2.3 平面与回转体表面相交 回转体截切的基本形式 截平面 截平面 截交线 截交线

截交线的性质：  截交线是截平面与回转体表面的共有线。  截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。  截交线都是封闭的平面图形。

求平面与回转体的截交线的一般步骤： ⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。

2.3.1 平面与圆柱体面相交 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 倾斜 平行 圆 椭圆 两平行直线 P PV P PV P PV P 垂直 倾斜 平行 圆 椭圆 两平行直线

例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。 平面与圆柱相交 5’ 5” 由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。 具体步骤如下： 4’ 6” 4” （2）再作出适当数量的一般点。 （4）补全侧面投影中的转向轮廓线。 （1）先作出截交线上的特殊点。 （3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。 3’ 7” 3” (7)’ 2’ 8” 2” 1” 1’ 7 8 6 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅶ Ⅱ Ⅳ Ⅵ Ⅷ 1 5 2 4 3

比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。 平面与圆柱相交 ﹥45° ﹤45° =45°

例2：求左视图 虚实分界点

在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。

例3、 补画被挖切后立体的投影 。 分 析： 该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直线段。 平面与圆柱相交

作图步骤如下： （1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。 Q P 平面与圆柱相交 Q P

例4：求左视图 解题步骤： 同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。 ★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 ● ● ★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

2.3.2 平面与圆锥面相交 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。 双曲线 PV α θ= 0°＜α 过锥顶 两相交直线 抛物线 PV θ α θ=α 圆 PV θ θ= 90° PV 椭圆 α θ θ＞α

例1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。 此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线——正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。 平面与圆柱相交 Ⅱ Ⅳ 正垂线 Ⅲ 正平线 Ⅰ

具体步骤如下： 4” Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅰ （1）先作出截交线上的特殊点。 （2）再作一般点。 平面与圆锥相交 （3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。 2’ 2” 5’6’ 6” （4）补全侧面转向轮廓线。 5” 3’4’ 4” 3” 7’8’ 7” 8” 1’ 1” Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 正平线 正垂线 4 6 8 1 2 7 5 3

例2:求圆锥被截切后的正面投影. 分析:截交线的正面投影为双曲线. 作图: 1 求特殊点。 最高点 最低点 2 求一般点。 3 连线。

2.3.3 平面和球相交 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 平面与球相交

例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。 两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （3）依次连接各点的水平投影。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 2’ 1 1’ 2 3’ 4’ 4 3 2’ 5’ 6’ 6 5 平面与球相交 2 3’ 4’ 5’ 6’ 4 3 1’ 6 5 1 1 2 3 4

2.3.4 复合回转体的截切 例：求作顶尖的俯视图 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

小 结 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 小 结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。

三、解题方法与步骤 ⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。

⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。