平 面 圖 形 本 質 概 念 中文碩三 楊婉培 會計四 劉亭君

數學結構 圖形的初步概念 應用日常生活常接觸到的具體物，使其透過觀察、辨別、比較、造形等活動，獲得有關圖形的初步概念。 先從生活常見的立體圖形入門，接著再帶到平面圖形，最後引導至直線、點。

平面圖形的辨別 三角形、長方形、正方形、圓形的辨別 三角形、四邊形的辨別 長方形、正方形的辨別

三角形 由三個邊、三個角所組合而成。其中三個邊是兩兩相互連接的 內角和為180˚ 「實測各角角度後求其和」、「剪下三個角拼在一起」、「把三個角描繪在一起」

三角形面積 三角形的面積只有平行四邊形的一半。三角形的高和平行四邊形一樣，就是從頂點到底邊的垂直線段。

四邊形 由四個邊、四個角所組合而成。其中四個邊是兩兩相互連接的

長方形、正方形的周長和面積 ＊正 方 形： 邊長×邊長 ＊長 方 形： 長×寬

梯形、平行四邊形的面積

圓 圓形相關基本名稱 半徑、直徑、圓周的關係 圓的周長及面積 利用圓規畫圓 先將平行四邊形的面積求法寫出來 平行四邊形面積 = 底 × 高 = 底 × 高 =1/2圓周長×半徑

對稱的圖形 線對稱 做軸的直線就是對稱軸，疊合的兩點叫對應點，疊合的邊叫對應邊。

認知結構 Van Hiele夫婦於1959年開始研究幾何思維發展與設計幾何教學課程。 這個模式的最顯著特色是將空間思維的瞭解分為五個層次。 在各個層次中，敘述著一個人是如何思考，以及他所思考的幾何概念形式為何，而非指他擁有了多少的知識。當一個人要從一個層次進入到另一個層次時，這個人的幾何思維就會有所改變。

第0層次：視覺化階段 第0層次思維的目標是形狀外觀的認識，以及它們「看起來像什麼」。 第0層次思維的結果是把看起來「相像」的形狀聚集成一類。

第1層次：分析階段 第1層次思維的目標是能對圖形分類，而不是將它們視為單獨的個體。 第1層次思維的結果是瞭解形狀的性質。

第2層次：非形式演繹階段 第2層次思維的目標是瞭解形狀的性質。 第2層次思維的結果是能夠理解幾何物件間的性質關係。

第3層次：演繹階段 第3層次思維的目標是能夠理解幾何物件間的性質關係。 第3層次思維的結果是能對幾何的公理系統做推論。

第4層次：嚴密性階段 第4層次思維的目標是能對幾何的公理系統做推論。 第4層次思維的結果是能在不同的幾何公理系統中去做比較與分析對照的工作。

綱要結構 一年級 1-s-02能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。 1-s-03能描繪或仿製簡單平面圖形。

二年級 2-s-01能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。 2-s-05能認識面積，並作直接比較。 2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。

三年級 3-s-01能認識平面圖形的內部、外部與其周界。 3-s-02能認識周長，並實測周長。 3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的「圓心」、「圓周」、「半徑」與「直徑」。 3-s-05能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」。 3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。

四年級 4-s-01能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形。 4-s-02能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。 4-s-03能認識平面圖形全等的意義。 4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。 4-s-07能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。 4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。 4-s-09能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。

五年級 5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。 5-s-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 5-s-03能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。 5-s-04能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。 5-s-05能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

六年級 6-s-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 6-s-03*能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。 6-s-04能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。

低年級 認識簡單的平面圖形，還可以利用圖卡或實物，透過拼圖與堆積木等活動，讓學童進行平移、翻轉、重疊、比對…等全等操作的練習。由辨認、描述、分類、描繪簡單平面圖形，進一步認識周遭物體上的角、直線、平面、平行與垂直，並能使用直尺為主。 中年級 認識長方形和正方形的面積和周長。並開始了解圓、使用圓規，具有全等以及面積保留概念。 高年級 能判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸 。並認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響。認識三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積。

「平面圖形」的教學原則 圖形是一種抽象的概念，它並不是實際存在的物體本身，然而透過具體物才容易聚焦有關於圖形的思考 。 ＊ 教學大原則如下： 1.多藉助物體的呈現，讓兒童觀察、操作，以培養圖形的基本概念。 2.讓學生確實 熟知各種圖形的定義及概念 ， 而非只是停留在視覺上的印象式圖形認知。

