结构力学 建筑工程系 付向红

第 1 章 绪 论 §1-1 结构力学的学科内容和教学要求 建筑物和工程设施中承受、 1、结构 传递荷载作用的部分称为工程 第 1 章 绪 论 §1-1 结构力学的学科内容和教学要求 1、结构 建筑物和工程设施中承受、 传递荷载作用的部分称为工程 结构，简称为结构。 房屋中的梁柱体系桥梁、 水坝等等都是工程结构 的例子。

第 8 章 渐进法及其他算法简述 §8-1 力矩分配法的基本概念 1、线性代数方程组的解法: 2、结构力学的渐近法 第 8 章 渐进法及其他算法简述 §8-1 力矩分配法的基本概念 1、线性代数方程组的解法: 直接法 渐近法 力学建立方程，数学渐近解 2、结构力学的渐近法 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。 3、位移法方程的两个特点: kij (1)每个方程最多是五项式； kik kii kir (2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij， 适于渐近解法。 kis 4、不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。

SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关， 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 力矩分配法 一、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 SAB=4i SAB=3i 1 1 SAB=i SAB=0 1 SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关， 而与近端支承无关。

二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD SAB = 4i 1 SAB= 3i SAB= i M 如用位移法求解： C A B D iAB iAC iAD 于是可得 M MAD MAB MAC 分配系数

三、传递系数 MAB = 4 iAB A MBA = 2 iAB A MAB = 3iABA A MAB= iABA l A B 近端 远端 MAB = 3iABA A B A MAB= iABA MBA = - iAB A A A B 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。

= + 单结点的力矩分配 ——基本运算 A B C 固端弯矩带本身符号 MAB MBA MBC MB MBC MB MBA A B C MABP MBAP MBCP + -MB -MB A B C 最后杆端弯矩： MBA = MBAP+ MBC = MBCP+ MAB= MABP+ 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。

= + 例1. 用力矩分配法作图示连续梁 的弯矩图。 （1）B点加约束 167.2 M图(kN·m) 115.7 200kN 20kN/m MAB= 90 300 A B C MBA= 3m 6m EI MBC= A B C 200kN 20kN/m 60 MB= MBA+ MBC= （2）放松结点B，即加-60进行分配 设i =EI/l 计算转动刚度： -150 150 -90 + SBA=4i SBC=3i -60 0.571 0.429 A B C 分配系数： -17.2 -34.3 -25.7 = 0.571 0.429 分配力矩: A B C -150 150 -90 -17.2 -34.3 -25.7 -167.2 115.7 -115.7 (3) 最后结果。合并前面两个过程

§8-2 多结点的力矩分配 ——渐近运算 C A B C D B MAB MBA MBC MCB MCD MB MC mBA mBC §8-2 多结点的力矩分配 ——渐近运算 C A B C D B MAB MBA MBC MCB MCD MB MC mBA mBC mCB -MB MC’ 放松，平衡了 固定 -MC’ 固定 放松，平衡了 放松，平衡了 固定

B C  m 例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 20kN/m 100kN A B C D 6m 4m EI=1 EI=2 0.4 0.6 0.667 0.333 B m -60 60 -100 100 -33.4 -66.7 -33.3 分配与传递 14.7 29.4 44 22 -7.3 -14.7 -7.3 1.5 2.9 4.4 2.2 -0.7 -1.5 -0.7 0.2 0.3 0.4 C Mij -43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 92.6 43.6 41.3 A B C D 21.9 M图（kN·m） 133.1

A B C D 6m 4m EI=1 EI=2 20kN/m 100kN 43.6 133.1 41.3 21.9 M图（kN·m） 92.6 51.8 56.4 6.9 Q图（kN） A B C D 68.2 43.6 B 求支座反力 68.2 56.4 124.6

