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§5 向量空间 一、向量空间的概念 定义7 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且 满足 §5 向量空间 一、向量空间的概念 定义7 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且 满足 （1）若∀α ∈ V, β ∈V,则 α+β ∈V; （2）若∀α ∈ V， λ ∈R,则 λα ∈V。 Rn称为n维的向量空间。那么究竟什么是向量空间？ 那么就称为集合V为向量空间。 注：定义中的（1）、（2）两条称为对加法及数乘两 种运算封闭。
（2）n维向量的全体Rn也是一个向量空间。 例2 验证集合 V0 = {x = (0, x2, …, xn)T | x2,…, xn ∈R} 是否是一个向量空间。 解 因为∀ α ∈ V0, β ∈V0， λ ∈R ,有 对例1说明为什么？ α +β = ( 0, a2, …, an )T + ( 0, b2,…,bn )T = ( 0, a2+b2,…,an+bn )T ∈ V0 λ α = ( 0, λa2, …, λan )T ∈ V0 故V0是一个向量空间。
例3 验证集合 V1 = {x = (1, x2, …, xn)T | x2,…, xn ∈R} 解 因为∀ α ∈ V,有 2α = ( 2, 2a2, …, 2an )T ∉ V1 故V1不是一个向量空间。 。
例4 设α和 β为两个已知的 n维向量，验证集合 V = {x = λα + μβ | λ , μ ∈ R} 是一个向量空间。 解 取x1 = λ1α + μ1β, x 2= λ2 α + μ2 β ∈V, k ∈R.则有 x1+x2 = (λ1+ λ2) α + (μ1+ μ2 )β ∈V, k x1 =( kλ1)α +( k μ1)β ∈V。 故V是一个向量空间。 注：我们称如上构成的向量空间为由 α、β 所生成的向 量空间。 一般地，由向量组 α1,α2,…,αm所生成的向量空间为： V = { x = λ1α1 + λ2α2 + … +λmαm | λ1, λ2, …, λm ∈ R }。
例5 设向量组α1,α2,…, α m与向量组b1,b2,…,bs等价，记 V1 = {x = λ1α1+λ2α2+…+λmαm| λ1, λ2, …, λm ∈ R }， V2 = {x = μ1b1+ μ2b2+…+μsbs| μ1, μ2,…, μs ∈ R }， 试证 V1 = V2。 证∀ x∈V1,，则x可由α1,α2,…,αm线性表示。因α1,α2,…, α m可由b1,b2,…,bs线性表示，故 x 可由 b1,b2,…,bs线性表示， 所以 x∈V2 。即∀ x∈V1，则 x∈V2，因此V1⊂V2 。 同理可证∀ x∈V2，则 x∈V1，因此V2⊂V1 。 因为 V1⊂V2 ，V2⊂V1，所以V1 = V2。
定义8 设有向量空间V1 及V2，若V1⊂V2 ，就称V1 (1) 任何由 n 维向量所组成的向量空间V,总有V⊂Rn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间。 (2) 例2中的V0也是Rn的子空间。 (3) 例4中的由n 维向量α 和 β 所生成向量空间也是Rn 的子空间。