1．知识与技能 掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理． 2．过程与方法 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

本节重点：演绎推理的含义及四种演绎推理规则． 本节难点：演绎推理的应用．

1．演绎推理的特点 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．其主要特点有： (1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中． (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．

(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化． 2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系 (1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

(2)人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色． (3)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．

一、演绎推理 从 出发，推出 情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 的推理． 二、三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的 ； (2)小前提——所研究的 ； (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的 ． 一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 一般原理 特殊情况 判断

三、三段论的表示形式 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结　论： . 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么 . S是P S中所有元素也都具有性质P

[例1]　试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数； (2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式． [分析]　分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键．

[解析]　(1)大前提：一次函数都是单调函数； 小提提：函数y＝2x－1是一次函数； 结论：y＝2x－1是单调函数． (2)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q； 小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列； 结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式． [点评]　分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论，要抓住它们的含义，即大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

用三段论的形式写出下列演绎推理： (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直； (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角； (3)循环小数是有理数，所以0.33是有理数；

[解析]　(1)因为每个菱形的对角线相互重直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提) 所以正方形的对角线相互垂直．(结论) (2)因为两个角是对顶角则两角相等，(大前提) ∠1和∠2不相等，(小前提) 所以∠1和∠2不是对顶角．(结论) (3)因为所有的循环小数是有理数，(大前提)

[例2]　已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心． 求证：MN∥平面ACD. [证明]　如图，连结BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连结PQ.

[点评] 本题为一个三段论推理的问题，首先是在△PBQ中，由BMMP＝21 ，BNNQ＝21，得MN∥PQ [点评]　本题为一个三段论推理的问题，首先是在△PBQ中，由BMMP＝21 ，BNNQ＝21，得MN∥PQ.又有MN⊄平面ACD，PQ⊂平面ACD，从而有MN∥平面ACD.

为了养成严谨的推理习惯、提高抽象思维能力，应详细地分析几何推理求证问题的每一个证明步骤，找准大前提、小前提和结论，但书写起来非常繁琐，一般可以从实际出发，省略大前提或小前提，采用简略的符号化写法．

如图所示，在正四面体ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证四边形EFGH为菱形．

[例3]　用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数． [分析]　证明本例所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键．

[点评]　证明函数的单调性，必须利用定义．其中作差变形是关键，常用技巧有因式分解、配方、通分、有理化等．

[例4]　如图所示，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD.

[错解]　在△ABC中，因为CD⊥AB，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD. [正解]　因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°， 所以∠A＋ACD＝∠B＋∠BCD＝90°， 在△ABC中，AC＞BC，∴∠B＞∠A， ∴∠ACD＞∠BCD.

一、选择题 1．演绎推理的特征为 (　　) A．前提为真时，结论一定真 B．前提为真时，结论可能真 C．前提为真时，结论一定假 D．前提为真时，结论不确定真假 [答案]　A

2．下列说法中正确的是 (　　) A．演绎推理和合情推理都可以用于证明 B．合情推理不能用于证明 C．演绎推理不能用于证明 D．以上都不对 [答案]　B

[答案]　C

4．在不等边三角形ABC中，a为最长边，要想得到其对角∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是(　　) B．a2＝b2＋c2 C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2 [答案]　C

二、填空题 5．用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是____________． [答案]　减函数的定义

6．(2010·徐州高二检测)已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________． [答案]　一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形．

三、解答题 7．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E为PC的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD (2)求证：BE∥平面PAD. [证明]　(1)由PA⊥底面ABCD知PA⊥CD. 又因为CD⊥AD， PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.

(2)如图，取PD的中点F，连结EF，AF，由E为PC的中点，得EF为△PDC的中位线，则EF∥CD，且CD＝2EF (2)如图，取PD的中点F，连结EF，AF，由E为PC的中点，得EF为△PDC的中位线，则EF∥CD，且CD＝2EF.又因为CD＝2AB，故EF＝AB，故AB∥CD，得EF∥AB，所以四边形ABEF为平行四边形，则BE∥AF.又因为BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.