特 征 值 与 特 征 向 量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质.

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特 征 值 与 特 征 向 量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质

一、特征值与特征向量的概念 定义: 设A 是n阶矩阵,如果数 与n维非零列向量 x使得 称 为A的一个特征值, x 为对应于特征值  的特征向量。 注: 1. 特征值向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的. 2. n 阶方阵A 的特征值,就是使齐次线性方程组 有非零解的值 , 3.  是A 的特征值,则 的特征向量的全体加 零向量 构成 Rn 的线性 子空间,记 V ,其维数为 n-r(E- A)

这是一个n 次方程,称为矩阵A的特征方程 记 它是一个n次多项式, 称为A 的特征多项式。 注: 在复数域中,特征值有n个(包括重数) 在一般数域中不然。

求矩阵特征值与特征向量的步骤: 1. 计算A的特征多项式 2. 求A的特征方程 的全部根, 即A的特征值 3. 对特征值 求齐次线性方程组 的非零解,就是对应于 的特征向量。

例1 解 当 时 ,由 所得所对应的特征向量为:

当 时 ,由

例2 解 当 时 ,由 解得 基础解系: 即

当 时 ,由 而 解得 基础解系:

例4 证明:若 是矩阵A的特征值, 是A的属于 的特征向量,则 是特征值的性质 证明 再继续施行上述步骤 次,就得

二、特征值和特征向量的性质 1. 设n 阶方阵A的特征值为: 则 称为矩阵的迹 A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值,事实上 有相同的特征多项式。

若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量,则 (1). k 是矩阵 kA 的特征值 (2). m 是矩阵Am的特征值 (3).设 则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值 (4).当A可逆时, 是矩阵 的特征值 为A的伴随矩阵A*的特征值

定理 设 是方阵A的特征值, 是与之对应的特征向量,如果 各不相等,证明 线性无关。 证明 则 即 类推之,有

把上列各式合写成矩阵形式,得

推论 设 是n 阶方阵A的不同的特征值, 是A对应于 的线性无关 的特征向量,则向量组 线性无关。 定理 是n 阶方阵A的k 重特征值 ,V是其对应的 特征子空间,则特征子空间的维数 dim (V)  k , 即几何重数不超过代数重数。

注意 1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量. 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值. 3的说明

思考题

矩 阵 的 对 角 化

相似矩阵的定义 定义 矩阵A,B 都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似, 记 A~B 相似矩阵的性质 1 易得: 若 A与 B 相似,则 Am 与 Bm 相似, kA 与 kB 相似, g(A) 与 g(B) 相似.

若n 阶矩阵A与B 相似,它们有相同的特征多项式, 因而 有相同的特征值,相同的行列式,相同的迹。 相似矩阵的性质 即 A的迹 B的迹 4.若n阶方阵A与对角阵 则 是A的特征值

利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个

利用上述结论可以 很方便地计算矩阵 A 的多项式 .

二、矩阵相似于对角阵的条件 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使得 为对角阵,称为把矩阵A对角化。 定理 n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化) 的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。 推论 若A有n个不同的特征值,则 A 可对角化。 定理证明:

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵? 解

当 时, 由 解之得 基础解系 当 时, 由 求得基础解系 显然 线性无关 即 A 有3个线性无关的特征向量,所以A可对交化。

由 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵.

例 判断 能否对角化?若能对角化,求出矩阵P,使 为对角阵,并求 An 解

当 时, 由 解之得基础解系 同理当 时, 可解得其特征向量: 所以 可对角化. 则 令

注意   即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应.

例 设矩阵 问a,b,c为何值时A 相似于对角阵? 并求出它相似的对角阵 解 显然A的特征值为1,2 并且都是2重特征值 ,因此 对应于=1 ,与=2都应有两个线性无关的特征向量。 所以 E-A 与2E-A 的秩都应为2

显然 显然 所以 a=c=0,b 任意,并且

习题 n阶矩阵A满足             证明:A能相似于对角矩阵。

实对称矩阵的对角化

正交矩阵定义: 正交矩阵的性质: 证明见下页 (2) 正交矩阵的行向量与列向量都是 标准正交向量组 (3) 若 A 、B 都是正交矩阵, 则AT, A-1, AB 也是正交矩阵 (4) 若 A 是正交矩阵, 则 (5) 正交矩阵的特征值只能为

下面给出列向量两两正交的证明 把矩阵A按行分块

例 判别下列矩阵是否为正交阵. 解 (1) 考察矩阵的第一列和第二列, 由于 所以它不是正交矩阵.

(2) 由于 所以它是正交矩阵.

定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 对称矩阵的对角化 1. 对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说 明,均指实对称矩阵. 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明

证明 于是

定理3 设A 为实对称矩阵, 则存在正交矩阵Q, 其中 为A的特征值

证:对A的阶数用数学归纳法。 当n=1时,结论显然成立。 假设当n=k-1是时,结论成立, 设A为看k 阶实对称矩阵,因为A的特征根全为实数,所以至少有一个实特征向量,不妨设为1为A的实特征向量,且为单位向量,1为对应的特征值, 有标准正交化过程知,必能找到k-1个k维向量, 为两两正交的单位向量组, 则Q1为正交矩阵,且

其中 为k-1阶实对称矩阵,有归纳假设,存在k-1阶 正交矩阵P使得,

显然Q为正交阵,且 显然Q为正交矩阵,且 此定理说明,n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量

推论 设A为n阶对称矩阵,则其代数重数    与几何重数相等。 即,设A为n阶对称矩阵,是A的特征方程的 r重根,则A恰有r个线性无关的特征向量。 即  齐次线性方程组 的基础解系含有r个解向量。

二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法   根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵,其具体步骤为: 1. 2. 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4.

例 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵 , 使 为对角阵. 解 (1)第一步 求 的特征值

第二步 求出A的特征向量 当    时, 解之得基础解系 当    时, 解之得基础解系

当    时, 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化

(2)解: 求出A 的特征值 求出A的特征向量 当  = 8时 得特征向量 单位化

当  = 5时, 得 特征向量 正交化得 单位化得

取 正交矩阵 得

思考题

思考题 1. n阶是实对称矩阵A满足 且A的秩为 r, 求行列式 的值 2. n阶方阵A满足以上条件,结论如何?