特 征 值 与 特 征 向 量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质

一、特征值与特征向量的概念 定义： 设A 是n阶矩阵，如果数 与n维非零列向量 x使得 称 为A的一个特征值， x 为对应于特征值  的特征向量。 注： 1. 特征值向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的. 2. n 阶方阵A 的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值 ， 3.  是A 的特征值，则 的特征向量的全体加 零向量 构成 Rn 的线性 子空间，记 V ,其维数为 n-r(E- A)

这是一个n 次方程，称为矩阵A的特征方程 记 它是一个n次多项式， 称为A 的特征多项式。 注： 在复数域中，特征值有n个（包括重数） 在一般数域中不然。

求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. 计算A的特征多项式 2. 求A的特征方程 的全部根， 即A的特征值 3. 对特征值 求齐次线性方程组 的非零解，就是对应于 的特征向量。

例1 解 当 时 ,由 所得所对应的特征向量为:

当 时 ,由

例２ 解 当 时 ,由 解得 基础解系： 即

当 时 ,由 而 解得 基础解系：

例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则 是特征值的性质 证明 再继续施行上述步骤 次，就得

二、特征值和特征向量的性质 1. 设n 阶方阵A的特征值为： 则 称为矩阵的迹 A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。

若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量，则 (1). k 是矩阵 kA 的特征值 (2). m 是矩阵Am的特征值 (3).设 则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值 (4).当A可逆时， 是矩阵 的特征值 为A的伴随矩阵A*的特征值

定理 设 是方阵A的特征值， 是与之对应的特征向量，如果 各不相等，证明 线性无关。 证明 则 即 类推之，有

把上列各式合写成矩阵形式，得

推论 设 是n 阶方阵A的不同的特征值， 是A对应于 的线性无关 的特征向量，则向量组 线性无关。 定理 是n 阶方阵A的k 重特征值 ，V是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数 dim (V)  k , 即几何重数不超过代数重数。

注意 １.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． 3的说明

思考题

矩 阵 的 对 角 化

相似矩阵的定义 定义 矩阵A,B 都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使 P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似， 记 A~B 相似矩阵的性质 1 易得: 若 A与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似, kA 与 kB 相似， g(A) 与 g(B) 相似.

若n 阶矩阵A与B 相似，它们有相同的特征多项式， 因而 有相同的特征值，相同的行列式，相同的迹。 相似矩阵的性质 即 A的迹 B的迹 4.若n阶方阵A与对角阵 则 是A的特征值

利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个

利用上述结论可以 很方便地计算矩阵 A 的多项式 .

二、矩阵相似于对角阵的条件 对n阶方阵A，若可找到可逆矩阵P，使得 为对角阵，称为把矩阵A对角化。 定理 n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化） 的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。 推论 若A有n个不同的特征值，则 A 可对角化。 定理证明：

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解

当 时， 由 解之得 基础解系 当 时， 由 求得基础解系 显然 线性无关 即 A 有3个线性无关的特征向量，所以A可对交化。

由 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵.

例 判断 能否对角化？若能对角化，求出矩阵P，使 为对角阵，并求 An 解

当 时， 由 解之得基础解系 同理当 时， 可解得其特征向量： 所以 可对角化. 则 令

注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．

例 设矩阵 问a,b,c为何值时A 相似于对角阵？ 并求出它相似的对角阵 解 显然A的特征值为1，2 并且都是2重特征值 ，因此 对应于=1 ，与=2都应有两个线性无关的特征向量。 所以 E-A 与2E-A 的秩都应为2

显然 显然 所以 a=c=0，b 任意，并且

习题　ｎ阶矩阵Ａ满足　　　　　　　　　 　　 证明：Ａ能相似于对角矩阵。

实对称矩阵的对角化

正交矩阵定义： 正交矩阵的性质： 证明见下页 (2) 正交矩阵的行向量与列向量都是 标准正交向量组 (3) 若 A 、B 都是正交矩阵， 则AT, A-1, AB 也是正交矩阵 (4) 若 A 是正交矩阵, 则 (5) 正交矩阵的特征值只能为

下面给出列向量两两正交的证明 把矩阵A按行分块

例 判别下列矩阵是否为正交阵． 解 (1) 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 所以它不是正交矩阵．

(2) 由于 所以它是正交矩阵．

定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 对称矩阵的对角化 1. 对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明

证明 于是

定理3 设A 为实对称矩阵， 则存在正交矩阵Q， 其中 为A的特征值

证:对Ａ的阶数用数学归纳法。 当ｎ＝１时，结论显然成立。 假设当ｎ＝ｋ-1是时，结论成立， 设Ａ为看k 阶实对称矩阵，因为Ａ的特征根全为实数，所以至少有一个实特征向量，不妨设为１为Ａ的实特征向量，且为单位向量，１为对应的特征值， 有标准正交化过程知，必能找到ｋ－１个ｋ维向量， 为两两正交的单位向量组， 则Ｑ１为正交矩阵，且

其中 为ｋ－１阶实对称矩阵，有归纳假设，存在ｋ－１阶 正交矩阵Ｐ使得，

显然Ｑ为正交阵，且 显然Ｑ为正交矩阵，且 此定理说明，ｎ阶实对称矩阵一定有ｎ个线性无关的特征向量

推论　设Ａ为ｎ阶对称矩阵，则其代数重数 　　　与几何重数相等。 即，设Ａ为ｎ阶对称矩阵，是Ａ的特征方程的 ｒ重根，则Ａ恰有ｒ个线性无关的特征向量。 即　 齐次线性方程组 的基础解系含有ｒ个解向量。

二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 2. 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4.

例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. 解 (1)第一步 求 的特征值

第二步　求出Ａ的特征向量 当 　　　时， 解之得基础解系 当 　　　时， 解之得基础解系

当 　　　时， 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化

（2）解： 求出A 的特征值 求出Ａ的特征向量 当  = 8时 得特征向量 单位化

当  = 5时， 得 特征向量 正交化得 单位化得

取 正交矩阵 得

思考题

思考题 1. n阶是实对称矩阵A满足 且A的秩为 r， 求行列式 的值 2. n阶方阵A满足以上条件，结论如何？