第五讲 线性代数中的数值计算问题

【引 例 】求下列三阶线性代数方程组的近似解 MATLAB程序为： A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4]； b=[5;6;5]； x=A\b

在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b： 1 5 -2 -1 2 4 b=[5;6;5] b = 5 6 5 然后只需输入命令x=A\b即可求得解x： x=A\b x = 2.7674 1.1860 1.3488

一、 特殊矩阵的实现

1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可 以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式 如下： 一、 特殊矩阵的实现 常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde) 矩阵等。 1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可 以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式 如下： zeros(m)：产生m m阶零矩阵； zeros(m,n)：产生m n阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)； zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。 一、 特殊矩阵的实现 2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。 【例1】 试用ones分别建立32阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。 用ones(3,2) 建立一个3 2阶幺阵： ones(3,2) % 一个32阶幺阵 ans =1 1 1 1

3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的 矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立， 使用格式与zeros相同。 一、 特殊矩阵的实现 3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的 矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立， 使用格式与zeros相同。 4.数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。 5.对角阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的 矩阵称为对角阵。我们可以通过MATLAB内部函数diag， 利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构 成一个向量。使用 格式为diag(V)和diag(V,k)两种。

【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。 一、 特殊矩阵的实现 6.用一个向量V构成一个对角阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个nn(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。 【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。 MATLAB程序如下：

一、 特殊矩阵的实现 v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 % 按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C v =[1;2;3]; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0

一、 特殊矩阵的实现 7.从矩阵中提取某对角线 我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为m  n阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个元素的向量。diag(A,k)的功能是： 当k＞0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k＜0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第|k|条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)。

【例3】 已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。 MATLAB程序如下： 一、 特殊矩阵的实现 【例3】 已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。 MATLAB程序如下： A=[1 2 3;4 5 6]; % 建立一个已知的23阶矩阵A % 按各种对角线情况构成向量B、C和D B=diag(A) B = 1 5 C=diag(A,1) C = 2 6 D=diag(A,-1) D = 4

8.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k) 一、 特殊矩阵的实现 8.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k) 设A为mn阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个m n阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu (A)

一、 特殊矩阵的实现 【例4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。 MATLAB程序如下： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7]; % 一个已知的43阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1) 9.下三角阵：使用格式为tril(A)、tril(A,k) tril的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。用法与triu相同。

10.空矩阵 A=[0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6]; B=find(A>1.0) B = [ ] B=[ ] 一、 特殊矩阵的实现 10.空矩阵 在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确是很有用的。例如 A=[0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6]; B=find(A>1.0) B = [ ] 这里[ ]是空矩阵的符号，B=find(A>1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如： B=[ ]

二、矩阵的特征值 与特征向量

对于NN阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数λ和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式： 二、矩阵的特征值与特征向量 对于NN阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数λ和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式： A. x=λ x 则称λ为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。 对一般的N N阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。

二、矩阵的特征值与特征向量 MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特征值与特征向量。eig函数的使用格式有五种，其中常见的有E=eig(A)、[V,D]=eig(A)和[V,D]=eig(A,’nobalance’)三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：E=eig(A,B)和[V,D]=eig(A,B)。

(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E； 二、矩阵的特征值与特征向量 (1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E； (2) [V,D]=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成NN阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予NN阶方阵V的对应列，且A、V、D满足AV=V D； (3) [V,D]=eig(A,’nobalance’)：本格式的功能与格式(2)一样，只是格式(2)是先对A作相似变换(balance)，然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换；

(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。 二、矩阵的特征值与特征向量 (4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。 (5) [V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成NN阶满秩矩阵，且 满足AV=B V D。

【例5】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相应的特征向量，且验证之。 二、矩阵的特征值与特征向量 【例5】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相应的特征向量，且验证之。 A =[ 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ]; 执行eig(A)将直接获得对称矩阵A的三个实特征值：

而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量E： E=eig(A) E = -0.0166 二、矩阵的特征值与特征向量 eig(A) ans = -0.0166 1.4801 2.5365 而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量E： E=eig(A) E = -0.0166

三、行列式的值

【例6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。 三、行列式的值 MATLAB提供的内部函数det用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵A为一方阵(必须是方阵)，求矩阵A的行列式值的格式为：det(A)。注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列式的值。关于如何构造稀疏矩阵，将在本章最后一节介绍。 【例6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。 A=rand(3) A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214 det(A) ans = 0.4289

四、 矩阵求逆及其 线性代数方程组求解

则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 1 . 矩阵求逆 若方阵A,B满足等式 A*B = B*A = I (I为单位矩阵) 则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。

【例7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 【例7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; B=inv(A) B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000 A*B ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 B*A ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

利用求系数矩阵A的逆阵A-1，我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程组Ax=b，等号两侧各左乘A-1，有： 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 2. 矩阵求逆解法 利用求系数矩阵A的逆阵A-1，我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程组Ax=b，等号两侧各左乘A-1，有： A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得： x=A-1b

【例8】试用矩阵求逆解法求解例6.20中矩阵A为系数矩阵的线性代数方程组Ax=b的解。 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 【例8】试用矩阵求逆解法求解例6.20中矩阵A为系数矩阵的线性代数方程组Ax=b的解。 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; b=[2;-3;1]; x=inv(A)*b x = -3.8000 1.4000 7.2000

对于线性代数方程组Ax=b，我们可以运用左除运算符“\”象解一元一次方程那样简单地求解： x=A\b 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 3. 直接解法 对于线性代数方程组Ax=b，我们可以运用左除运算符“\”象解一元一次方程那样简单地求解： x=A\b 当系数矩阵A为N*N的方阵时，MATLAB会自行用高斯消去法求解线性代数方程组。若右端项b为N*1的列向量，则x=A\b可获得方程组的数值解x（N*1的列向量）；若右端项b为N*M的矩阵，则x=A\b可同时获得同一系数矩阵A、M个方程组数值解x（为N*M的矩阵），即x(:,j)=A\b(:,j)，j=1,2,…M。

四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解

解法1：分别解方程组 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 解法1：分别解方程组 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1]; b1=[2;-3;1]; b2=[3;4;-5]; x=A\b1 x = -3.8000 1.4000 7.2000 y=A\b2 -3.6000 -2.2000 4.4000 得两个线性代数方程组的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2

解法2：将两个方程组连在一起求解：Az=b 四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解 解法2：将两个方程组连在一起求解：Az=b b=[2 3;-3 4;1 -5] z=A\b z = -3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000 很明显，这里的解z的两个列向量便是前面分别求得的两组解x和y

习题 1、解方程组Ax＝b，分别用求逆解法与直接解法求其解。 2、编一个m程序，求N阶方阵A的行列式的值。