抽样理论 与 参数估计 主讲人：孟迎芳

总体 参数 样本 统计量 推论错误 的概率 推论性统计 描述性统计 推论 随机选择 populations parameters samples 统计量 statistics 描述性统计 推论错误 的概率

推论性统计 一、如何使所抽取的样本对总体有最好的代表性？ 采用一种合适的抽样方法来解决； 二、样本的结果能在多大程度上代表总体的情况？ 　采用一种合适的抽样方法来解决； 二、样本的结果能在多大程度上代表总体的情况？ 　　　　　 抽样分布 样本 总体 概率分布

本章重点 随机抽样的基本方法 区间估计的原理 总体平均数估计的步骤与方法

第一节 随机抽样 抽样研究法 从总体中抽取一部分个体作为样本进行研究，然后根据对样本的研究结果推论总体的状况。 优点：节省人力、物力和时间。 第一节 随机抽样 抽样研究法 从总体中抽取一部分个体作为样本进行研究，然后根据对样本的研究结果推论总体的状况。 优点：节省人力、物力和时间。 　　　　得到准确的结果。

随 抽 机 样 化 误 原 差 则 总体 参数 样本 统计量 推论统计 描述统计 推论 随机选择 populations parameters 抽 样 误 差 推论统计 随机选择 推论 样本 samples 统计量 statistics 描述统计

随机抽样方法 简单随机抽样 　　　特点：抽取时，总体中每个个体应有独立的、等概率的被抽取的可能。 　　抽签法、随机数字法。

随机抽样方法 等距抽样 分层随机抽样 特点：事先将总体中各个体按某一标志排列好，然后依固定的顺序与间隔来抽取。 　　　特点：事先将总体中各个体按某一标志排列好，然后依固定的顺序与间隔来抽取。 分层随机抽样 　　　特点：按照总体已有的某些特征将总体分成几个不同的层，在每个层中实行简单随机抽样。 　　　分层原则：层内变异小，层间变异大

参数估计 随 抽 机 样 化 误 原 差 则 总体 参数 样本 统计量 描述统计 推论 随机选择 populations parameters 抽 样 误 差 随机选择 推论 样本 samples 统计量 statistics 描述统计

用抽样法研究问题，是一种以局部情况推断总体情况的方法。由于样本是总体的一部分，因此可以根据样本统计量估计总体的参数，即参数估计。

第二节 参数估计 点估计 点估计 点估计 样本统计量 样本统计量 样本统计量 样本统计量 总体参数 总体参数 总体参数 无偏性 有效性 第二节 参数估计 点估计 点估计 点估计 样本统计量 样本统计量 样本统计量 样本统计量 总体参数 总体参数 总体参数 无偏性 有效性 一致性 充分性

点估计 无偏估计量 总体平均数 总体方差与标准差 or

但是另一方面，样本毕竟只是总体的一小部分，它难以准确无误地反映总体的特征。一般来说，样本统计量和总体参数之间总是有差异的，如果这种差异来自于抽样的随机性，通常称为抽样误差（sampling error）。 那么我们是否可以描述出这种抽样误差呢？或者说我们能否描述出统计量变异的范围，那么我们就能通过一次的结果做出预测了。 而抽样分布告诉我们的就是这种变异性的范围。

抽样分布 抽样分布 … … … 抽样分布是指样本统计量的理论概率分布。

样本平均数的抽样分布 正态分布 中心极限定理 第一，总体有一个固定的平均数和标准差。 第二，抽样是随机的，在总体中的每个单 位都有相同的概率被抽取到。 第三，每个抽取的样本容量是相等的。

标准误 中心极限定理 定理一：任何抽样分布中的平均数等于总体平均数。 定理二：平均数的抽样分布是近似正态，无论总体的形状如何。 定理三：平均数抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根。 标准误

标准误 反映样本平均数分布的离散程度，或样本平均数的抽样标准误差情况，表明样本平均数与总体平均数之间的离差距离。 相关因素： 样本容量 总体标准差

样本平均数的抽样分布 正态分布 t分布

t 分布与正态分布的比较 相似之处： 区别之处： 都属于抽样分布 左右对称 平均数都为0 t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。

t 分布表与正态分布表的比较 显著性水平 单尾概率 双尾概率

第三节 区间估计 区间估计的概念 区间估计的原理 总体平均数的区间估计

指根据样本统计量及样本分布理论以一定的概率推断出可能包含了总体参数的一个区间范围。 区间估计的概念 总体参数 什么是区间估计 置信区间与置信度 显著性水平 　指根据样本统计量及样本分布理论以一定的概率推断出可能包含了总体参数的一个区间范围。

区间估计的原理 样本分布理论 95% 99%

99% 1% 置信区间 置信度 显著性水平

区间估计的原理 概率解释的依据 区间长度 抽样分布理论 标准误 p 可能包含总体 参数的区间

总体平均数的区间估计 计算样本的平均数与标准差 计算标准误 确定显著性水平 根据统计量的抽样分布，确定查统计表 计算置信区间 解释置信区间

估计该区间包含总体参数在内的正确可能性概率为 ，犯错误的可能性概率为

例题 某弱智儿童学校的学生智力水平低于正常儿童，假设该校学生的智商分数服从正态分布，已知该校学生智商分数的方差为25，抽查10名学生的智力水平，测得智商如下： 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 　试问该校学生的平均智商会在多少之间？

解： 计算样本的平均数与标准差 计算标准误 确定显著性水平 根据统计量的抽样分布，确定查统计表 计算置信区间 解释置信区间 ＝0.05 =79±1.96×1.5=76.06~81.94 结果表明，76.06~81.94这个区间包含μ的可能性概率为95%，估计错误的概率为0.05。

例题 某弱智儿童学校的学生智力水平低于正常儿童，假设该校学生的智商分数服从正态分布，抽查10名学生的智力水平，测得智商如下： 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 　试问该校学生的平均智商会在多少之间？

解： 计算样本的平均数与标准差 计算标准误 确定显著性水平 根据统计量的抽样分布，确定查统计表 计算置信区间 解释置信区间 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79 解： 计算样本的平均数与标准差 计算标准误 确定显著性水平 根据统计量的抽样分布，确定查统计表 计算置信区间 解释置信区间 ＝0.05 df=n-1=9，t0.05/2=2.262 =79±2.262×1.9=74.70~83.30 结果表明，74.70~83.30这个区间包含μ的可能性概率为95%，估计错误的概率为0.05。

思考题 什么是抽样分布？ 抽样分布与频数分布有何差异？ 什么是标准误？它与样本大小有何关系？ 什么是点估计，什么是区间估计？ 什么是置信区间，它的上下限如何确定？ 什么因素决定置信区间的大小？

下节课内容 假设检验