常州市武进区“312”工程 初中数学骨干教师培训讲座 常州市武进区“312”工程 初中数学骨干教师培训讲座 中考数学中的剪拼折叠问题 武进区奔牛初级中学 文金铭

中考动态 近年来，各地中考试题常以剪拼折叠来考 察学生的数学实践能力和创新能力。剪拼折叠试题为解题者创设了动手实践、操作设计的空间，也是近几年中考命题的热点。

剪拼折叠题是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。这类试题综合性强，思维能力要求高。它要求考生运用所学的知识去提出问题，分析数据，建立数学模型，从而得出结论，有时还进行推广应用，考察学生获得数学知识的过程。

剪拼折叠题更加注意综合素质能力的检测，特别是“观察、归纳、猜想”剪拼折叠题更有利于创新意识初探能力的培养。要求考生具有较扎实的数学基本功、较强的观察能力、丰富的想象力及综合分析问题的能力。 剪拼折叠题型体现了数学问题研究的一般过程，遵循了实践---理论---实践的原理，有利于考生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。

解题策略： 1、注意问题情景 2、把握操作探究过程中思维的严密性 3、注意寻找问题解决的切入口 4、理解并掌握对称的有关性质，熟练进行图形的平移、翻折、旋转，灵活应用分类讨论、类比猜想和验证归纳的数学思想。

题型一 动手折纸类 1.如图小强拿一张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线去一个角再打开后的形状是（　　　） C ② ① ③ C D A B

D ？如果展开图形是正方形时，①应满足什么条件？ 题型一 动手折纸类 B、三角形 C、梯形 D、菱形 D、菱形 A 、矩形 题型一 动手折纸类 2.将一张矩形对折再对折如图所示，然后沿图中虚线剪下得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（　　　） D ① ② B、三角形 C、梯形 D、菱形 D、菱形 A 、矩形 ？如果展开图形是正方形时，①应满足什么条件？

题型二 作图设计类 1、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下图所示： 题型二 作图设计类 1、直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下图所示： 　 　 请你用上面图示的方法，解答下列问题： 　（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形，如下图： 　 　（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形，如下图： 　

题型二 作图设计类 解：（1）如下图：

题型二 作图设计类 2、四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一轴对称图形（如图②）.请你分别在图③、图④中各画一种与图②不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.

题型二 作图设计类 解：如下图：（答案不唯一）

启示 1、这些图形的剪拼折叠题要求学生用轴对称、中心对称的性质解决问题，主要考查的是类比能力，知识迁移能力，动手能力、空间想象能力. 2、中考中有很多剪拼折叠题，但是考试中有时候不可能实际操作，这就需要我们在平时的数学教学中加强学生的数学动手能力，数学实践操作能力的培养.

题型二 作图设计类 3、如图所示两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草，下面左边两个图案是设计示例，请你再设计两个不同的图案。

题型二 作图设计类 4、某地板厂要制作一批正六边形的地板砖，为适应市场多样化的需要，要求在地板砖上设计图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分方案（至少设计两种）。

题型三 证明计算类 1、任意剪一个三角形纸片，如图中的△ABC，设它的一个锐角为∠A，首先利用对折的方法得到高AN，然后按图中所示的方法分别将含有∠B、∠C的部分向里折，找出AB、AC的中点D、E，同时得到两条折痕DF、EG，分别沿折痕DF、EG剪下图中的三角形①、②，并按图中箭头所指的方向分别旋转180°。 （1）你能拼成一个什么样的四边形？并说明你的理由； （2）请你利用这个图形，证明三角形的面积公式：S＝底×高。 N M H G F E D C B A ?

