复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn 线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn

布置习题 P 186: 20. 22. 24. 26. 28. 30*. 31*. 34*. 36*.

三、内积的坐标表示 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中任意取定 一个基 ε1, ε2 , ...,εn ，对 V 中任意两个向量  ， 有  ， 的内积用矩阵可表示为 矩阵 A 称为基 ε1, ε2 , ...,εn 的 度量矩阵 (metric matrix).

四、标准正交基 定义 4.11 在欧氏空间 V 中，一组非零向量，如果它们两两正交(mutually orthogonal) ，就称它为 正交向量组。 定理 4.6 设α1,α2,…,αm (m≤n) 是 n 维欧氏空间 V 中的正交向量组，则α1,α2,…,αm 线性无关。

定义 4.12 在 n 维欧氏空间 V 中，由 n 个 两两正交的非零向量所构成的正交向量组称为 正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基。 定理 4.7 任一 n 维欧氏空间(n≥1) 都必有 正交基(orthogonal basis) 。 构造正交基 — 施密特正交化过程

定义(投影) 若  与  是 n 维内积空间中的 向量，则  到  的标量投影(scalar projection)为 则  到  的向量投影(vector projection) η为  - η ⊥ 

例：令矩阵 试求：A 的列空间的一组标准正交基； 解: 显然 A 的3个列向量线性无关，它们构成 R4 的3 维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过程 正交化、标准化同时进行，令 令

令 向量组 q1，q2 ，q3 就是 A 的列空间的一组标准正交基.

定理(QR分解) 若 A 是一秩为 n 的 m×n 阶矩阵，则A 可以 分解为乘积 QR, 其中 Q 为列正交的m×n 阶矩阵， R 为对角线元素均为正的 n×n 阶上三角阵。

超定方程组的最小二乘解 给定一个 m×n 阶方程组 AX=b， 其中 m> n，这类方程组通常是不相容的。 只能期望找到一个近似解 X’，使得AX’ 尽可能接近 b 二者的残余误差 (residual)最小 即向量 b 和向量 AX’ 最接近，距离最小 使得这个距离最小化的X’ 称为方程组的最小二乘解. 令 p= AX’ ， p 就是 A 的列空间中最接近 b 的向量. 如何寻找X’？ 要用到子空间的直和、正交等概念 结论： AX=b 的最小二乘解是 X’=R-1 QT b

例：求方程组 Matlab 验证 的最小二乘解. 解: 设 AX’= QR X’= b，则 R X’= QT b = y 回代求解 RX’= y, 得

若ε1, ε2 , ...,εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个 标准正交基，任一向量  ∈ V ，设 标准正交基上的坐标 若ε1, ε2 , ...,εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个 标准正交基，任一向量  ∈ V ，设 标量投影 用εi 与上式两边做内积，可得 利用标准正交基的度量矩阵，两个向量的内积变得 非常简单

例：已知欧氏空间 R4 的向量组： (1) 证明  1， 2， 3， 4 是 R4 的一个标准正交基； (2) 若向量  = 3 1+2 2+4 3 -5 4 ，求||  ||和( ， ). 解: (1) 因为 所以  1， 2， 3， 4 是 R4 的一个标准正交基. (课本)先求  在标准正交基下的坐标，再点乘 的坐标.

定理 4.8: 设 ε1, ε2 , ..., εn 是 n 维欧氏空间 V 中的一个标准正交基，若： 其中 A=[ ai j ]n ×n ，则向量组η1, η2 , ..., ηn 是 标准正交基的充要条件是 A 为一个正交阵. 证明: 因为ε1, ε2 , ..., εn 是标准正交基

即向量组 η1, η2 , ..., ηn 是标准正交基的充要条件是 于是，向量 ηi , ηj 的内积为 XT Y的形式 从而 的充要条件是 即向量组 η1, η2 , ..., ηn 是标准正交基的充要条件是 即 A 是一个正交阵. 证毕. 也就是说，同一欧氏空间中，两组标准正交基间的 过渡矩阵是正交阵。

§ 4.4 子空间的交、和、直和及正交 目的：了解子空间相互之间的关系与运算 一、子空间的交与和 定义 4.13 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间， 则W1 ，W2 的交是 W1 ，W2 的和是

定理 4.9 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的子空间， 则W1 ∩W2 ， W1 + W2 都是V 的子空间. (3) 如果α∈ W， λ∈ P 则 λα∈ W； 因为 0∈ W1 ，0∈ W2 ，故 0∈ W1 ∩W2 ， W1 ∩W2 非空；

设α，β∈W1∩W2，则α，β∈W1， α，β∈W2 因为Wi (i = 1，2) 是子空间，所以 k∈F α+β∈W i ，kα∈Wi ； 于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，因此， W1∩W2是 V 的子空间. 再证明W1 + W2 是V 的子空间，记 W= W1 + W2 因为 0∈ W1 ，0∈ W2 ，故 0∈ W1 + W2 ， W 非空；

设α，β∈W，则有 由于 W1 ， W2 是 V 的子空间： k∈F，kαi∈Wi ；于是 根据定理 4.1， W1 + W2 是 V 的子空间. 证毕.