迷思概念及教學策略 ＊圖形數算出錯 數圖形時，常常容易混亂而數錯或數不清。     Q：圖形中共有幾個正方形？

※ 可用不同色塊標示出正方形   總共有4＋1＝5，共有五個正方形

學生可能認為梯形就是「左右兩邊一樣長」、或「上下平行」，如果變成左右平行就不是梯形。或認為梯形是沒有直角，有直角便不是梯形。 ＊圖形認知不清---梯形 學生可能認為梯形就是「左右兩邊一樣長」、或「上下平行」，如果變成左右平行就不是梯形。或認為梯形是沒有直角，有直角便不是梯形。 ※梯形定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行 Q：下列哪些圖形是梯形？請在你認為是梯形的圖形下方打 ( ) ( ) ( ) ( )

＊沒有等積異形的概念 學生常以外觀來判別不同圖形的大小 Q：下面兩個圖形哪一個比較大？ (假設每一個小三角形都相等)

＊面積與周長觀念混淆 不清楚面積與周長的定義，導致運算出錯。 Q：長五公分，寬3公分 的長方形(如左圖)， 面積及周長各是多 少？ ３㎝ 　　 ５㎝ 　　　　 ３㎝

※可讓學生親自觀察、操作，建立概念 　　 ５㎝ 　　　　 3 ㎝ 長度 　　 ５㎝ 　　　　 ３㎝ 面積 　　５㎝ 　　　 ３ ㎝

Q：有一長方形四邊分別是10公分、7公分、10公分、7公分，請問哪一個算式可以算出長方形的面積？ (A) 10 ＋ 7 (B) 10 × 7 (C) 10 × 7 ÷ 2 (D) 10 ＋ 7 ＋ 10 ＋ 7

＊(B) 10 × 7 選項 答對率% 可能的迷思概念 (A) 10 ＋ 7 8.52 誤以為長方形面積的求法為長＋寬 36.57 網路資源：2006宜蘭縣數學報告 選項 答對率% 可能的迷思概念 (A) 10 ＋ 7 8.52 誤以為長方形面積的求法為長＋寬 ＊(B) 10 × 7 36.57 正確解答---長方形面積公式 (C) 10 × 7 ÷ 2 7.18 誤用三角形面積公式 (D) 10 ＋ 7 ＋ 10 ＋ 7 45.79 以求算周長的方式進行解題 ,認為問題中的所有數據皆需要被用到

＊全等的概念不清楚 學生可能以圖形視覺上的相似性作為選答上考量的依據 ★全等是指兩平面圖形在疊合時，其頂點、邊、角完全重合，包含平移、旋轉、翻轉後圖形仍能完全疊合的情形 Q：右圖 是一個三角形，請問下面哪一個圖形與該圖全等？ (A) (B) (C) (D)

(A) 8.52 (B) 36.57 ＊(C) 7.18 (D) 45.79 選項 答對率% 可能的迷思概念 無法判別旋轉後的全等圖形，誤以為縮小圖就是該圖的全等圖形 (B) 36.57 無法判別旋轉後的全等圖形，誤以為放大圖就是該圖的全等圖形 ＊(C) 7.18 同上 (D) 45.79 正確解答---逆時針旋轉

評量範例 Q：下圖是一個長方形，小明在長方形上排滿1平方公分的正方形（ 代表1平方公分的正方形），請問這個長方形的周長為何？ (A) 15公分 (B) 15平方公分 (C) 16公分 (D) 16平方公分

Q：小新家裡有兩塊土地，一塊是正方形，一塊是三角形，正方形的種西瓜，三角形的種玉米，請問哪一塊面積比較大？為什麼? 10cm 10cm 10cm

Q：每一小格的邊長都代表1公分，請問每個圖形的面積是多少？

Q：有一個三角形，其三個內角分別是　 100°、40°、40°，則此三角形是　 (A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形(D)正三角形

Q：下列哪一個邊長組合是正三角形？ (A)　5　公分、 5　公分、 6　公分　 (B) 10　公分、10　公分、10　公分 (C)　8　公分、 6　公分、 4　公分　 (D) 7　公分、 6　公分、 5　公分

Q：請畫出下面圖形的對稱軸 囍 A

參考資料 數學本質概念[平面圖形](本文)歷屆作品 數學科教學研究 國立編譯館主編 網路資源： 數學科教學研究 國立編譯館主編 網路資源： 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 2006宜蘭縣數學報告