基本不等式.

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基本不等式

新课引入

探究

A B C D E(FGH) a b

分析法:执果索因 证明基本不等式: 要证: ① ② 只要证: 要证②,只要证 ③ 要证③,只要证 ④ ④式显然成立.当且仅当a=b时, ④中的等号成立. 分析法:执果索因

探究: 在圆中,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.你能利用这个图形,得出不等式 的几何解释吗? A B C D E a b

例1(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? 结论1:两个正数积为定值,则和有最小值 解:(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m. 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最 短,最短的篱笆是40m.

例1.(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 结论2:两个正数和为定值,则积有最大值

例2: 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池(平面图如上图)。如果池四 单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水 池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池的 长和宽,使总造价最低,并求出最底造价。

解: 设污水处理池的长为 x m 、 宽为 ym,总造价为z元,则 xy=200 z=400· (2x+2y)+248×2y+80×200 =800x+1296y+16000. ≥ 当且仅当800x=1296y, 即x=18时,取等号。 答:池长18m,宽100/9 m时, 造价最低为30400元。

练习3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元,池壁每1m2的造价为120元, 问怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少元?

复习回顾

一、正 二、定 三、相等

备用练习

变式:若上题改成 结果将如何?