例：在线性空间 R3 中，若 则它们都是 R3 的子空间，并且：

例: 设α1, α2 , ... , αl 与 β1 , β2 , ... , βs 是线性空间 V 中的两个向量组，则有 L(α1, α2 , ... , αl ) + L(β1 , β2 , ... , βs ) = L(α1, α2 , ... , αl ,β1 , β2 , ... , βs ) . 证明：设 对 W1 + W2 中任一向量 η= α+β，其中 α∈W1，β∈W 2，所以 α、β 都属于W 3，即

另一方面W 3中的任一向量 记 于是证明了 L(α1, α2 , ... , αl ) + L(β1 , β2 , ... , βs ) = L(α1, α2 , ... , αl ,β1 , β2 , ... , βs ) .

性质 设 W1 ，W2 ，W3 是线性空间 V 的子空间， 则它们满足交换律与结合律： (1) 交换律： (2) 结合律：

例：在三维几何空间V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，且它们相交于直线 L 定理4.10(维数公式) 设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1 + dimW2 =dim(W1 + W2)+ dimW1 ∩W2 . 例：在三维几何空间V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，且它们相交于直线 L ． 则：W1，W2，L都是V3的子空间，并且W1∩W2=L V3中每个向量α可以表示成W1中一个向量与W2中一个向量的和，所以W1+W2=V3 由于dimW1=dimW2=2，dimL=1,dimV3=3，因此有

定理4.10(维数公式) 设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1 + dimW2 =dim(W1 + W2)+ dimW1 ∩W2 . 证明：设W1,W2的维数分别是n1，n2， W1∩W2的维数是m． 取W1∩W2的一个基 将它扩充成W1的一个基 同理可将它扩充成W2的一个基 因此

根据例2，我们有 作线性组合 令 由(4.2)第一行知， α ∈W1；由第二行知α ∈W 2；所以 α ∈ W1∩W2 ，可经向量组γ线性表示 由(4.2)

由于 是W2的一个基 由(4.2)，有 由于 是W1的一个基

因此，要(4.1)成立，只能是 所以，向量组 线性无关. 由定理4.4(2) — L(α1, α2 , ... , αl ) 的维数等于 向量组α1, α2 , ... , αl 的秩. 故W1+W2的维数是

即维数公式成立：设 W1，W2 是线性空间 V 的子空间，dimW1 + dimW2 =dim(W1 + W2)+ dimW1 ∩W2 .

例：W1=L(α1，α2)，W2=L(β1，β2)，其中 α1=(1，2，1，0)T，α2=(1，1，1，1) T， β1=(2，1，0，1)T，β2=(1，1，3，7 )T， 求W1与W2的和与交的基及维数． 解：因 W1+W2= L(α1,α2) + L(β1,β2) = L(α1,α2,β1,β2) 所以，W1+W2 的维数是向量组α1,α2, β1,β2 的 极大线性无关组所含向量的个数； 将它们构成矩阵，做初等变换，得

这表明α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3． 同时也知道，β2可经α1，α2，β线性表示，其形式为 β2= -α1+4α2+3β1 故3β1－β2∈W1∩W2． 因为 α1，α2线性无关，β1，β2线性无关． 由维数公式易得 dim(W1∩W2) = 2 + 2 – 3 = 1 故α1- 4α2=(5，-2，-3，-4) 是W1∩W2的一个基．

二、子空间的直和 目的：方便空间分解，解决向量表示方法 的唯一性问题 定义 4.14 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，如果和W1+W2 中，每个向量 η 的 分解式是唯一的(或者说都能唯一地表示为) 那么称这个和是子空间W1 ，W2 的直和（direct sum），记作

定理 4.11 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，W1+W2 是直和的充要条件是等式 只有在 α1，α2 全为零向量时才成立. 证明: (1)充分性，设向量η∈ W1+W2 若向量η 有两个分解式 于是 其中 由定理条件

说明对于任意向量η∈ W1+W2， 分解式是唯一的 (2)必要性，由定义 4.14 — (和W1+W2 中，每个向量的分解式是唯一，称这个和是子空间W1 ，W2 的直和)，必要性显然成立. 判断是否为直和，只要检验零向量的分解式 是否唯一.

推论1 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，W1+W2 是直和的充要条件是等式 证明: (1)充分性，假设有等式 则 由假设知 零向量的表示方法是唯一的，所以W1+W2 是直和.

证明: (2)必要性，任取向量η∈ W1∩W2，于是零向量可表示为 因为是直和，所以 因而证明

推论2 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，W1+W2 是直和的充要条件是： dimW1 + dimW2 =dim(W1 + W2) (4.4) 由维数公式得 (4.4) 成立 反之，由(4.4)成立，可知 dimW1 ∩W2 =0 即可推出 dim(W1 ∩W2 ) ={0} 所以 W1+W2 是直和.

