中国科学院自动化研究所 流形学习问题 杨 剑 中国科学院自动化研究所 2004年12月29日

维数约简 中国科学院自动化研究所 增加特征数 提高准确性 增加信息量 增加训练分类器的难度 维数灾难 解决办法：选取尽可能多的, 可能有用的特征, 然后根据需要进行特征约简.

特征约简 中国科学院自动化研究所 依据某一标准选择性质最突出的特征 特征选择 特征约简 经已有特征的某种变换获取约简特征 特征抽取 试验数据分析，数据可视化（通常为2维或3维）等也需要维数约简

Outline 中国科学院自动化研究所 线性维数约简方法 流形和维数约简. 流形学习的一些数学基础. 几种流形学习算法简介：LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap. 流形学习问题的简单探讨.

线性约简方法 中国科学院自动化研究所 通过特征的线性组合来降维. 本质上是把数据投影到低维线性子空间. 线性方法相对比较简单且容易计算. 两种经典且广泛使用的线性变换的方法: 主成分分析 (PCA); 多重判别分析 (MDA).

主成分分析 ( PCA ) 中国科学院自动化研究所 PCA的目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间. Principal component

主成分分析 中国科学院自动化研究所 PCA对于椭球状分布的样本集有很好的效果, 学习所得的主方向就是椭球的主轴方向.

线性判别分析(LDA)1 中国科学院自动化研究所 LDA是一种监督的维数约简方法. LDA的思想: 寻找最能把两类样本分开的投影直线. Best projection direction for classification

线性判别分析(LDA)2 中国科学院自动化研究所 LDA的求解: 经过推导把原问题转化为关于样本集总 类内散布矩阵和总类间散布矩阵的广义特征值问题.

多重判别分析 (MDA) 中国科学院自动化研究所 MDA把LDA推广到多类的情况. 对于c-类问题, MDA把样本投影到 c-1 维子空间. 更为复杂, 求解的广义特征值问题也更为复杂.

中国科学院自动化研究所 线性方法的缺点 线性方法对于很多数据不能进行有效的处理. 现实中数据的有用特性往往不是特征的线性组合. R

流形学习和维数约简 中国科学院自动化研究所 流形是线性子空间的一种非线性推广. 流形是一个局部可坐标化的拓扑空间. 流形学习是一种非线性的维数约简方法.

中国科学院自动化研究所 流形学习的可行性 1 许多高维采样数据都是由少数几个隐含变量所决定的, 如人脸采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸部肌肉等因素决定. 2 从认知心理学的角度, 心理学家认为人的认知过程是基于认知流形和拓扑连续性的. R

流形学习的一些数学基础 中国科学院自动化研究所 参考文献: 陈省身, 陈维桓, 微分几何讲义. 北京大学出版社, 1983 M Berger, B Gostiaux. Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces, GTM115. Springer-Verlag, 1974 陈维桓, 微分流形初步(第二版). 高等教育出版社, 2001

拓扑 中国科学院自动化研究所 集合 上的拓扑 是 的满足以下性质的子集族: 对属于它的任意多元素的并集是封闭的; 集合 上的拓扑 是 的满足以下性质的子集族: 对属于它的任意多元素的并集是封闭的; (ii) 对属于它的有限多元素的交集是封闭的; 且 , 称 是一个拓扑空间.

中国科学院自动化研究所 Hausdorff 空间 如果对空间 中的任意两点 存在 和 使得 称 是一个Hausdorff 拓扑空间.

流形的定义 中国科学院自动化研究所 设 M 是一个Hausdorff 拓扑空间, 若对每一点 都有 P 的一个开领域 U 和 的一个开子集同胚, 则称 M 为 n 维拓扑流形, 简称为 n 维流形.

坐标卡 M R2 中国科学院自动化研究所 假定 是同胚, 其中 是 中的开集, 则称 为流形 M 的一个坐标卡, 并且把 在 假定 是同胚, 其中 是 中的开集, 则称 为流形 M 的一个坐标卡, 并且把 在 中的坐标 称为点 的坐标, M x1 x2 R2 z x x: coordinate for z 流形在本质上是局部可坐标化的拓扑空间.

中国科学院自动化研究所 相关 设 是 n 维流形 M 的两个坐标卡. 若当 时, 和它的逆映射都是 次可微的, 则称 是 相关的.

微分结构 中国科学院自动化研究所 设 M 是 n 维流形, 假定 是 M 上 坐标卡的一个子集合, 且满足以下条件: (2) 属于 的任意两个坐标卡都是 相关的; 是极大的, 则称 是 M 上的一个 微分结构.

微分流形 中国科学院自动化研究所 设 M 是 n 维流形, 若在 M 上指定了一个 微分结构 , 称为该微分流形的容许坐标卡. 当 时, 称 M 为光滑流形.

