第七章 萬有引力定律 7-1 克卜勒行星運動定律 7-2 萬有引力定律 7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋 7-4 重力場和重力加速度 7-5 人造衛星 7-6 失重狀態

7-1 克卜勒行星運動定律 (1/5) 天文發展簡史 1.西元二世紀，托勒米提出「地心說」。 2.西元十六世紀，哥白尼提出「日心說」。 3.西元十六世紀，第谷對星球的位置進行 系統性的長期觀測。 4.西元十七世紀，克卜勒提出「行星運動定律」 5.西元十七世紀，牛頓提出「萬有引力定律」。

7-1 克卜勒行星運動定律 (2/5) 哥白尼解釋火星逆行現象的示意圖 天 幕 [說明]： 當地球追及火星的前後，從地球看火星的視線由向上 六個月之後 6 3 5 4 2 一個月之後 1 天 幕 從地球看火星的視線 [說明]： 當地球追及火星的前後，從地球看火星的視線由向上 轉成向下(3、4、5月)，火星出現逆行現象。

7-1 克卜勒行星運動定律 (3/5) 克卜勒第一定律 橢圓abc (1)橢圓半長軸長 a (2)橢圓半短軸長 b (3)橢圓焦距 c c 所有的行星各在以太陽為焦點的橢圓形軌道上運行。 橢圓abc a b (1)橢圓半長軸長 a c S (2)橢圓半短軸長 b (3)橢圓焦距 c (4)橢圓離心率 e = c a [問題]：近日距= ； 遠日距= 。 a－c a＋c

lim lim 7-1 克卜勒行星運動定律 (4/5) 克卜勒第二定律 DA 面積速率 Dt Dq 1 = r2 2 Dt 1 r2w = 行星與太陽的連線在相同時間內，掃過相同的面積 。 面積速率 DA Dt lim Dt0 Dq = Dt lim Dt0 2 1 r2 2 1 r2w = 例題7-1 = 定值

7-1 克卜勒行星運動定律 (5/5) 克卜勒第三定律 行星公轉週期平方和橢圓軌道半長軸的三次方成正比 T2 = 常數 a3 例題7-2

7-2萬有引力定律 (1/4) 萬有引力定律 GMm F = r2 任何兩個質點之間都彼此互相吸引，吸引力的量值和它們的質量的乘積成正比，和它們之間的距離的平方成反比。 GMm F = r2 [說明]： 兩均勻球體之間的吸引力，相當於 兩球體的質量各自集中在其球心處 的質點，因此彼此之間的吸引力方向 皆沿著兩球體的連心線。

7-2萬有引力定律 (2/4) GMm F = r2 卡文迪西的扭擺實驗 - 萬有引力常數G的測量 [說明]： 兩鉛球的質量、距離皆可測量， 再測量反射光線的角度變化即可算出 扭力大小，將這些數據代入萬有引力 的式子中，即可算出萬有引力常數。

7-2萬有引力定律 (3/4) 地球質量、密度的測定 mg 地球 [說明1]： 如右圖，物體所受重力 GMEm F =mg= RE2 若測得g、RE、G，即可計算地球質量。 [說明2]： 若將地球視為均勻球體，則其平均密度 ME rE= RE3 3 4 p

7-2萬有引力定律 (4/4) 重力加速度 (1) 地球內部的重力加速度 4 p rEGr g= 3 RE (2) 地球外部的重力加速度 GME g= r 2 例題7-3

7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋 (1/3) 牛頓對克卜勒第一定律的解釋 r F 連心力 [說明]： 牛頓以力學三大運動定律為基礎，結合萬有引力定律、 微積分，從數學上直接證明： 如果行星和太陽之間的吸引力是連心力且遵守距離平方 反比定律，則行星環繞太陽的公轉軌道應為橢圓形， 太陽為其焦點。

7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋 (2/3) l 牛頓對克卜勒第二定律的解釋 r F [說明]： 行星所受的萬有引力為連心力，所以相對太陽而言， 行星所受的力矩恆為零，因此行星的角動量守恆。  行星在軌道上的速度切線分量 v⊥= rw  行星的角動量 l =rmv⊥= mr2w 將 r2w = l m 代入面積速率的式子中 面積速率 2 1 r2w = 2m  =定值

7-3 牛頓對克卜勒定律的解釋 (3/3) 牛頓對克卜勒第三定律的解釋 F [說明]： 設行星繞日的軌道為圓形軌道，由於 行星作圓周運動所需的向心力，來自於 太陽對行星的萬有引力，所以 F=ma F 改寫成 GMSm r2 = m T2 4p2r  T2 = 4p2 GMS =Ks (定值) r 3 每個繞日行星的 均相同。 T2 r3