上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法： B C 将上式改写成 余数 B=48.84 C=-82.89 48.88 -82.06 第一次 近似值 (1) 24 -66.67 20 -8 将上式改写成 2.4 -6.67 2 -0.8 (2) 0.24 -0.67 余数 0.2 -0.08 (3) B=48.84 C=-82.89 结 果 精确值 48.88 -82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =

力矩分配法小结： 结点不平衡力矩 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算： 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） 固端弯矩之和 加传递弯矩 （第一轮第二、三……结点） 结点不平衡力矩 传递弯矩 （其它轮次各结点） 总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。

B C 例2. B C A D F E 4m 5m 2m q=20kN/m A B C D F E 1 1 1 mBA= 40kN·m mBC= - 41.7kN·m mCB= 41.7kN·m A B C D F E 0.3 0.4 0.445 0.333 0.3 0.222 40 -41.7 -41.7 -9.3 -18.5 -9.3 -13.9 43.5 46.9 24.5 14.7 3.45 1.7 9.8 4.89 3.3 3.3 4.4 2.2 -0.5 -1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9 -4.65 -0.25 1.65 -4.90 M图 0.07 1.72

例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。 M M/2 A B C 1m 5m EI=常数 D 50kN A B C 1m 5m EI=常数 D 50kN·m 5/6 1/6 25 50 -20.8 -4.2 -20.8 +20.8 +50 M A B M/2

m 用力矩分配法计算，作M图。 5m 1m 4m 取EI=5 4EI 2EI i=4 i=2.5 MB=31.25－20.83=10.42 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 20kN 5m 1m 4m 20kN 20 A 取EI=5 4EI 2EI B i=4 i=2.5 C MB=31.25－20.83=10.42 MC=20.83－20－2.2=－1.37 E F 结点 杆端 A E B C F AB EB BE BA BC CB CF FC m μ (－20) 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 31.25 －20.83 20.83 －1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20 0.42 0.84 0.53 0.27 －0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09

m 结点 杆端 A E B C F AB EB BE BA BC CB CF FC μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 31.25 －20.83 20.83 (-20) －2.74 －3.29 －4.39 －1.37 －2.20 0.84 0.53 0.27 0.42 －0.10 －0.14 －0.18 －0.05 －0.09 0.03 0.06 0.03 0.02 －0.01 －0.01 －0.01 M －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29 计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中 力偶(顺时针为正)

m 3m 2i i 1.5m i SAG=4i SAC=4i SCA=4i 4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μAC=0.5 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m 3m 2i i ↓↓↓↓↓↓ 20kN/m 1.5m i A C E G H SAG=4i SAC=4i SCA=4i 4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μAC=0.5 2i μCA=0.4 μCH=0.2 μCE=0.4 结点 杆端 A C E AG AC CA CH CE m μ 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4 －15

m 7.11 7.11 2.63 结点 杆端 A C E AG AC CA CH CE μ 0.5 0.4 0.2 －15 2.63 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 20kN/m 7.11 2.63 结点 杆端 A C E AG AC CA CH CE m μ 0.5 0.4 0.2 －15 2.63 0.78 7.5 7.5 3.75 1.58 0.79 1.58 － 0.75 －1.50 －0.75 －1.50 － 0.75 0.37 0.38 0.19 M图（kN.m) 0.79 － 0.04 －0.08 －0.03 －0.08 － 0.04 0.02 0.02 M －7.11 7.11 2.36 －0.78 －1.58 －0.79

2 i S = 2 i S = i + = m i + = m 12 ) 2 ( 3 ql l q m = 例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。 l1 l2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q A B D C I1 E I2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q 解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为i1，i2 ↓↓↓↓↓↓↓ q E B F 2i1 2 1 i S BE = 2 i S BF = 2i2 2 1 i BF + = m 2 1 i BE + = m BE BF μ 12 ) 2 ( 3 1 ql l q m BE = i 2 1 + 2 1 i +

μ BE BF 2 1 i + m i2 i1 M图 M 当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。 A B D C E F 当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1>20i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。 由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。 如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。