推论3 设 W1 ，W2 是 n 维线性空间 V 的两个 子空间，如果： dimW1 + dimW2 > n 则 W1 ，W2 必含有非零公共向量. 证明: 因为，由 又由于 即可推出 dim(W1 ∩W2 ) > 0 所以 W1 ，W2 必含有非零公共向量.

总结定理4.11及其3个推论 ：设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个子空间，则下列陈述彼此等价： 和W1+W2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W1，α2∈W2，则α1=α2＝θ； W1∩W2=0； dim(W1+W2)=dimW1+dimW2 ．

定义 4.15 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，如果

定理 4.12 设 W1 是 n 维线性空间 V 的一个 子空间，则一定存在W1 的补子空间W2，使得： 证明: 设 dimW1 = s, 令 α1, α2 , ... , αs 为 W1 的一个基，我们把它扩充为 V 的一个基 取W2 = L(αs+1, αs+2 , ... , αn ) ， 则有 V = W1+W2 ，并且 W1∩W2= {0}. 故 于是证明了 W2 就是所求的W1 的补子空间.

V 的每一个子空间都有补空间． 但是，一个子空间的补空间未必唯一． 例如，在V3中，设W是过原点O的一个平面， 则任意一条经过点O，但不在W上的直线 都是W的补空间． 显然，补空间的概念与补集的概念是不同的， 不要混淆．

例：在线性空间 R3 中，显然有

子空间的交、和、直和的概念可推广到多个 子空间的情况： 如果和空间每一个向量的分解式唯一： 则称它为直和，记为：

二、子空间的正交 定义 4.16 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，如果对于任意的 α∈W1，β ∈ W2 ，都有 那么称子空间W1 与 W2 正交，记作 若 V 中向量η 对 W1 中任一向量α 都满足 则称η 与 W1 正交，记为 η ⊥ W1 .

因为只有零向量与自身正交，于是有 (1) 若 W1 ⊥ W2 ，则 W1∩W2= {0}. (2) 若 α∈W1 ，且α ⊥ W1 ，则 α= 0. 定理 4.13 若子空间 W1 ，W2 ，… , Ws 两两正交，则

证明: 在每个子空间Wi中取一个正交基 由于子空间两两正交，所以如下向量组也是 一个正交向量组 且 ∑Wi 中任一向量α可由此向量线性表示， 故它可以作为 ∑Wi 的一个基，则

由于表示式唯一，故 定义 4.17 设 W1 ，W2 是线性空间 V 的两个 子空间，如果 W2 ⊥ W1，且W1 + W2 = V， 那么称子空间W1 是 W2 的正交补. 显然正交补是相互的.

例：设 W 是齐次线性方程组的解空间 则系数矩阵列向量的生成子空间 L(α1, α2 , ... , αm) 是 W 的正交补. 证明： 设 X= [x1, x2, ..., xn ]T 是 W 中的任一解向量，显然 对任一向量α∈ L(α1, α2 , ... , αm) ，有 即 W ⊥ L(α1, α2 , ... , αm)

设 dim L(α1, α2 , ... , αm) = r 则 dim W = n-r 且 dim W + dim L(α1, α2 , ... , αm) = n = dim Rn 即 W + L(α1, α2 , ... , αm) = Rn 由定义知 L(α1, α2 , ... , αm) 是 W 的正交补.

定理 4.14 n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 W 都存在唯一的正交补，记为 W ⊥ . 若W是 n 维欧氏空间 V 的一个子空间，则 因此，对任一向量α∈ V，都可以被唯一地分解成 我们称α1 为 α 在子空间 W 上的内射影(或正射影).

例：设 W 是欧氏空间R5 的一个子空间，已知 W=L(α1，α2 ，α3)，其中 α1=(1，1, 1, 2，1)T，α2=(1，0，0，1, -2) T， α3=(2, 1，1，0，2 )T， 求W⊥与向量 (3, -7，2，1，8 )T 在W上的正投影． 解：由定理4.14推论， W⊥中任一向量 X= [x1, x2, ..., xn ]T 与向量 α1,α2，α3 正交， 由此得到齐次线性方程组 其基础解系为 α4=(2, -1，3，-2，0 )T， α5=(4, -9，3，0，2 )T

则 α4 ，α5 构成 W⊥ 的一个基，即W⊥ =L(α4 ，α5 ) 其中 故 α 在W 上的正射影为

本章小结 A. 概念与理论： (1) 线性空间，子空间的定义 (2) 线性空间，子空间常用基本性质 (3) 基、维数和坐标的概念 (4) 过渡矩阵、度量矩阵、坐标变换公式 (5) 欧几里得空间，内积、范数、夹角、标准正交基 (6) 子空间的交、和、直和及正交. B. 计算方法： (1) 判断向量组是否构成线性空间 (2) 给定基求向量坐标，基变换、坐标变换 (3) 欧氏空间内的各种运算 (4) 施密特正交化过程.