光滑函数 中国科学院自动化研究所 设 是定义在光滑流形 M 上的连续函数. 若在点 , 存在 M 的一个容许坐标卡 使得 , 是在点 处光滑的函数, 则称函数 在点 处是光滑的.

光滑映射 中国科学院自动化研究所 设 M, N 分别是 m 维, n 维光滑流形, 是连续映 射. 设 , 若存在 M 在点 x 处的容许坐标卡 及 N 在点 处的容许坐标卡 , 使得 是在点 处光滑的映射, 则称映射 在点 处是光滑 的. 处处光滑的映射称为光滑映射.

中国科学院自动化研究所 切向量 光滑流形M在点 x 的切向量 是一个满足下列条件的映 射 有 光滑流形的切向量是曲线的切向量的一种推广.

切空间 中国科学院自动化研究所 设 M 是 m 维光滑流形, 用 表示 M 在点 处的全体切向量的集合, 则在 中有自然的线性结 处的全体切向量的集合, 则在 中有自然的线性结 构, 使得 成为 m 维向量空间, 称其为 M 在点 的切空间.

中国科学院自动化研究所 Riemann 流形 黎曼流形就是以光滑的方式在每一点的切空间上指 定了欧氏内积的微分流形. R

与流形学习有关的参考文献 中国科学院自动化研究所 与机器学习, 统计学等相关的各种杂志和会议论文 http://www.cse.msu.edu/~lawhiu/manifold/

流形学习问题 中国科学院自动化研究所 设 是一个低维流形, 是一个光滑嵌入, 设 是一个低维流形, 是一个光滑嵌入, 其中 D>d . 数据集 是随机生成的, 且经过 f 映射为观 察空间的数据 流形学习就是在给定观察样本 集 的条件下重构 f 和 . V. de Silva and J. B. Tenenbaum. Global versus local methods in nonlinear dimensionality reduction . Neural Information Processing Systems 15 (NIPS'2002), pp. 705-712, 2003.

几种流形学习算法 中国科学院自动化研究所 局部线性嵌入(LLE). 等距映射(Isomap). S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000. 等距映射(Isomap). J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000. 拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap). M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation, Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396, 2003 . 

局部线性嵌入(LLE) 中国科学院自动化研究所 前提假设：采样数据所在的低维流形在局部是线性的,即每个采样点可以用它的近邻点线性表示. 学习目标：在低维空间中保持每个邻域中的权值不变, 即假设嵌入映射在局部是线性的条件下, 最小化重构误差. 求解方法：特征值分解.

LLE算法 中国科学院自动化研究所 1 计算每一个点 的近邻点, 一般采用K 近邻或者 邻域. 的误差最小, 即通过最小化 来求出 . 3 保持权值 不变, 求 在低维空间的象 , 使 得低维重构误差最小.

中国科学院自动化研究所 LLE算法示意图

LLE算法的求解 中国科学院自动化研究所 1 计算每一个点 的近邻点. 2 对于点 和它的近邻点的权值 , 3 令 , 低维嵌入 1 计算每一个点 的近邻点. 2 对于点 和它的近邻点的权值 , 3 令 , 低维嵌入 是 M 的最小的第 2到第 d＋1 个特征向量.

中国科学院自动化研究所 LLE算法的例子(1)

中国科学院自动化研究所 LLE算法的例子(2)

LLE算法的优点 中国科学院自动化研究所 LLE算法可以学习任意维的局部线性的低维流形. LLE算法中的待定参数很少, K 和 d.

LLE算法的缺点 中国科学院自动化研究所 LLE算法要求所学习的流形只能是不闭合的且在局部是线性的. LLE算法中的参数 K, d 有过多的选择. LLE算法对样本中的噪音很敏感. R

多维尺度变换 (MDS) 中国科学院自动化研究所 MDS 是一种非监督的维数约简方法. MDS的基本思想: 约简后低维空间中任意两点间的距离 应该与它们在原高维空间中的距离相同. MDS的求解: 通过适当定义准则函数来体现在低维空间 中对高维距离的重建误差, 对准则函数用梯度下降法求解, 对于某些特殊的距离可以推导出解析解法.

中国科学院自动化研究所 MDS的准则函数

中国科学院自动化研究所 MDS的示意图

中国科学院自动化研究所 MDS的失效

等距映射(Isomap)的基本思想 中国科学院自动化研究所 建立在多维尺度变换(MDS)的基础上, 力求保持数据 点的内在几何性质, 即保持两点间的测地距离.

Isomap的前提假设 中国科学院自动化研究所 1 高维数据所在的低维流形与欧氏空间的一个子集是整 体等距的. 2 与数据所在的流形等距的欧氏空间的子集是一个凸集.

Isomap算法的核心 中国科学院自动化研究所 估计两点间的测地距离: 1 离得很近的点间的测地距离用欧氏距离代替. 2 离得较远的点间的测地距离用最短路径来逼近.