题型三 证明计算类 证明： （1）拼出的四边形HFGM是矩形。 证明：由题意，得DF⊥BC，EG⊥BC 题型三 证明计算类 （1）拼出的四边形HFGM是矩形。 证明：由题意，得DF⊥BC，EG⊥BC ⊿AHD≌⊿BFD， ⊿AME≌⊿CGE ∴∠H=∠M=∠EGN=∠DFN=900 ∴四边形HFGM是矩形。 证明： N M H G F E D C B A ? （2）由题意，得 ⊿BDF≌⊿NDF≌⊿ADH，⊿CEG≌⊿NEG≌⊿AEM， ∴NF=BF，NG=CG，FG= BC。 ∴S⊿ABC=S矩形HFCM=FG.AN= BC.AN。 即三角形的面积= 底×高 1 2

证明计算（2009年江苏省中考数学题） 2、（2009年江苏）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．ACDB图①ACDB图②FE A C D B 图① 图② F E

证明计算（2009年江苏省中考数学题） （2）实践与运用，将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中 的大小． E DD C F B A 图③ D G 图④ 图⑤

证明计算 3、（南昌）一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图1、图2），再将这两张三角形纸片摆成如图3的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上. （1）求证：AB⊥ED； （2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 　

证明计算 证明：∵△ABC和△DEF是由同一个矩形沿对角形剪开的两部分， 　∴ ∠A＋∠B＝90°，∠A＝∠D. 　∴ ∠B＋∠D＝90°. 　∴ AB⊥ED. 　（2）解：若PB＝BC，则Rt△ABC≌Rt△DBP. 　∵ ∠B＝∠B，∠A＝∠D，BP＝BC， 　∴ Rt△ABC≌Rt△DBP.

证明计算 1、图中与此条件有关的全等三角形还有：Rt△APN≌Rt△DCN，Rt△DEF≌Rt△DBP，Rt△EPM≌Rt△BFM， 从中任选一对给出证明， 2、此题将几何证明题融入到剪纸活动中，考查在图形的剪拼操作中发现几何结论的能力

（1）当矩形ABCD沿直线 折叠时（如图1），求点 的坐标和b的值； （2）当矩形ABCD沿直线 折叠时， 4、（江苏徐州卷2006）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点 是点A落在边DC上的对应点． （1）当矩形ABCD沿直线 折叠时（如图1），求点 的坐标和b的值； （2）当矩形ABCD沿直线 折叠时， ① 求点 的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上） （图1）

① 求点 的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式； 4、（江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点 是点A落在边DC上的对应点． 2）当矩形ABCD沿直线 折叠时， ① 求点 的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上） （图4） （图3） （图2）

题型四 操作探索类 1、如图，△ABC的面积为a。 题型四 操作探索类 1、如图，△ABC的面积为a。    （1）如图12－1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）； 图12－1 A B C D （2）如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_____（用含a的代数式表示），并写出理由； A B C D E 图12－2 a 2a （3）在图12－2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD,FE,得到△DEF（如图12－3）.若阴影部分的面积为S3，则S3=______（用含a的代数式表示）． D E A B C F 图12－3 6a

题型四 操作探索类 发现： 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12－3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍． D E A B C F H M G 要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在在面积为10m2的△ABC空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次。在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．请你运用上述结论求出： （1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积。 应用： 7

几点启示 （1）要重视四基教学 要立足教材，抓好四基，夯实基础。只有引导学生一点一滴长期积累，才能厚积薄发。可以说，掌握好基础知识、基本技能、基本经验、基本思想既是学好知识，提高能力的基础，也是中考答题的基础。 在教学中，教师要适时、适量的选用或设计一些一题多变、一题多解的好题。从解题通法、特法等多角度、多方面训练学生，要着力培养学生的创新意识，发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，多角度、全方位考虑问题，以达到提高学生能力，训练学生思维的目的。 （2）要重视培养学生的各种能力

(3)适当拓展课本例习题，让学生在开放性与探索性活动中提高思维水平

1.适当拓展课本例习题 例如：九年级上册：“如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由”。我们不妨改一下问法，在折叠后的图形中，你有哪些新的发现？请写出与点F有关的正确结论并加以证明？若AB=6,AD=8求三角形BFD的面积？

例如:数学九年级上册：“用三角尺可以作角平分线，如图，在已知AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是AOB的平分线。请你证明OP平分AOB”。讲完证明方法后，我们不妨引伸一下：如果把三角尺换成直尺呢？

动手实践、自主探索、合作交流是新课标倡导的学习方法 动手实践、自主探索、合作交流是新课标倡导的学习方法.剪拼、折叠问题是一种学习探索与娱乐两者兼备的数学问题，能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而倍受中考命题者的青睐，所以我们在平时的教学过程中应多加重视.

谢谢聆听，恳请批评指正！