现代控制理论基础
第2章 控制系统的状态方程求解 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法 第2章 控制系统的状态方程求解 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化 2.4 线性定常离散系统状态方程的求解
2.1.线性定常连续系统状态方程的解 可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。 2.1.1 齐次状态方程的解 所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入u(t) = 0的情况。故齐次方程为：
设初始时刻 t0= 0 ，初始状态为x0 sX(s) x0 = AX(s) (sI A)X(s) = x0 X(s) = (sI A) 1 x0 x(t) = L1 [(sI A) 1 ] x0
逐项变换 x(t) = e At x0 当初始时刻为t0 ≠ 0，初始状态为x(t0)时 x(t) = e A(t t0) x(t0)
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解； 2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于e At(或e A(t t0) )，故称其为状态转移矩阵。一般写为 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵eAt 。
例：已知系统的状态方程为： 试求在初始状态 时的状态解。 解：1. 求eAt
2. 求x(t)
2.1.2 状态转移矩阵： 1.定义：线性定常系统，初始时刻t0 ，满足以下矩阵微分方程和初始条件 的解Φ(t),定义为系统的状态转移矩阵。
讨论： （1）满足上述定义的解为Φ(t) =eAt (t0=0) 证明：
所以当 Φ(t)=eAt时， 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t) （2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元素均为时间函数。
2.性质： （1）Φ(0) = I （2）
例：已知
（3）Φ 1( t t0 ) = Φ(t0 t) Φ 1( t t0 ) = Φ(t0 t) （4） Φ(t1 + t2 ) = Φ(t1 ) Φ( t2 ) = Φ( t2 ) Φ(t1 ) Φ(t1 + t2 ) = e A(t1+ t2) = e At1 e At2 Φ(t2 + t1 ) = e A(t2+ t1) = e At2 e At1
（5）[Φ(t )]k = Φ(k t ) （6）Φ( t2 t1 )Φ(t1 t0) = Φ( t2 t0 ) （7）如果 AB = BA，则e (A+B) t = e At e Bt （8） ，变换前后状态转移矩阵之间的关系为 Φ( t ) = P 1 e A t P 前 后
（9）若A = diag[1， 2，… , n ]
若
2.1.3 非齐次状态方程的解： 1. 直接求解法
结论：非齐次状态方程的解由两部分组成： a).由初始状态产生的自由分量—零输入解 b).由输入引起的强迫分量—零状态解 c).根据最优控制规律选择输入函数,获得最优轨迹
sX(s) x (0) = AX(s) + BU(s) (sI A)X(s) = x (0) + BU(s) 拉氏变换法 sX(s) x (0) = AX(s) + BU(s) (sI A)X(s) = x (0) + BU(s) X(s) = (sI A) 1 x (0) + (sI A) 1BU(s) x(t) = L1 [(sI A) 1 ] x (0) + L1 [(sI A) 1BU(s) ]
例：已知系统 试求x(0)=0，u(t)=1(t) 时的状态解。 解：1.求eAt 2. 求x(t)
2.1.4 系统的脉冲响应及脉冲响应矩阵 所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u(t)为单位脉冲函数δ(t)，系统的输出称为脉冲响应。 在单变量系统定义脉冲响应函数为 h(t)=L-1[G(s)] 在 时系统单位脉冲响应为:
SISO系统， h(t)= y(t)，脉冲响应函数为 h(t)=L 1[C(sI A )1B] G(s) = C(sI A )1B = L[h(t)] MIMO系统，h(t) y(t)。
小结：本节主要讨论了状态求解的问题： 1.齐次状态方程的解： 2.非齐次状态方程的解：
3.状态转移矩阵： 定义：满足矩阵微分方程 的解Φ(t) 4.脉冲响应矩阵：
结 束