機率論 機率的描述 機率論簡介 條件機率及獨立 貝氏定理

機率的描述

Pr { 明天淡水不下雨 } = 0.7 明天在淡水有30％的可能性會下雨 Pr { 明天淡水下雨 } = 0.3 機率量度 A：事件 A’：A事件的對立事件

所有的可能結果 { 人頭，10圓 } { 正面，反面 } { 1 , 0 } { 1 , -1 }

所有的可能結果 一些機率值 { 1,2,3,4,5,6 } { 紅，黑 } Pr{ 出現3點 } = ? Pr{ 出現6點 } = ?

機率論簡介 有關「機率」的一些定義 一些用來描述機率值的方式 機率公設

有關「機率」的一些定義 實驗（Experiment） 試驗（Trial） 結果（Outcome） 確定性實驗（Deterministic experiment） 隨機實驗（Random experiment） 樣本空間（Sample space） 事件（Event） 對立事件（Complementary event） 互斥事件（Mutually exclusive）

一些用來描述機率值的方式 古典機率方式 相對次數方式 主觀的測度或判斷 Pr( A ) = #(A) / #(S) Pr( A ) = lim M∞ m(A)/M 主觀的測度或判斷

機率公設 在一個給定的實驗，其樣本空間為S，A1、A2、A3、、、為實驗可能的事件，機率量度Pr是一組函數，其滿足： (1) Pr( Ai ) ≧ 0 (2) Pr( S ) = 1 (3) Ai為互斥事件（i=1,2,3….）

事件機率 事件機率 聯合機率 邊際機率 條件機率 獨立

範例 有一個木箱中有100個微晶片，分別是由工廠I及工廠II所生產， 工廠Ｉ 工廠 II Total 不良品 15 5 20 良品 45 35 80 60 40 100

由箱子裡隨機抽取1個微晶片並且測試它的品質 事件機率 P(A) = P(不良品) = 20/100 = 0.2 P(B) = P(工廠 I 生產) = 60/100 = 0.6 聯合機率 P(A∩B) = P(工廠 I 生產的不良品) = 15/100 =0.15 邊際機率 P(A) = P(不良品) = P(A∩B) + P(A∩B’) = P(工廠 I 生產的不良品) + P(工廠 II 生產的不良品) = 0.15 + 0.05 = 0.2

條件機率及獨立 定義： 定理： 定理（乘法律）： 在給定事件B的條件下，A事件發生的條件機率，可定義為：P(A｜B) = P(A∩B) / P(B) ， P(B) > 1 定理： P(A∩B) = P(B) P(A｜B) if P(B) > 0 = P(A) P(B｜A) if P(A) > 0 定理（乘法律）：

範例 承上例 P(工廠 I 生產的不良品) = P(A∩B) = 0.15 P(已知為不良品，是自工廠 I 生產) = P(B｜A) = n(A∩B) / n(A) = 15/20 = 0.75 P(已知為工廠 I 生產，是不良品) = P(A｜B) = n(A∩B) / n(B) = 15/60 = 0.25

範例 一個桶子內有5個黑球、3個紅球、2個白球，由桶子內隨機抽機4個球（抽出後不放回），試求第1個球為黑球，笫2個球為紅球，笫3個球為白球，第4個球為黑球的機率。 A1為第1個球為黑球之事件 A2為第2個球為紅球之事件 A3為笫3個球為白球之事件 A4為第4個球為黑球之事件

事件的性質 獨立事件 相依事件 互斥事件

獨立事件 定義： A，B兩個事件稱為獨立事件，如果：P(A∩B)=P(A)P(B) 說明： 係指一事件的發生不影響其他事件發生

範例 有一雙引擎飛機，已知其引擎損壞的機率為0.01，請問該飛機因引擎損壞而無法飛行的機率為何： Pr(兩個引擎同時損壞) = 0.01 * 0.01 = 0.0001

相依事件 定義： 說明： A，B兩個事件稱為相依事件，如果：P(A∩B)≠P(A)P(B) 且 P(A∩B)不為空集合 係指一事件的發生會影響其他事件發生

互斥事件 定義： A，B兩個事件稱為互斥事件，如果：P(A∩B)為空集合 說明： 係指事件間的沒有共同的元素

貝氏定理 分割與全機率 樹狀圖 全機率 貝氏定理

分割與全機率 樣本空間 B2 B1 Bk B3 分割 A事件

樹狀圖 A1 P(A1|B1) P(A1|B1)+P(A2|B1)=1 B1 A2 P(A2|B1) P(B1) P(A1|B2) A1 P(B1)+P(B2)+P(B3)=1

全機率

貝氏定理

範例 承上例 已知抽出的微晶片是不良品，請問該微晶片是由工廠I所生產的機率為： Pr(B) = n(B)/n(S) = 0.6 Pr(A) = n(A)/n(S) =0.2 Pr(A｜B) = n(A∩B) / n(B) = 0.25 已知抽出的微晶片是不良品，請問該微晶片是由工廠I所生產的機率為： Pr( B | A ) = ( Pr( B )Pr( A | B) ) / Pr(A) =0.6*0.25/0.2 = 0.75

範例 林先生每日開不同的車（福特或BMW）上班，已知開BMW和福特的機率分別為： 又開BMW和福特上班遲到的機率分別為： 遲到的機率為何？ Pr(開BMW) = 0.8 ， Pr(開福特) = 0.2 又開BMW和福特上班遲到的機率分別為： Pr(遲到｜開BMW) = 0.2 ， Pr(遲到｜開福特) = 0.5 遲到的機率為何？ Pr(遲到) = Pr(開BMW) Pr(遲到｜開BMW) + Pr(開福特) Pr(遲到｜開福特) = 0.26 當上班遲到時，開BMW的機率為何？ Pr(開BMW｜遲到) = Pr(開BMW)Pr(遲到｜開BMW) / Pr(遲到) = 0.16/0.26 = 0.6154

範例 經調查後可以得到下列的機率值： 吃檳榔的機率（全機率）為： 現有一人吃檳榔，其得到口腔癌的機率（P(B1|A1)）為： 在有關吃檳榔是否會得到口腔癌的相關研究中，有下列四個事件： B1：患口腔癌 P(B1)=0.02 B2：沒有口腔癌 P(B2)=0.98 A1：吃檳榔 A2：沒吃檳榔 經調查後可以得到下列的機率值： P(A1|B1)=0.1 （患口腔癌有吃檳榔的機率） P(A1|B2)=0.0082 （沒有患口腔癌有吃檳榔的機率） 吃檳榔的機率（全機率）為： P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+ P(B1)P(A1|B1)= 0.1*.002+0.0082*0.98=0.01 現有一人吃檳榔，其得到口腔癌的機率（P(B1|A1)）為： P(B1|A1)=(0.1*0.002)/(0.1*.002+0.0082*0.98)=0.2

範例 A1 P(A1|B1)=0.1 B1 A2 P(B1)=0.02 P(A1|B2)=0.0082 A1 B2 A2 P(B2)=0.98 P(B1)+P(B2)=1 全機率 P(A1)=0.02*0.1+0.98*00082=0.01 事後機率 P(B1|A1)=(0.1*0.002)/0.01=0.2