文耀光博士 香港教育學院 數學及資訊科技學系 古代數學問題 及 其對數學教學的啟示 文耀光博士 香港教育學院 數學及資訊科技學系

數學史的教育價值 (蕭文強教授) 數學史就是數學本身 吸收和運用數學史，既充實了 自己，也豐富了教學。

運用數學史的方式 (John Fauvel與蕭文強教授) 課堂中加插數學家的軼事和言行。 開始講授數學概念時，先介紹它的歷史發展。 以數學名題及解答講授有關數學概念；以數學史的關鍵事 例去說明有關的技巧方法；以數學史的著名錯誤或誤解去 幫助學生克服困難。 利用原著數學文獻設計課堂習作。 指導學生製作富數學史興味的壁報、專題探討、特輯、戲 劇或錄像等。 利用數學史作為指引，設計整體課程。

古代數學問題對現今教學有何啟示？ 可作一題多解的示例。 提高學生學習數學的興趣。 對照古今的解法，可擴闊學生的視野。 透過欣賞及分析古代數學問題的解法，可提升個人的解 題技巧。 以古題為切入點，可刺激學生思考如何解決相關或更一 般的問題。 以古為鑑，可避免因陷入錯誤思維而導致錯誤的結論。

古代數題的例子

古人如何約分 (更相減損法) 《算數書》曰： 『以子除母，母亦除子，子、 母數交等者，即約之矣。』 2019/4/19 《算數書》曰： 『以子除母，母亦除子，子、 母數交等者，即約之矣。』 《九章算術 》曰：『可半者，半之。不可半者， 副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求 其等也，以等數約之。』

例子

求最大公因數的常用方法 列舉法 短除法 質因子分解法 輾轉相除法

更相減損法 中國古代數學具算法 化(algorithmic)的特色 更相減損法便是一個 例子 吳文俊教授

如何解雞兔問題？ 《孫子算經》： 『今有雉兔同籠，上有三十五頭， 下有九十四足。問雉兔各幾何？』

方法一：半足法 (金雞獨立法) 如何解讀這種算法？ 頭 35 足 94 頭 35 半足 47 35 12 23 (雞數) 12 (兔數) 半 其 足 下 減 上 上 減 下 如何解讀這種算法？

半足法 各有多少隻? 半其足 頭35 → 足94 半足47

...... ...... 下減上 頭35 → 35 半足47 12 兔子有12隻

上減下 雞有23 隻 35 → 23 12 兔有12隻

其他方法(一)：以翼作足法 把每隻雞的雙翼看作雞足，那麼雞和兔都變成4 足動物， 其腳數共有：35  4 = 140 (隻)。 多出的腳數共有：140 – 94 = 46 (隻)。 雞數：46  2 = 23 (隻) 兔數：35 – 23 =12 (隻)

其他方法(二)：兔來雞往法 假設全部是雞，共35隻。 共欠腳數：94 – 2×35 = 24 (隻)。 若採用一雞換一兔的策略，則每次可增加2足。 兔數：24  2 = 12 (隻) 雞數：35 – 12 = 23 (隻)

其他方法(三)：列方程 假設雞有 x 隻。 那麼兔有 (35 – x) 隻。 ∴ 2x + 4× (35 – x) = 94 雞數 = 23 (隻) 兔數 = 35 – 23 = 12 (隻)

思考： 以上方法涉及了多少步運算？

其他方法(四)：繪圖法 Herr, T., & Johnson, K. (2001). Problem solving strategies: Crossing the river with dogs and other mathematical adventures. (2nd edition). Berkeley, CA: Key Curriculum Press.

日本的鶴龜算 “某處有鶴龜百頭，只云足數和為二 百七十二， 問鶴龜各幾何？” 答：龜三十六，鶴六十四

古人如何量度高山 或 大建築物的高度？

古希臘的泰利斯利用相似三角形 的方法測量金字塔的高度 可以用比例計算。 多高? 建築師,金字塔有多高？

中國古人如何處理類似問題？

海島算經

立兩根杆子AB和CD， 它們之間的距離為d； 兩根杆子的影長分別是BE、DF； 設 DT = BE， 則「黃甲與黃乙部分的面積相等」，

∴ ACDB的面積 =GHIJ的面積 AE’QP與CJGK的面積 相等 (∵ BE=DT) ∵ AE’QP與NBAL的面 積相等 ∴ CJGK與NBAL的面 積相等 NBAL的面積+ACDB的 面積=CJGK的面積 +GHIJ的面積 ∴ ACDB的面積 =GHIJ的面積 P Q E’

ACDB的面積 = dh GHIJ的面積 = HI‧a 其中 a =a1 – a2。

怎樣看數學史？ 頭盤? 主菜? 甜品?

Prof. M. Kool’s Suggestions (Netherlands) Use historical problems in your teaching for reasons of variety and to give your pupils something extra! The extras that historical problems bring to your pupils are historical insights and mathematical insights.  Historical problems may intervene at the end of the learning process as an extra exercise or the application of a new learned mathematical topic, or at the beginning to stimulate pupils to develop their own individual strategies.