中国科学院自动化研究所 测地距离估计

Isomap算法 中国科学院自动化研究所 1 计算每个点的近邻点 (用K近邻或 邻域). 2 在样本集上定义一个赋权无向图 如果 和 互为近邻点, 则边的权值为 3 计算图中两点间的最短距离, 记所得的距离矩阵为 . 4 用MDS求低维嵌入流形 , 令 低维嵌入是 的第2小到第 d＋1小的特征值所对应的特征向量.

图距离逼近测地距离 中国科学院自动化研究所 渐进收敛定理 给定 则只要样本集充分大且适当选择K , 不等式 M. Bernstein, V. Silva, J.C. Langford, J.B. Tenenbaum 证明了如下的渐进收敛定理. 假设采样点是随机均匀抽取的, 则 渐进收敛定理 给定 则只要样本集充分大且适当选择K , 不等式 至少以概率 成立.

中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(1)

中国科学院自动化研究所 Isomap 算法的例子(2)

Isomap算法的特点 中国科学院自动化研究所 Isomap是非线性的, 适用于学习内部平坦的低维流形, 不适于学习有较大内在曲率的流形 . Isomap算法中有两个待定参数K, d . Isomap算法计算图上两点间的最短距离, 执行起来比 较慢 . R

拉普拉斯算子 中国科学院自动化研究所 设 M 是光滑的黎曼流形, f 是 M 上的光滑函数, 是 f 的梯度, 则称线性映射 为 M 上的拉普拉斯算子, 其中div是散度算子.

图上的拉普拉斯算子 中国科学院自动化研究所 设 G 是一个图, v 是它的顶点, 是 v 的自由度, w(u,v) 其中 T 是对角矩阵,对角线的元素为 , 则称 L 为图 G 上的拉普拉斯算子.

拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap) 中国科学院自动化研究所 拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap) 基本思想：在高维空间中离得很近的点投影到低维空间 中的象也应该离得很近. 求解方法：求解图拉普拉斯算子的广义特征值问题.

Laplacian Eigenmap 算法 中国科学院自动化研究所 1 从样本点构建一个近邻图, 图的顶点为样本点, 离得 1 从样本点构建一个近邻图, 图的顶点为样本点, 离得 很近两点用边相连 (K近邻或 邻域). 2 给每条边赋予权值 如果第 个点和第 j 个点不相连， 权值为0，否则 ; 3 计算图拉普拉斯算子的广义特征向量, 求得低维嵌入. 令D为对角矩阵 L是近邻图上的 拉普拉斯算子, 求解广义特征值问题 .

Laplacian Eigenmap算法的例子(1) 中国科学院自动化研究所 Laplacian Eigenmap算法的例子(1)

Laplacian Eigenmap算法例子(2) 中国科学院自动化研究所 Laplacian Eigenmap算法例子(2) 300 most frequent words of the Brown corpus represented in the spectral domain

Laplacian Eigenmap算法例子(2) 中国科学院自动化研究所 Laplacian Eigenmap算法例子(2) The first is exclusively infinitives of verbs, the second contains prepositions and the third mostly modal and auxiliary verbs. We see that syntactic structure is well-preserved.

Laplacian Eigenmap算法的特点 中国科学院自动化研究所 Laplacian Eigenmap算法的特点 算法是局部的非线性方法. 算法与谱图理论有很紧密的联系. 算法中有两个参数 k,d. 算法通过求解稀疏矩阵的特征值问题解析地求出整体最优解. 算法使原空间中离得很近的点在低维空间也离得很近, 可以用于聚类. R

LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap 有效的原因 中国科学院自动化研究所 LLE, Isomap, Laplacian Eigenmap 有效的原因 它们都是非参数的方法, 不需要对流形的很多的参数假 设. 它们是非线性的方法, 都基于流形的内在几何结构, 更 能体现现实中数据的本质. 它们的求解简单, 都转化为求解特征值问题, 而不需要 用迭代算法.

流形学习问题探讨1 中国科学院自动化研究所 对嵌入映射或者低维流形作出某种特定的假设, 或者以 保持高维数据的某种性质不变为目标. 将问题转化为求解优化问题. 提供有效的解法.

流形学习问题探讨2 中国科学院自动化研究所 为流形学习提供更为坚实和易于接受的认知基础. 如何确定低维目标空间的维数. 当采样数据很稀疏时, 怎样进行有效的学习. 将统计学习理论引入流形学习对其泛化性能进行研究.

流形学习问题探讨3 中国科学院自动化研究所 流形学习作为一种非线性降维或数据可视化的方法 已经在图像处理如人脸图像,手写数字图像, 语言处理 方面得了利用. 将其作为一种监督的学习方法用于模式识别, 虽然 有研究者涉足, 但是目前在这方面的工作还很有限.

中国科学院自动化研究所 Thanks!