7-4重力場和重力加速度 (1/2) 重力場 重力場強度 何謂『重力場』？ 萬有引力作用的空間 F M m (1)定義：將測試質點放入空間中某點，其所受 萬有引力 與其質量m的比值。 g = m  F

7-4重力場和重力加速度 (2/2) 重力場強度 (2)重力場強度的合成 重力場為向量，當場源有數個時， 應以向量加法的方式合成。 m g1  g1 + g2 +… g2 g M1 例題7-4 M2

7-5 人造衛星 (1/4) 如果物體在地球表面的高處以足夠大的水平初速發射， 則其軌道可從通常落至地面的拋物線，轉變成環繞地球 的圓形軌道，甚至橢圓形的軌道。

7-5 人造衛星 (2/4) 人造衛星的運行原理 (1) 運行軌道為圓軌道 地球對衛星的萬有引力，做為圓周運動的向心力 GMEm r2 = v2 = GME r v  GMEm r2 = m T2 4p2r r 3 T = GME 2p  [問題]：試證明地表衛星(離地200km)的週期約為90分鐘

7-5 人造衛星 (3/4) 人造衛星的運行原理 (2) 運行軌道為橢圓軌道 GMEm a2 = m T2 4p2a a 3 T2 =  [說明]：在橢圓軌道上的衛星，其速率不是定值， 必須利用克卜勒第二定律(等面積)計算。 [問題]：試證明地表衛星(離地200km)的週期約為90分鐘 地球對衛星的萬有引力，做為圓周運動的向心力

7-5 人造衛星 (4/4) 同步衛星 何謂同步衛星? 衛星的公轉週期和地球的自轉週期相等 [問題1]：同步衛星為何在赤道正上方? 例題7-5 [問題2]：同步衛星離地面的高度是多少?

7-6 失重狀態 (1/2)

7-6 失重狀態 (2/2) [說明]： 如右圖，磅秤的讀數代表人的『視重』。 [問題1]：若右圖中的人與磅秤均在地球上， 為何磅秤的讀數代表人所受的重力? [問題2]：若右圖中的人與磅秤均在環繞地球飛行的 太空梭上，此人是否不再受重力作用? 此時磅秤與人的作用力為若干?

例題7-1 右圖所示的行星軌道上，A點離太陽 最近，稱為近日點；B點離太陽最遠， 稱為遠日點。若取太陽為參考原點， 則行星在近日點或遠日點的速度， 分別垂直於其位置向量。A點的位置 向量以rA表示，B點的位置向量以rB 表示，試求： (1)行星在近日點和遠日點的速率比值。 (2)已知地球的近日點和太陽之間的距離為14.7×107 km ， 遠日點和太陽之間的距離為15.2 ×107 km，計算上題中 的比值。

例題7-2 天文學家常以地球和太陽之間的平均距離，作為一個 長度單位，稱為天文單位（AU）。當彗星通過地球的 上空時，經由天文觀測，可以推算彗星的軌道形狀。 哈雷彗星的軌道為一橢圓，其近日點和遠日點至太陽 的距離分別為0.53 AU和35.1 AU。試求該彗星經多少年 後會重訪地球？

地球表面的重力加速度為g，月球質量約為地球的 、半徑約為地球的 ，則： (1) 在月球表面質量為 m 之物體的重量為何？ 例題7-3 地球表面的重力加速度為g，月球質量約為地球的 、半徑約為地球的 ，則： (1) 在月球表面質量為 m 之物體的重量為何？ (2) 月球表面的重力加速度為何？？ 1 3 80 11

例題7-4 月球表面的重力場強度約為地球的1/6，則以下各量在 月球表面測量所得，為在地球表面測量所得的幾倍？ (1) 以相同初速鉛直上拋一石子，其最大高度？ (2) 以相同高度、相同初速水平拋射一石子，落回水平 地面的射程？ (3) 相同擺長及擺錘的單擺，作小角度擺動時的週期？ (4) 以相同彈簧鉛直懸掛一物體，上下振動的週期？

例題7-5 1957年10月前蘇聯成功地發射人類史上的第一顆人造衛星 ─ 史波尼克一號(Sputnik I)，它環繞地球的軌道為橢圓形。該衛星離地的最小高度為28 km(此位置稱為近地點)，最大高度為947 km (此位置稱為遠地點)，試求此衛星的週期。