传递函数G(z) 3) 求闭环脉冲传递函数(z)和e(z) (T=1s) 误差为0 最小拍 7-7 离散系统的数字校正 解：2) 求开环脉冲传递函数G(z) 3) 求闭环脉冲传递函数(z)和e(z) (T=1s) 令F(z)=1 为使系统的稳态误差为零 4) 求数字控制器D(z)

7-7 离散系统的数字校正 R(s) X(s) Y(z) Y(s) x(t) t 解：5) 各波形如图所示： y*(t) r(t) 1 解：5) 各波形如图所示： 该系统是针对斜坡输入来设计D(z)的, 假定输入为单位阶跃与抛物线，系统输出？系统适应能力如何？

7-7 离散系统的数字校正 y*(t) 1 2 3 4 斜坡输入 阶跃输入 抛物线输入 快速性方面：按单位斜坡输入设计的最少拍系统，在各种典型输入作用下，其动态过程均为二拍。 最小拍系统的调节时间只与e(z)的形式有关，而与典型输入信号无关 准确性方面：系统对单位阶跃和单位斜坡输入，在采样时刻均无稳态误差，但对单位加速度输入，采样时刻的稳态误差为常量T2； 动态性能方面：单位斜坡输入下的响应性能较好，单位阶跃输入响应性能较差，有100%的超调，故按某种典型输入设计的最少拍系统，适应性较差

7-7 离散系统的数字校正 （3）数字控制器实现问题 待求的数字控制器为 z 的(m-1)次多项式 　从上式看，当F(z)=1时，控制器的物理可实现，即D(z)的分子阶次＜＝分母的阶次，要求G(z)分母的极点最多只能比其零点多1个 M<=3时，B(z)的根在单位圆内 当F(z)=1,m<=3时，若G(z)有单位圆上或单位圆外零点, 则D(z)必有相同极点 当F(z)=1时，若G(z)在被(z-1)m抵消后,还有单位圆上或单位圆外极点,则D(z)必有相同零点 工程上不容许G(z)D(z)出现不稳定零极点对消

7-7 离散系统的数字校正 7 数字化设计方法: 无稳态误差最少拍设计(F(z)不等于1) (z)的零点包含G(z)在单位圆上或单位圆外的全部零点 e(z)=(1-z-1)mF(z)的零点包含G(z)在单位圆上或单位圆外的全部极点 若G(z)有d个滞后环节z-1，即G(z)的分母阶次比分子阶次高d阶，则(z)包含z-d 多项式Phi（z）和Phi_e（z）无极点！ Z^{-d}可举例

7-7 离散系统的数字校正 例 7-4-2 已知离散控制系统结构如图所示。采样周期T= 0.2秒。求D(z)，使系统对单位阶跃响应为最少拍响应系统。 R(s) Y(s) - 解：1)求开环脉冲传递函数G(z) 开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点: z=-1.065 一单位圆上的极点：z=1 一滞后环节：z-1

误差为0 7-7 离散系统的数字校正 为此，令 由关系式 所以

7-7 离散系统的数字校正 于是，求得的数字控制器D(z)为 G(Z)D(z)无不稳定零极点对消,且物理可实现 系统的单位阶跃响应输出为 系统输出从第二拍达到稳态　延长了一拍达到稳态。

7-7 离散系统的数字校正 8 数字化设计方法: 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计 y(t) 0 T 2T 3T 4T t 8 数字化设计方法: 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计 波纹即系统输出在采样时刻已达到稳态，而在两个采样时刻间输出在变化，如图所示。 0 T 2T 3T 4T t y(t)

7-7 离散系统的数字校正 回顾前例 E1(z) x(t) D(z)的输出未能在y*(t)进入稳态的同时作常值输出 t r(t) 1 E1(z) E2(z) R(s) Y(s) 按斜坡输入设计 D(z)的输出未能在y*(t)进入稳态的同时作常值输出 无纹波无稳态误差最少拍控制的必要条件： G(s)至少含m-1个积分环节 D(z)的输出在有限拍后作某个常值输出

7-7 离散系统的数字校正 为了使输出波纹消除，希望E2(z)在有限拍后作常值输出 Φ(z)的零点包含G(z)的全部零点

7-7 离散系统的数字校正 无纹波无稳态误差最少拍系统的设计原则 G(s)至少含m-1个积分环节 (z)包含G(z)的全部零点 e(z) =(1-z-1)mF(z)包含G(z)在单位圆上或单位圆外的全部极点 若G(z)有d个滞后环节z-1，则(z)包含z-d 25

7-7 离散系统的数字校正 例 7-4-3 已知离散控制系统结构如图所示。采样周期T=1秒。设计一数字控制器D(z)使系统对单位斜坡输入为无纹波无稳态误差的最少拍响应系统。 R(s) X(s) Y(z) Y(s) 最少拍响应系统示意图 解：1) 求开环脉冲传递函数G(z)

无纹波比有纹波增加一阶（G(z)一个单位圆内零点） 7-7 离散系统的数字校正 无纹波附加条件 解：2）选取(z)和e(z)，并求出 选取 为 无纹波比有纹波增加一阶（G(z)一个单位圆内零点） 由关系式 得

7-7 离散系统的数字校正 于是 所以 3）求取D(z) 此时可求 第三拍起作常值输出

要点回顾 离散系统的数字校正 引言 模拟化设计方法 数字化设计方法 将控制器先看成是连续的，设计好以后再离散化实现 将对象离散化后，设计离散的数字控制器 z域根轨迹法、最小拍控制等

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